CHAPITRE 6 Vecteurs et translations

Objectifs: Connaître et savoir utiliser l’écriture vectorielle . Reconnaître des vecteurs égaux. Construire un point défini par une égalité vectorielle. - Construire le vecteur représentant la composée de deux translations. Simplifier les écritures vectorielles. aaaaaa

« Vecteur » vient du latin « vehere » (conduire, transporter) Le mot a été introduit en 1925 et la notation en 1920. A l’origine des vecteurs, un italien, Giusto Bellavitis (1803-1880) qui les désignait comme segments équipollents.

I. Translations La translation est une transformation qui consiste à faire glisser un objet d’un point vers un autre point. Fig 1 Ici, la figure 2 est l’image de la figure 1 par la translation qui transforme A en B. Fig 2 A B

1) Définition 2) Propriétés Une translation est définie par la donnée: - d’une direction ici la droite (AB) A - d’un sens ici de A vers B - d’une longueur ici AB B 2) Propriétés Une translation : - conserve les distances, les angles , les surfaces. - transforme une droite en une droite qui lui est parallèle.

II. Vecteurs 1) Définition Un vecteur est un objet mathématique caractérisé par : - une direction, - un sens, - une longueur. l’arrivée m B AB l’origine A Ici, le vecteur m Notation : on note AB le vecteur allant de A vers B.

Quelques vecteurs particuliers Soit A un point quelconque, AA est appelé le vecteur nul et est noté O AA ou O Le vecteur BA est l’opposé du vecteur AB on note BA = − AB A B BA ou − AB AB Remarque: Deux vecteurs opposés ont la même direction, la même longueur et des sens contraires.

Cliquez sur l’icône pour voir l’animation Exemple 1 : Construire le point M’ image du point M dans la translation de vecteur AB. Cliquez sur l’icône pour voir l’animation Remarque: Pour construire l’image d’une figure, il suffit de reproduire la même construction à partir des sommets de la figure de départ.

Exemple 2 :. Construire l’image F ’de la figure F par la Exemple 2 : Construire l’image F ’de la figure F par la translation de vecteur m . m 4 vers le haut ’ m 4 vers le haut F F 6 vers la droite 6 vers la droite

2) Vecteurs égaux AB = DC AD = BC Deux vecteurs égaux signifie que les deux vecteurs ont la même direction, le même sens et la même longueur. Remarque : pour construire deux vecteurs égaux, on utilise la construction du parallélogramme. A B ABCD est un parallélogramme AB = DC AD = BC D C

. ABCD est un parallélogramme. Propriétés Si ABCD est un parallélogramme alors AB = DC. Réciproquement: Si AB = DC alors ABCD est un parallélogramme. Remarque : les phrases suivantes sont équivalentes . AB = DC. . ABCD est un parallélogramme. . C est l’image de D par la translation de vecteur AB. . C est l’image de D par la translation qui transforme A en B.

III. Composée de deux translations et somme de deux vecteurs Construisons l’image de F1 par la translation de vecteur AB. On la note F2. F2 F1 F3 Construisons l’image de F2 par la translation de vecteur BC. On la note F3. B A C Conclusion : Il existe une translation permettant de passer directement de F1 à F3. C’est la translation de vecteur AC.

1) La relation de Chasles A, B et C étant trois points du plan, la composée de la translation de vecteur AB suivie de la translation de vecteur BC est la translation de vecteur AC. Remarque: On dit que le vecteur AC est la somme des vecteurs AB et BC. cette relation est appelée … « RELATION DE CHASLES » AC = AB + BC

« RELATION DE CHASLES » AC = AB + BC Michel Chasles (Fr, 1793-1880) : La relation n’est pas de lui, mais nommée ainsi en hommage à ses travaux sur les vecteurs. Homme naïf, il fut ruiné en achetant de fausses lettres (Jeanne d’arc à sa mère, Vercingétorix à César,…) !

Cliquez sur l’icône pour voir l’animation 2) Construction de la somme de deux vecteurs Construisons un représentant du vecteur u + v. Cliquez sur l’icône pour voir l’animation

Cliquez sur l’icône pour voir l’animation IV. Composée de deux symétries centrales Cliquez sur l’icône pour voir l’animation

I et J étant deux points du plan, la composée de la I et J étant deux points du plan, la composée de la symétrie de centre I suivie de la symétrie de centre J est la translation de vecteur IJ + IJ que l’on note 2 IJ Remarque : Pour démontrer cette nouvelle propriété, on utilise la « propriété de la droite des milieux » dans le triangle AA’A’’ pour montrer que ( IJ ) // ( AA’’ ) et que 2 IJ = AA’’