Les systèmes optiques centrés H. EL RHALEB Université Mohammed V, Rabat, Agdal Faculté des Sciences, Département de Physique, Laboratoire de Spectronomie Moléculaire, d’Optique et d’Instrumentation Laser elrhaleb@fsr.ac.ma Filières SM et SMI, année 2005-2006

Dans ce chapitre on définit tous les éléments qui interviennent en optique géométrique (système optique, objet, image, relation de conjugaison, etc.).

I – Les systèmes optiques I.1  Généralités I.1.1  Définition d’une image En optique, un objet peut être décrit par six variables: position (x, y, z), temps (t), couleur ou fréquence (ν), intensité I. Une image est une projection, grâce à un dispositif, de cet objet dans un espace ayant au plus cinq dimensions (x, y, t, ν, I). Par exemple une photographie en noir et blanc est une projection dans un espace à trois dimensions (x,y,I). Suivant ce point de vue "géométrique" une image est "homothétique" de l'objet. Nous nous limitons ici à ce cas.

I.1.2  Notion de quantum d’information Bien que le cerveau donne une perception continue d'une image, celle-ci est toujours "projetée" sur un support ayant une structure discontinue; par exemple : - film photographique (grain), - rétine de l'œil (structure en cônes et bâtonnets), - photocathode d'une caméra vidéo, - écran (trame du tissu...). La structure discontinue "élémentaire" est appelée pixel (Picture Element), elle correspond au "quantum d'information". Elle impose une limite inférieure aux dimensions des images. Nous supposerons toujours que les récepteurs d'images sont parfaits (structure continue).

I.2.1  Systèmes optiques et orientation de l’espace Un système optique (SO) est un dispositif assurant grâce à la réflexion et/ou la réfraction, une correspondance entre un objet et une image : Sens de la lumière ou sens positif + Système Optique Objet Image

Tout élément qui n'est pas dans le "bon espace" est dit virtuel. Le sens de propagation de la lumière (ou sens +) définit donc un espace objet réel situé en amont du système optique et un espace image réelle situé en aval du système optique. + Espace Objet Réel Espace Image Réelle SO Tout élément qui n'est pas dans le "bon espace" est dit virtuel.

I.2.2  Les systèmes centrés On appelle système centré, un système optique ayant une symétrie de révolution autour d'un axe. + axe principal Cet axe, appelé axe principal ou axe optique matérialise également un rayon lumineux particulier (un rayon arrivant suivant l’axe optique n’est pas dévié).

La face du système optique située du coté des rayons incidents est appelée face d’entrée et la face du coté des rayons émergents, face de sortie. + face d’entrée rayon émergent axe optique S S΄ face de sortie rayon incident On notera généralement S le point d'intersection de l'axe optique avec la face d'entrée du système centré et S΄ le point d'intersection de l'axe optique avec la face de sortie.

II – Objets et images II.1  Nature des objets et des images II.1.1  Objet ponctuel On appelle source, un objet d'où sont issus des rayons lumineux. Bien qu'une source réelle soit un objet étendu, on utilise très souvent le modèle de la source ponctuelle : point lumineux d'où sont issus les rayons lumineux. Source ponctuelle Source étendue S A Une source étendue est traitée comme un ensemble d’objets ponctuels indépendants les uns des autres.

II.1.2  Objet réel, image réelle Un objet réel est un ensemble de points sources d'où sont issus des faisceaux, divergents. Image réelle Objet réel A´ A Une image réelle est une région de j'espace où convergent les rayons lumineux issus d'un objet et ayant traversé un système optique. Une image correspond à une concentration d'énergie électromagnétique ; elle peut être recueillie sur un récepteur (écran, CCD,...).

II.1.3  Objet virtuel, image virtuelle Un objet virtuel se trouvant en aval du système optique ne peut correspondre qu'à des prolongements fictifs de rayons lumineux. Objet virtuel A A´ Image réelle

De la même façon, une image virtuelle, située en amont du système optique est une intersection de rayons fictifs. Objet réel A´ A Image virtuelle Une telle image ne peut être recueillie sur un écran, mais peut être observée par l'œil ou tout autre dispositif convergent.

II.1.4  Points conjugués Les points objet A et image A´ sont des "points conjugués" ; tout point objet a un conjugué image grâce a un système optique. Si l’on change le sens de parcours de la lumière, on intervertit les rôles objet  image. Remarque 1 : On peut disposer de plusieurs systèmes optiques les uns à la suite des autres. L'image du système numéro N joue le rôle d'objet pour le système numéro N + 1. A΄ A΄΄ A SO1 SO2

Remarque 2 : On réalise un objet virtuel à partir d'une image réelle en interposant entre celle-ci et le système optique un second système optique. SO1 A´ A' SO2 A΄΄ A A´ Sur la figure, A΄ image réelle de A pour SO1 joue le rôle d'objet virtuel pour SO2 ; A΄΄ est l'image finale (ici réelle).

II.1.5  Relation de conjugaison On appelle relation de conjugaison une relation entre la position d'un objet A et celle de son image A΄ sur l'axe optique. L'expression de cette relation dépend du choix de l'origine des positions.

rayon incident quelconque II.1.6  Construction géométrique Pour définir un objet ponctuel (ou une image ponctuelle) deux rayons sont nécessaires et suffisants. On choisit généralement un rayon quelconque et l'axe principal : SO Axe optique A objet rayon incident quelconque rayon émergent correspondant Si l'objet (l'image) est étendu (e), il faut généralement deux rayons pour définir chaque point de l'objet (image).

II.2.1  Le stigmatisme rigoureux Le stigmatisme est la notion fondamentale de l’optique géométrique puisque c’est elle qui caractérise la netteté d’une image. II.2.1  Le stigmatisme rigoureux Un système optique est dit stigmatique pour tout couple de points conjugués A et A΄ (objet et image) si tout rayon passant par A avant la traversée du système optique, passe par A΄ (image unique) après cette traversée. Cela signifie que le chemin optique entre A et A΄ est invariant pour tout rayon lumineux passant par A : LAA´ = cte.

Ou encore quels que soient les points I et J : [1] nAI + L + n´ JA’ = cte IJ n n´ I J A objet A´ image SO On montre que dans le cas d'un objet ou/et d'une image virtuelle, les chemins optiques doivent être comptés négativement et affectés de l'indice de réfraction du milieu dans lequel se propagent les prolongements des rayons virtuels. On généralise donc en écrivant algébriquement la relation [1] : cte JA ´ n L AI IJ = + Si le système optique est une surface simple, LIJ = 0.

II.2.2  Le stigmatisme approché Le stigmatisme rigoureux est l’exception. Heureusement, il n’est pas nécessaire pour la formation des images : Les détecteurs sont formés d’éléments photosensibles de taille finie. A SO zone de convergence A´ On dit qu'un système optique présente un stigmatisme approché pour deux points conjugués A et A΄ si tout rayon passant par A passe au voisinage de A΄.

On montre que pour les systèmes centrés, le stigmatisme approché est conservé dans l'espace. B n´  ´ A´ A SO n B´ - Transversalement cette conservation ou aplanétisme est décrite par la relation des sinus d'Abbe qui traduit la condition d’obtention d’une image plane à partir d’un objet plan, perpendiculaire à l’axe optique du système : n AB sin θ = n ´ A ´ B ´ sin θ ´ où AB et A´B´ sont des couples de points voisins conjugués et appartenant à des plans perpendiculaires à l'axe optique.

- Longitudinalement la conservation est exprimée par la condition d'Herschel qui traduit la condition d’obtention d’une image plane à partir d’un objet plan, sur l’axe optique du système : n΄  ´ A΄ A C C΄ SO n θ ´ θ n AC sin 2 = ´ n ´ C A sin 2 2 2 où AC et A´C´ sont des couples de points voisins conjugués et appartenant à l'axe optique.

II.3  L’approximation de Gauss II.3.1  Définition Cette approximation correspond à la linéarisation de l'optique géométrique, c'est-à-dire que la relation de Snell-Descartes. cte i sin n = est remplacée par cte i n » La relation d'Abbe devient (Lagrange Helmholtz) : ´ B A n AB θ = car dans ce cas-là, sinθ ~ θ et sinθ΄ ~ θ΄.

De tels rayons sont dits paraxiaux. Dans la pratique cela revient à limiter (grâce à des diaphragmes) les rayons lumineux au voisinage de l'axe optique et à de faibles inclinaisons par rapport à celui-ci. SO  ´ diaphragme De tels rayons sont dits paraxiaux.

II.3.2  Grandissement L'approximation de Gauss implique un stigmatisme et un aplanétisme approchés. + + B plan P΄ J A O I΄ A΄ I plan P J΄ SO B΄ En effet si AB perpendiculaire à l'axe optique est "petit", le rayon lumineux BJ est paraxial, donc BJ ~ AI et par suite J΄B΄ ~ I΄A΄ (A et A΄ sont deux points conjugués). Remarque 3 : Le rayon (fictif) BB΄ coupe l'axe optique en un point O appelé centre optique; ce rayon matérialise un axe optique secondaire.

III.3.2.a - Grandissement angulaire Soit un rayon lumineux incliné d'un angle θ par rapport à l'axe optique avant le système optique et un angle θ΄ après le système optique. SO  ´ On définit le grandissement angulaire Ga par : θ ΄ G a = θ

III.3.2.b - Grandissement transversal Les plans P et P΄ perpendiculaires à l'axe optique sont dits plans conjugués. Le grandissement transversal  est défini par le rapport des dimensions transverses de l’image A´B´ et de son objet : A ´ B ´ γ = AB La relation de Lagrange-Helmholtz permet de relier le grandissement transverse et le grandissement angulaire : n γ G a = ´ n

III.3.2.c - Grandissement longitudinal Soient deux points objets A et C situés sur l'axe optique et A΄ et C΄ les images correspondantes. On définit un grandissement longitudinal ℓ par :  AC ´ C A = l γ Dans l’approximation de Gauss, la condition de Herschel est : 2 ´ C A n AC θ = n n´ SO A A´ C C´  ´ a 2 G n ´ γ = l Ce qui conduit à :

III – Les élément cardinaux des systèmes optiques ℓ est positif, c'est-à-dire que si l'objet se déplace d'une petite quantité Δx, son image se déplace de Δx΄ dans le même sens. III – Les élément cardinaux des systèmes optiques On appelle éléments cardinaux un ensemble d'éléments (points, plans) caractéristiques définis essentiellement dans l'approximation de Gauss et permettant de déterminer le cheminement de tout rayon lumineux à travers le système optique.

III.1  Les points conjugués de l’infini III.1.1  Objet ou image à l’infini Un objet est dit à l'infini si le faisceau lumineux issu de cet objet est un faisceau parallèle. objet à l’infini espace objet De même, une image se forme à l'infini si le faisceau lumineux converge à l'infini, c'est-à-dire est parallèle. espace image image à l’infini

III.1.2  Les foyers foyer image SO F΄ objet à l’infini Par définition, le foyer image F΄ est le point conjugué d'un point objet situé à l'infini sur l'axe optique. foyer objet SO F image à l’infini De la même façon, le foyer objet F est le point conjugué d'un point image situé à l'infini sur l'axe optique.

Le système optique est dit convergent si le foyer image est réel (situé dans l'espace image). foyer objet SO SO F΄ F image à l’infini objet à l’infini Il est dit divergent si le foyer image est virtuel (le foyer F΄ n'appartient pas à l'espace image).

III.1.3  Les plans focaux Si les faisceaux parallèles précédents sont parallèles à un axe secondaire, on peut définir des foyers secondaires et par suite des plans focaux. Foyer principal objet axe secondaire Foyer secondaire objet Plan focale image Foyer principal image Plan focale objet axe secondaire Foyer secondaire image Le plan focal objet (image) est le plan perpendiculaire à l'axe optique et passant par le foyer objet (image).

III.2  Les plans conjugués de grandissement transversal +1   III.2  Les plans conjugués de grandissement transversal +1 III.2.1  Les plans principaux Soit un objet dans un plan P perpendiculaire à l'axe optique et son image dans un plan P΄ perpendiculaire à l'axe optique. Si , c'est-à-dire si γ = 1, les plans P et P΄ sont dits plans principaux ou unitaires. P est le plan principal objet, P΄ le plan principal image. AB ´ B A ´ B A AB = B΄ B A A΄ SO plan principal objet P plan principal image P´

On schématise un système optique par ses plans principaux. B´ B A A΄ SO H΄ H plan principal objet P plan principal image P΄ De manière générale, on note H(H΄) l'intersection de P(P΄) avec l'axe optique. On schématise un système optique par ses plans principaux. Remarque 4 : On définit également des plans conjugués de grandissement transversal égal à -1 ; ces plans sont dits antiprincipaux.

III.2.2  Distances focales et vergence III.2.2.a  Distances focales On appelle distance focale objet la quantité algébrique et distance focale image la quantité algébrique . HF  = ΄ F H  = +  F H H΄ F΄ ΄

Considérons un objet situé dans le plan focal objet. Soit BH un rayon incident incliné d'un angle θ et H´E l'émergent correspondant, incliné d'un angle θ´ (H´E est parallèle à K´F´ puisque B joue le rôle de foyer objet secondaire). B K K΄ Sachant que pour les plans P et P´ on a  = 1, on en déduit la relation : nθ  = n´θ´ n΄  H΄ F΄ A F ΄ H n θ et θ´ étant orientés, il est évident que : De la relation précédente on en déduit :

III.2.2.b  Vergence Soit un point objet A dans un milieu d'indice n et H la position du plan principal objet d'un système centré. Soit de même A´ le point image correspondant dans un milieu d’indice n´ et H´ la position du plan principal image. On appelle vergences des points A et A´ les quantités : -n -n´ et V V = = A A´ H´A´ HA Si A est à l'infini, A´ devient le foyer image du système donc : vergence du système optique. VA = 0 et VA´  Si A´ est à l'infini alors VA´ = 0 et

III.3  Les plans conjugués de grandissement angulaire +1 Ces points sont appelés points nodaux. Soit un point objet N et son image N΄ tels que Ga = 1. Il est facile de voir que ΄ FN = et  ΄ N F = N  H΄ N΄ ΄ H et par suite ΄  ΄ N H HN + = Si les milieux extrêmes sont identiques,  + ΄ = 0. Donc , les points nodaux et principaux sont confondus. ΄ N H HN =

Remarque 5 : On définit également des points conjugués tels que Ga = -1. Ces points sont dits antinodaux. FIN