Formation des images par des surfaces simples Chapitre II Formation des images par des surfaces simples H. EL RHALEB Université Mohammed V, Rabat, Agdal Faculté des Sciences, Département de Physique, Laboratoire de Spectronomie Moléculaire, d’Optique et d’Instrumentation Laser elrhaleb@fsr.ac.ma Filières SM et SMI, année 2006-2007 Par H. EL RHALEB,

Ce chapitre étudie en détailles surfaces simples, c'est-à-dire les dioptres et les miroirs plans ou sphériques dans le but d'associer de telles surfaces pour former de véritables systèmes optiques (lentilles,...) Dans chaque cas, on se place dans l'approximation de Gauss et on établit les relations essentielles (relations de conjugaison, distances focales,...) liées à ces systèmes optiques "élémentaires".

I – Les surfaces réfractantes I.1  Le dioptre sphérique I.1.1  Définition Un dioptre sphérique est une portion de sphère caractérisée par son centre de courbure C, son rayon de courbure et par les indices de réfraction n et n´ de part et d'autre de sa surface. SC + + n n´ n n´ axe optique C S S C SC < SC > Le point, S sommet du dioptre correspond à l'intersection de sa surface avec l'axe optique.

I.1.2  Relation de conjugaison, grandissements I.1.2.a - Relation de conjugaison de Descartes On repère les positions de l'objet A et de son image A´ à partir d'une origine; le choix le plus simple consiste à prendre l'origine au sommet S. Il existe d'autres choix possibles (origine au centre C par exemple).

Considérons un point objet A sur l'axe optique et A´ son image Considérons un point objet A sur l'axe optique et A´ son image. Si nous supposons que n´ < n. Compte tenu du sens de propagation de la lumière, choisi comme sens positif, on constate que SA, SA´ et SC sont négatifs. + N S C I i´ i α´ α ω A´ A H n n´ < n

Au point I, la loi de Snell-Descartes s'écrit : + A A´ N H S C α α´ ω i´ i I Dans les triangles AIC et A´IC nous pouvons écrire (les angles étant comptés positivement s'ils sont orientés dans le sens trigonométrique) respectivement : - et α i = ω α ´ - ´ i = ω Au point I, la loi de Snell-Descartes s'écrit : i´ sin ´ n i =  i´ n i = ´

( ) En combinant ces trois relations, on obtient : ´ n α ω - = Par ailleurs, l'approximation de Gauss nous permet de confondre les points H et S et d'écrire : CS HI tan » ω HI α » AS et de la même façon : HI α´ » A ´ S

En reportant ces valeurs dans l'équation : ω(n-n´) = nα – n´α´, on obtient la relation de conjugaison (de Descartes) avec l'origine au sommet, valable quel que soit le point I : n n ´ n - n ´ - = SA SA ´ SC On peut choisir l'origine au centre C; dans ces conditions, cette dernière équation devient : n n ´ n - n ´ - = CA ´ CA CS

I.1.2.b - Grandissements transversal Nous devons construire l'image B´ du point B. Pour cela nous orientons les objets et les images, puis nous effectuons une construction géométrique utilisant un rayon passant par S et un rayon passant par C. Le rayon passant par S subit une réfraction tandis que celui passant par C, confondu avec un rayon de la sphère, n'est pas dévié. B´ + n n´ S C + B i A´ A i´

Pour les mêmes raisons que ci-dessus : B´ A B + n n´ S C Pour les mêmes raisons que ci-dessus : AB A ´ B ´ et tan i » i » tan i ´ » i ´ » SA SA ´ En appliquant n i = n´ i´ on en déduit : A ´ B ´ n ´ SA γ =  γ = AB ´ n SA

I.1.2.c - Le grandissement longitudinal est : ´ n n è æ SA ´ ø ö γ l = γ = ç ÷ > 2 n n ´ SA On retrouve bien le fait qu'objet et image se déplacent dans le même sens. I.1.2.d - Grandissement angulaire i ´ Par définition : soit : G = a i SA G = a SA ´

I.1.3  Éléments cardinaux du dioptre sphérique I.1.3.a - Foyers et distances focales Nous savons que le foyer image F´ est le point conjugué d'un point objet situé à l'infini sur l'axe optique : ® -¥ A´ ® SA F´ De même le foyer objet est le point conjugué d'un point image situé à l'infini sur l'axe optique. La relation de conjugaison donne immédiatement la position des foyers : n foyer objet ´ n foyer image SF = SC ´ SF = SC n - ´ n n ´ - n avec SF + SF´ = SC

Le dioptre est dit convergent si ses foyers sont réels (F dans l'espace objet, F´ dans l'espace image) : et SF < SF ´ > Il est dit divergent si ses foyers sont virtuels (F dans l'espace image, F´ dans l'espace objet) : et SF > SF ´ <

sont les distances focales objet et image. Figure (a) Figure (b) Figure (c) Figure (d) n´ - n < 0 > 0 < 0 réel > 0 réel > 0 virtuel > 0 virtuel < 0 virtuel dioptre convergent divergent SC SF ´ SF SF et ´ SF sont les distances focales objet et image. ´ SF ´ = et avec R ´  , > SF  = R = SC

Figure (a) Figure (b) Figure (c) Figure (d) F´ F´ S S F´ F´ S S + + n´

I.1.3.b  Vergence n ´ n On rappelle que la vergence s'écrit : V = = - SF ´ SF Dans le cas du dioptre sphérique, on a donc l'expression : n ´ - n V = SC En introduisant cette grandeur, la relation de conjugaison peut s'écrire : [5] On retrouve bien le fait que, si V > 0, le dioptre est convergent et, si V < 0, le dioptre est divergent.

Exercice Si on pose : FA = σ et ´ A F = σ V SF n ' ´ SA = - la relation de conjugaison : ou relation de conjugaison de Newton. devient : ´ ´ = σσ

I.1.3.c  Plans principaux et points nodaux L'exploitation de la relation γ = 1 conduit sans difficulté à : SH = SH´ = Les plans principaux sont confondus avec le plan tangent en S (sommet) au dioptre (dans un schéma, on peut donc remplacer le dioptre par son plan tangent en S). L'exploitation de Ga = 1 donne de la même façon : =  ´ SN SN ´ = + = SC Les points nodaux sont confondus avec le centre du dioptre.

I.2  Le dioptre plan C'est un cas particulier du dioptre sphérique pour lequel le rayon de courbure est infini : donc V = 0. Les foyers sont rejetés à l'infini, le dioptre plan est un système afocal. ¥ ® SC n' n A n´ < n A A´ A´ n n' A´ n´ > n A´ A A n n' n n'

La relation de conjugaison donne : SA n ´ = et par suite le grossissement et le grandissement angulaire deviennent : 1 = γ et G = n / n ´ a et sont toujours du même signe donc un objet réel donne une image virtuelle et inversement. SA ´ SA Remarque 1 : Le dioptre plan est rigoureusement stigmatique pour les points à l'infini et les points de sa surface. n´ n A A´

II – Les surfaces réfléchissantes II.1  Le miroir sphérique II.1.1  Définition Dans l'approximation de Gauss, un miroir sphérique est une calotte sphérique réfléchissante de centre C et de sommet S. La droite passant par ces points C et S est l'axe optique. + + S C C S SC > SC < Miroir convexe Miroir concave

II.1.2  Relation de conjugaison, grandissements Remarquons que l'espace image est replié sur l'espace objet. Les objets et images virtuels sont situés "de l'autre côté du miroir". II.1.2  Relation de conjugaison, grandissements II.1.2.a - Relation de conjugaison de Descartes Pour déterminer la relation de conjugaison, on procède de la même façon que pour le dioptre sphérique.

Triangle AIC et A´IC : α – i = ω et ω + i´ = α´ Loi de Snell-Descartes : i = - i´ ; donc α + α´ = 2ω. S C n + I i i´ α ω α´ A A´ H HI HI HI Or et ω » , α » α ´ » on en déduit : CS AS A ´ S 1 1 2 + = SA SA ´ SC

SC 2 ´ SA 1 = + SC ´ n SA - = On remarque que la relation de conjugaison du miroir sphérique peut se déduire directement de celle du dioptre sphérique en écrivant n´ = - n. En effet pour le dioptre, on utilise la loi n i = n´ i´, tandis que, pour le miroir, on utilise i = - i´.

II.1.2.b  Grandissement transversal et grandissement longitudinal + B i A´ A i´ C S B´ D'après la figure, on peut écrire : SA AB i » ´ SA B A i » et La loi de réflexion donne i = - i´ en déduit : A ´ B ´ SA ´ - [9] g = = AB SA

II.1.2.c  Grandissement angulaire Le grandissement longitudinal est : n ´ g = g 2 = - g 2 < l n objets et images se déplacent en sens inverse. II.1.2.c  Grandissement angulaire ´ SA G a = Il est évident que : [10]

II.1.3  Éléments cardinaux du miroir sphérique II.1.3.a  Foyers et distances focales Par définition des foyers, si , A´  F´ = foyer image et si , A  F = foyer objet. La relation [8] montre que les foyers sont confondus. -¥ ® SA +¥ ® ´ SA On obtient : SC [11] SF = SF ´ = 2

Pour un miroir concave, SF < 0 et SF´ < 0, les foyers (confondus) sont réels, le miroir est dit convergent. miroir concave F F´ S C Pour un miroir convexe, SF > 0 et SF´ > 0, les foyers sont virtuels, le miroir est dit divergent. miroir convexe C S F:F´

II.1.3.b  Vergence SC 2 ´ SF 1 V - = Elle est égale à ce qui permet d’écrire la relation de conjugaison sous la forme : V ´ SA 1 - = + [12] V > 0 pour un miroir concave et V < 0 pour un miroir convexe. La relation de conjugaison de Newton s'écrit ici : 2  ´ - = σσ

II.1.3.c  Plans principaux et points nodaux L'exploitation de la relation  = 1 conduit sans difficulté à : ´ SH = Les plans principaux sont confondus avec le plan tangent en S (sommet) au miroir (dans un schéma, on remplace le miroir par son plan tangent en S). L'exploitation de Ga = 1 donne de la même façon : SC ´  SN = + Les points nodaux sont confondus avec le centre C du miroir.

II.2  Le miroir plan ® ´ SA = + C'est le cas particulier du miroir sphérique pour lequel le rayon de courbure est : donc V = 0 (afocal) ; la relation de conjugaison s'écrit : ¥ ® SC ´ SA = + γ = 1 Les relations [9] et [10] donnent : G = - 1 a I I A´ A S A´ S A et sont toujours de signes opposés donc un objet réel donne une image virtuelle et inversement. SA ´ SA

Modélisation et constructions Comme nous travaillons dans les conditions de Gauss, un miroir sphérique sera quasiment confondu avec son plan tangent en S. concave convexe plan Le problème usuel est de construire l’image d’un objet AB perpendiculaire à l’axe optique. Le système étant aplanétique, il suffit de trouver l’image B´ de B puis de projeter B´ sur l’axe optique pour trouver A´.

3- Le rayon passant par C revient sur lui-même. Construire l’image B´ de B ne nécessite que deux rayons lumineux parmi les quatre fondamentaux. B A´ F A C S B´ 1- Le rayon issu de l’infini, parallèle à l’axe optique et passant par B revient en passant par F. 2- Le rayon passant par B et S revient symétriquement par rapport à l’axe optique. 3- Le rayon passant par C revient sur lui-même. 4- Le rayon passant par B et F revient parallèlement à l’axe optique.

Exercice d’application : Miroir concave Objet réel avant C 1 F Image réelle -1 < γ < 0 C A´ A S B´ Objet réel entre C et F 2 B Image réelle γ < -1 A´ C F A S B´ Ces 2 cas se déduisent l’un de l’autre par le principe du retour inverse.

Objet réel entre F et S 3 Image virtuelle γ > 1 Objet virtuel 4 C F A S A´ Objet virtuel 4 B B´ Image réelle 0 < γ < 1 C F A´ S A Ces 2 cas se déduisent l’un de l’autre par le principe du retour inverse.

F S C Objet C F S Image γ < -1 0 < γ < 1 γ > 1 -1 < γ < 0

Exercice d’application : Miroir convexe Objet réel 1 Image virtuelle 0 < γ < 1 A S A´ F C Objet virtuel entre S et F 2 B´ B Image réelle γ > 1 C A´ S A F

Objet virtuel entre F et C 3 Image virtuelle γ < -1 C A´ S F A B´ Objet virtuel après. 4 B Image virtuelle -1 < γ < 0 A´ S F C A B´

Objet Image F´ C S FIN γ > 1 0 < γ < 1 γ < -1 γ > 1 0 < γ < 1 γ < -1 -1 < γ < 0 FIN