Cours 5-a Problèmes scalaires instationnaires d’ordre 1 en temps Domaines d’application Notions de schémas explicite, implicite Critère de stabilité Version 09/2006 (E.L.) NF04 - Automne - UTC

Domaines d’applications (1/2) Exemple 1 : échauffement instationnaire d’un disque de frein Source : www.espci.fr Source : fr.wikipedia.org ZOOM Modèle physique Relevé signal d’une sonde T(x,t) Temps (s) 20°C 500°C Phase transitoire Phase stabilisée = stationnaire 1ère partie du cours de NF04 ! Source : univ. Lyon Simulation champ de température Modèle numérique Condition Initiale = Version 09/2006 (E.L.) NF04 - Automne - UTC

Domaines d’applications (2/2) Exemple 2 : transport d’une concentration (polluant …) dans un lac temps Lignes d’iso-concentration Version 09/2006 (E.L.) NF04 - Automne - UTC

Modèles mathématiques Thermique : Transport d’un polluant : Capacité calorifique Vitesse d’écoulement Version 09/2006 (E.L.) NF04 - Automne - UTC

Modèle simplifié : pas de variable d’espace Evolution de la concentration dans un réservoir Condition initiale : eau+polluant, C(t=0)=Co Le processus consiste à purger le réservoir avec de l’eau pure (C=0) On a : V : volume du réservoir [litres] C(t) : concentration homogène (mélangeur) [gr/litre] q : débit [litres/sec.] Mélangeur (utile pour avoir une concentration homogène) Volume V Concentration C(t) q Litre/sec. Entrée Sortie Version 09/2006 (E.L.) NF04 - Automne - UTC

Modèle mathématique (purge du réservoir) Bilan de matière entre deux instants : Soit la relation : En prenant la limite pour : Condition initiale : C(t=0)=Co Version 09/2006 (E.L.) NF04 - Automne - UTC

Discrétisation de la dérivée en temps Utilisation d’une formule de discrétisation décentrée à l’ordre 1 : Instant inconnu où la pente approximée est confondue avec la pente exacte ! Notations : Version 09/2006 (E.L.) NF04 - Automne - UTC

Schémas de discrétisation en temps On injecte la discrétisation en temps : Remarque : cette discrétisation est exacte si est connu ! impossibilité de déterminer ! Il est alors nécessaire de faire un choix. Principaux choix : (instant n) (instant n+1/2) (instant n+1) MAIS Version 09/2006 (E.L.) NF04 - Automne - UTC

Principaux schémas utilisés Instant n : Instant n+1/2 : Instant n+1 : Schéma EXPLICITE Schéma SEMI-IMPLICITE ou de Cranck-Nicholson Schéma IMPLICITE Version 09/2006 (E.L.) NF04 - Automne - UTC

Ecriture générale Il est possible de regrouper tous les schémas en une seule expression fonction d’un paramètre a variable. On écrit : pour aboutir à : avec : a=0 : schéma explicite a=1/2 : schéma de Cranck-Nicholson a=1 : schéma implicite Question : une fois retenu le choix du schéma, quelle valeur donner à Dt ? Version 09/2006 (E.L.) NF04 - Automne - UTC

Choix du Dt conditionné par la stabilité du schéma Ecriture générale de la forme récurrente : Coefficient d’amplification =0 dans le cas présent Un schéma est dit : Stable sans oscillation si : Stable avec oscillation si : Instable si : Important ! Idée ! En déduire une valeur maximale pour Dt afin d’assurer la stabilité numérique du schéma Version 09/2006 (E.L.) NF04 - Automne - UTC

Illustration de la stabilité Stable sans oscillation Stable avec oscillation Instable Version 09/2006 (E.L.) NF04 - Automne - UTC

Preuve du critère de stabilité La stabilité d’un schéma est évaluée par une méthode de perturbation de la solution. Introduction d’une perturbation à l’instant n : en Calcul de l’évolution de la perturbation à l’instant n+1 : en+1 Forme générale de la relation de récurrence : On considère les perturbations : qui insérées conduisent à : Stable si en+1≤ en Preuve A retenir ! Le « reste » n’influence pas la stabilité La perturbation est régie par la même relation de récurrence Version 09/2006 (E.L.) NF04 - Automne - UTC

Application au schéma explicite L ’évolution est régie par la relation : Une stabilité sans oscillation requiert : Soit : Une stabilité avec oscillation requiert : Conditions de stabilité Version 09/2006 (E.L.) NF04 - Automne - UTC

Application au schéma implicite L ’évolution est régie par la relation : Pour ce schéma, le critère de stabilité sans oscillation est toujours vérifié. Le schéma est dit inconditionnellement stable ! Remarque : de manière générale, pour une équation linéaire, un schéma implicite sera toujours inconditionnellement stable ! Version 09/2006 (E.L.) NF04 - Automne - UTC

Illustration des solutions explicite et implicite Version 09/2006 (E.L.) NF04 - Automne - UTC

Choix du type de schéma à utiliser (+) (-) Utilisation préconisée EXPLICITE Facile à programmer (pas de matrice à inverser) Très précis Stable sous condition Pas de temps minimum pouvant être pénalisant transitoires rapides (chocs …) IMPLICITE Inconditionnellement stable Plus « lourd » à programmer (matrice à inverser) Souvent moins précis transitoires lents Version 09/2006 (E.L.) NF04 - Automne - UTC