Les Transports (T5 - T6) Mécanique des fluides

Sommaire T5: Comment se déplacer dans un fluide? 1) Force pressante 2) Poussée d’Archimède 3) Condition d’équilibre et de flottabilité d’un corps 4) Pression exercée par les liquides T6 – Qu’est-ce qu’une voiture puissante? Mouvement des fluides Travail d’une force

Dynamique des fluides 1. Lignes de courant 2. Ecoulement permanent 3. Débit massique; débit volumique 4. Équation de Bernoulli 5. Viscosité 6. Différents régimes 7. Pertes de charge

Définition : La mécanique des fluides étudie le comportement des fluides : -         au repos : hydrostatique -         en mouvement : hydrodynamique   On distingue deux types de fluides : -         les liquides incompressibles -         les gaz compressibles

T5: Comment se déplacer dans un fluide? Objectifs de la leçon - Etre capable de : C1 – déterminer expérimentalement la valeur de la poussée d’Archimède; C2 – mesurer la pression d’un liquide en un point; C3 – déterminer expérimentalement les variations de pression au sein d’un fluide; C4 – distinguer la pression atmosphérique, pression relative et pression absolue; C5 – utiliser la formule C6 – mettre en évidence expérimentalement l’effet Venturi.

Une force pressante est une force répartie sur une surface a. Observation Une force pressante est une force répartie sur une surface Un fluide exerce des forces pressantes sur toute la surface en contact avec lui(appelée surface pressée) La droite d’action d’une force pressante est perpendiculaire à la surface pressée.

une force s’exerçant uniformément sur une surface plane b. Calcul de la pression Soit une force s’exerçant uniformément sur une surface plane et perpendiculairement à cette surface S est la surface sur laquelle agit la force La pression est donnée par la relation : p: en pascals F; en Newtons S: en mètres carrés

La pression est égale au quotient de la valeur F de la force pressante par l'aire S de la surface pressée. Unités : -  Le pascal est l’unité du système international de la pression. On le note Pa 1 Pa est la pression exercée par une force de 1 N sur une surface de 1 m2

-  Le bar     1 bar est la pression exercée par une force de 1 daN sur une surface de 1 cm2 1 bar = 105 Pa   - L'atmosphère;  1 atm = 1,01325 × 105 Pa (valeur de la pression atmosphérique normale).

Petite histoire: PASCAL (Blaise) (1623-1662) Mathématicien, physicien, philosophe et écrivain français. Fit de nombreuses expériences sur la pression atmosphérique et l'équilibre des liquides.

(Les résultats seront donnés en Pa puis en bar) EXEMPLE Sur la figure ci-contre, le doigt exerce sur la punaise une force de 15 N. L'aire de la tête de la punaise est 300 mm 2, celle de la pointe 0,5 mm2. La surface de la pointe de la punaise étant très petite, la pression sur le mur est très grande. 1. Calculer la pression exercée par le doigt sur la tête de la punaise  2.   Quelle est la pression de la pointe de la punaise sur le mur ? (Les résultats seront donnés en Pa puis en bar)

Réponses 1. Calcul de la pression exercée par le doigt pdoigt: pression du doigt sur la punaise F = 15 N Spunaise = 300 mm2 = 3×10-4 m2: l’aire de la tête de la punaise 15 Pdoigt = = 5×104 Pa = 0,5 bar 3×10-4

2. Calcul de la pression exercée par la pointe de la punaise ppointe: pression du doigt sur la punaise F = 15 N Spointe = 0,5 mm2 = 5×10-7 m2: l’aire de la tête de la punaise F p = S 15 Ppointe = = 3×107 Pa = 300 bar 5×10-7

Principe de la poussée d’Archimède ·  Tout corps immergé dans fluide (liquide ou gaz), reçoit de la part de ce fluide une poussée verticale dirigée de bas en haut et dont lur est égale au poids du fluide déplacé. Sa valeur, qu’on peut noter FA, se calcule par la formule: ·  est la masse volumique du fluide en kg/m3 (kilogramme par mètre cube) ; g est l’intensté de la pesanteur en N/kg ( newton par kilogramme) V est le volume du fluide déplacé en m3 (mètre cube) ; La valeur FA est en newton (N).

3 – Condition d’équilibre et de flottabilité d’un corps Condition d’équilibre d’un corps flottant ·  Le centre de poussée C est au dessus du centre de gravité G : Si les deux points ne sont pas alignés, le couple de forces qui apparaît redressera le solide dans sa position verticale : l’équilibre est alors stable.

Le centre de poussée C est en dessous du centre de gravité G : Si les deux points ne sont pas alignés, le couple de forces qui apparaît, fera chavirer le solide : l’équilibre est alors instable. Conclusion : Pour pouvoir « descendre » le centre de gravité d’un bateau, on ajoute un leste (« la quille ») sous la coque du bateau.

Condition de flottabilité d’un corps Un corps flotte si la valeur de son poids égale à la valeur de la force de poussée d’Archimède. Un corps coule si la valeur de son poids est supérieure à la valeur de la poussée d’Archimède.

a. Pression en un point d’un fluide 4 – Pression exercée par les fluides a. Pression en un point d’un fluide ·  La pression est la même en tout point d'un plan horizontal (plan isobare). Il n'existe qu'une seule pression en un point donné d'un liquide. La pression en un point d'un liquide dépend : _ de la profondeur de ce point ; _ de la masse volumique du liquide.

b. Calcul de la pression en un point d’un fluide: principe fondamental de l’hydrostatique La différence de pression entre deux points A et B d'un liquide est égale à : PB – PA = ρ g h · - ρ est la masse volumique du liquide exprimé en kilogrammes par mètre cube (kg.m-3) -   g est l'intensité de la pesanteur (soit à Paris : 9,81 N.kg-1) ·        h est la différence de niveau entre les deux points exprimée en mètres (m) · -   PA et PB sont les pressions exprimées en Pascals(Pa).

EXEMPLE Deux points situés dans l'eau sont à 10 m l'un au-dessus de l'autre. La masse volumique de l'eau étant ρ = 1000 kg·m‑3 Calculer la différence de pression entre ces deux points. Réponse: PA – PB = ρ g h 10 m B A PA – PB = 1 000×9,81×10 PA – PB = 9,81×10 4 Pa

5 – L’effet Venturi C’est un phénomène où la pression d’un fluide diminue lorsque la vitesse de son écoulement augmente. Application: Aile d’avion La pression de l’air au dessous de l’aile est supérieure à la pression de l’air au-dessus de l’aile.

T6 –Qu’est-ce qu’une voiture puissante? Mouvement des fluides

B A Transmission de Pression par les liquides a. Théorème de Pascal Un liquide étant considéré comme incompressible, toute variation de pression en un point du liquide se transmet intégralement à tous les points. Les points A et B sont tous les deux à la même pression. Une augmentation de la pression en A provoque la même augmentation en B ainsi qu'en tous les points du liquide. B A

B A b. Principe de transmission Soit le système ci-contre, qui permet de multiplier la valeur d'une force : B A Une force exercée sur le petit piston de section S produit une augmentation de la pression au point A égale Cette augmentation de pression est intégralement transmise à tous les points du liquide et en particulier au point B.

le grand piston S’ une force L'augmentation de pression au point B produit sur le grand piston S’ une force telle que soit Dans une transmission hydraulique, la force disponible sur le piston de travail est égale au produit de la force exercée sur le piston de mise en pression par le rapport des sections des deux pistons.

Le choix de S’ > S permet d'obtenir F’ > F Les pistons ayant des sections circulaires de diamètres respectifs D1 et D2 , le rapport des sections est aussi égal au rapport des carrés des diamètres, soit ( ) 2 D2 F’ = F × D1

W = F × d × cos  Travail d’une force d a. Le travail d’une force A B \\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\ Une force travaille quand elle se déplace W = F × d × cos 

W > 0 si 0 < < 90° W < 0 si > 90° W = 0 si = 90° Dans ce cas le travail est moteur; la force agit dans le sens du déplacement W < 0 si > 90° Dans ce cas le travail est résistant; la force agit dans le sens contraire du déplacement W = 0 si = 90° Dans ce cas le travail est nul; la force agit perpendiculairement au déplacement

M = F×D = 2 F×R b. Le travail d’un couple de forces en radian L’arbre d’un moteur tourne d’un angle en radian Le travail de la force du moteur est R O L’arbre est soumis au couple M = F×D = 2 F×R de moment

Le travail d’un couple de forces est donc Le travail W est exprimé en J; Le moment du couple M est exprimé en N·m; L’angle exprimé en radian(rad);

P est la puissance en watt(W); W est le travail en joules; c. Puissances mécaniques 1. La puissance est l'énergie dissipée pendant un temps donné La puissance moyenne est P d’une force est définie par: W P = t P est la puissance en watt(W); W est le travail en joules; et t est la durée en secondes(s)

W = F· l = F·v·l l v = W t P = = F·v t Pour un déplacement sur un distance l du point d’application de la force à une vitesse v(vitesse linéaire): W = F· l = F·v·l l On en déduit: v = W t P = = F·v t 2. La puissance d’un couple est

M en N·m, n fréquence de rotation en tr·s-1 Or et donc P en W, en radian par secondes(rad·s-1), M en N·m, n fréquence de rotation en tr·s-1

Dynamique des fluides 1. Lignes de courant Les lignes de courant sont les trajectoires suivies par les molécules d'un fluide en mouvement (voir figure ).

2. Écoulement permanent ·        Un écoulement est dit permanent lorsque les lignes de courant ne varient pas au cours du temps. ·        En un point du fluide, toutes les molécules passent avec la même vitesse (les vitesses sont indépendantes du temps). ·        Dans un écoulement parfait, on considère que toutes les molécules traversant une même section ont la même vitesse.

3. Débit massique et débit volumique d'un liquide a. Débit massique Le débit massique Qm est le rapport de la masse m de liquide s'écoulant pendant le temps t Unités: m(masse) en kg; t(durée) en s; Qm(débit massique) en kg/s ρ(masse volumique) en kg/m3; S(l’aire de la section) en m2; v(vitesse moyenne d’écoulement du fluide) en m/s

QV(débit volumique) en m3/s b. Débit volumique Le débit volumique Qv est le volume de fluide, par unité de temps, qui traverse une section droite. Unité : mètre cube par seconde (m3/s ) QV(débit volumique) en m3/s V (volume) en m3; t(durée) en s; S(l’aire de la section) en m2; v(vitesse moyenne d’écoulement du fluide) en m/s

ρ étant la masse volumique du liquide, on constate: Remarque: ρ étant la masse volumique du liquide, on constate: Qm = ρ×QV On utilise plus généralement le débit volumique que l'on notera, sauf ambiguïté Q

Exemple : Dans un tube de diamètre intérieur d = 12,7 mm s'écoule, à la vitesse moyenne de 1,2 m/s, de l'huile de masse volumique 820 kg/m³. Calculer: le débit volumique Qv et le débit massique Qm

Solution L’aire: m2 Débit volumique Qv

Débit massique Qm

c. Équation de conservation des débits En admettant que le débit est le même dans toutes les portions du circuit (conservation de la matière), on obtient l'équation suivante, appelée équation de continuité : v1 S1 = v2 S2

Remarque. Dans un écoulement, vitesse et section sont des grandeurs inversement proportionnelles. Exercice: 1. Quelle doit être la section en (1) pour que la vitesse de l'eau en sortie soit de 140 m/s ? 2. Quelle est la vitesse de l'eau dans le tuyau (2 ), sachant que sa section a un diamètre de 1,2 cm ?

Solution Q = 8,4 L/min = 1410-6 m3/s 1. Section en (1)

2. Aire de la section (2) Vitesse en (2)

d. Puissance hydraulique 1. Cas d’un vérin hydraulique La puissance transmise par un fluide hydraulique est appelée "puissance hydraulique". 1. Cas d’un vérin hydraulique F : force exercée par la tige du vérin v : vitesse en sortie de tige S : section du piston Qv : débit reçu p : pression dans la chambre du vérin. La puissance utile d'un vérin est donnée par la relation : Pu = F × v

Si on considère les pertes négligeables : Pu = Pa Qv Or F = p×S; v = ; p en pascal; Qv en m3/s; S Pa en Watt Donc Qv Pa = F v = P×S× = p×Qv S

P = p×Qv p×Qv P = 600 2. Cas général Un fluide hydraulique de débit Qv et de pression p transporte une puissance hydraulique P, telle que: p en pascals P = p×Qv Qv en m3/s et P est en Watt Ou encore p×Qv P = 600 p en bar Qv en L/min et P est en kiloWatt

p×Qv P = 600 80×36 P = 600 Pu = 4,8×0,80 Exemple Un vérin de rendement 80 %, reçoit un débit de 36 L/min sous une pression de 80 bars. Calculez la puissance utile du vérin. Réponse p×Qv Puissance absorbée: P = 600 80×36 P = = 4,8 kW 600 Pu = 4,8×0,80 Puissance utile: = 3,84 kW

4. Équation de Bernoulli 1. Cas général Soit un fluide parfait, incompressible, s'écoulant dans une conduite non constante (S1 < S2 ). Considérons une portion de ce fluide de masse volumique et de volume V.

L’équation de Bernoulli traduit la variation de la vitesse v, de la pression p et de l’altitude z entre les positions (1) et (2): s’exprime en kg·m-3; v en m ·s-1; p en Pa et z en m

2. Cas d’un écoulement horizontal: Effet Venturi z1 = z 2 Soit un écoulement permanent dans une conduite horizontale présentant un étranglement. L’équation de Bernoulli entre l’état (1) et l’état (2) s’écrit:

Comme S1 > S 2 , v2 > v 1 et par conséquent p2 < p 1 La pression d’un fluide diminue lorsque la vitesse de son écoulement augmente. Applications: Pistolet à peinture; vaporisateur; aile d’avion…

5. Viscosité d’un fluide Dans la réalité, les fluides parfaits qui s’écoulent sans frottement n’existent pas. L’écoulement d’un fluide réel fait apparaître des frottements des molécules entre elles et avec les parois de la conduite. La viscosité dynamique d’un fluide réel caractérise son aptitude à s’écouler . On la note: ; elle s’exprime en pascal seconde(Pa·s)

La viscosité cinématique est donnée par la formule suivante: (Pa·s) (m2/s) (kg/m3)

Autres unités plus pratiques: Le stokes (St): 1 m2/s = 104 St Le centistokes (cSt): 1 cSt = 10-2 St La viscosité des liquides diminue si la température augmente.

6. Les différents régimes d’écoulement: On distinguent deux régimes: écoulement laminaire et écoulement Turbulent. Les régimes d’écoulement sont déterminer à l’aide d’un nombre appelé Le nombre de Reynolds et noté Re Vitesse d’écoulement en m/s (sans unité) (mètre) cinématique en m2/s

7. Les pertes de charge: La viscosité du fluide et la longueur de la conduite engendrent des pertes de pression appelées aussi pertes de charge Les pertes de charges linéiques, notées p, sont exprimées en pascal (Pa): K: coefficient de pertes de charge(sans unité) L: longueur de la conduite(en m) D: diamètre de la conduite(en m)  : masse volumique du fluide(en kg/m3) v : vitesse du fluide(en m/s)

Pour un écoulement laminaire: Pour un écoulement turbulent:

Remarque : Il existe d’autres pertes de charge liées à des coudes, des rétrécissements, des vannes… Dans la pratique, des tableaux ou des abaques permettent de calculer les pertes de charge en mètres de longueur de conduite.

Énergie hydraulique

Étude d’un système composé d’une pompe hydraulique entraînée par un moteur alimentant un vérin M vérin moteur pompe

1. Moteur L’arbre du moteur est soumis à un couple de forces de moment M M en N·m F en N d en m Puissance utile du couple moteur en watt(W) fréquence de rotation en tr/s en N·m

Rendement du moteur (nombre sans unité) 2. La pompe Caractéristiques: - débit Q en m3/s - fréquence de rotation n en tr/s - la cylindrée C: volume du fluide refoulé à chaque tour de pompe (C est en m3/tr)

P a(pompe) = P u(moteur) Puissance hydraulique d’une pompe Pu: puissance en watt p: pression en pascals(Pa) Q: débit en m3/s Rendement d’une pompe P a(pompe) = P u(moteur)

3. Vérin Le fluide exerce une force pressante F sur le piston du vérin provoquant son déplacement d’une distance d(sa course), à la vitesse constante v pendant une durée t; Dans ce cas la puissance est donnée par: Pu: puissance en watt F: force exercée en N d: distance(course) en m v: vitesse en m/s t: durée en secondes(s)

Rendement d’un vérin P a(vérin) = P u(pompe)

4. Rendement d’une installation hydraulique Puissance utile mécanique fournie par le vérin Puissance électrique absorbée par le moteur

M P V Pa(moteur) Pu(moteur) Pa(pompe) Pu(pompe) Pa(Vérin) Pu(Vérin) Pp(vérin) Pp(pompe) Pp(moteur)