Mathématiques et Musique Approche interdisciplinaire « La musique est un exercice d’arithmétique secrète, et celui qui s’y livre ignore qu’il manie les nombres. » (Leibniz)

1ÈRE Partie: LES MATHÉMATIQUES AU SERVICE DE LA THÉORIE MUSICALE 2ÈME Partie: MATHÉMATIQUES ET PARTITIONS ~Activité pédagogique ~

1ère partie: les mathématiques au service de la théorie musicale Découverte des « intervalles » par Pythagore : Rapport entre la musique et la science des nombres Les Pythagoriciens pensaient que la musique devait reproduire la simplicité arithmétique du monde, et que cette simplicité serait un critère de beauté.

Les intervalles selon pythagore Un intervalle: espace entre 2 sons (exemple donné toujours à partir de « Do ») Voici la gamme, suite de 7 notes de musique Do-Ré-mi-fa-sol-la-si-Do L’octave : intervalle à rapport de fréquence = 2 1 2 En mathématiques, les intervalles seraient donc les nombres rationnels compris entre 1 et 2

Do-Ré-mi-fa-sol-la-si-Do Rapport 3/2 : La quinte Do-Ré-mi-fa-sol-la-si-Do Rapport 4/3: La quarte L’octave peut donc se diviser en une quinte et une quarte. Cela se traduit mathématiquement par l’égalité: 2 = 3 4 2 3 Rapport 5/3: La sixte mineure

La gamme de Zarlino (theoricien du xvi°s) On peut retrouver le nombre d'or dans les rapports de certains intervalles dans la gamme de Zarlino: L’unisson (1/1), l'octave (2/1), la quinte (3/2), la sixte mineure (5/3) et la sixte majeure (8/5) sont définis par les rapports des premiers termes consécutifs de la suite de Fibonacci (1/1, 2/1, 3/2, 5/3, 8/5), qui est liée au nombre d'or.

Intervalles naturels: au cœur de la musique sacree au Moyen-Age La musique au Moyen-âge était au service de Dieu, et utilisait seulement les intervalles dits « naturels » c’est-à-dire l’unisson (même hauteur), l’octave, la quinte et la quarte. Tous les autres intervalles étaient « interdits » et surtout la quarte augmentée (do – fa#) qui était le symbole du diable en musique « Diobolus in musica » Vidéo: extrait de la série  Kaamelott  - Episode de La quinte juste

2ème partie: mathématiques et partitions : Activité pédagogique Les mathématiques sont présentes partout, même dans les partitions de musique ! Objectif: résoudre des problèmes mathématiques à partir de partitions musicales Travailler les fractions et le raisonnement proportionnel Comprendre le lien mathématique entre le tempo (vitesse d’une musique) et le temps nécessaire pour jouer une pièce Mettre en contexte les mathématiques en faisant réaliser aux jeunes qu’elles font partie des partitions de musique

2ème partie: mathématiques et partitions : Activité pédagogique Concepts utilisés • Proportions • Conversion des unités de temps • Concepts de musique (notes, silences, etc.)

2ème partie: mathématiques et partitions : Activité pédagogique A l’ écoute d’une musique, on ressent généralement un battement régulier. Ce battement, que l’on appelle « Pulsation » est calculé en «bpm» (battement par minutes), à l’aide notamment du métronome. Ainsi, les compositeurs ont l’habitude d’indiquer en début de partition la durée d’une noire (=1 pulsation). Exemple, q = 120 signifie que la noire est la cent-vingtième partie d’une minute, soit ½ seconde: 1/120 x 60 s = ½ s On règle le métronome à 120, ce qui donne le rythme à suivre. En tant que musicien, on sait que chaque battement indique un temps qui correspond à la noire. De plus, chacun des rythmes des battements correspond à différents mouvements musicaux.

2ème partie: mathématiques et partitions : Activité pédagogique

2ème partie: mathématiques et partitions : Activité pédagogique Les rythmes: organisation des durées 1 2 4 8 16

2ème partie: mathématiques et partitions : découverte partition Rapport numérique au début de chaque partition: Une partition est divisée en mesures, chacune composée d’un nombre de temps déterminé. La signature au début d’une partition est une fraction: le numérateur indiquant le nombre de temps dans 1 mesure; le dénominateur, le rythme de référence pour une mesure (noire=4; blanche=2; croche= 8). Exemple: 4 Signifie qu’une mesure comporte 4 noires. 4 6 Signifie qu’une mesure comporte 6 croches. 8

2ème partie: mathématiques et partitions : découverte partition

2ème partie: mathématiques et partitions : Enonce du probleme Votre ami doit se rendre à l’anniversaire de Lili, sa petite sœur, et chanter « Joyeux anniversaire ». Or, sa petite sœur est très gourmande et mangera tout le gâteau s’il ne joue pas la pièce en moins de 60 secondes. Aidez-le à trouver le mouvement (largo, prestissimo, etc.) s’il doit jouer la partition suivante en 10 secondes.

2ème partie: mathématiques et partitions : Enonce du probleme Votre ami planifie un petit concert pour sa famille. Il prévoit jouer le thème des films Harry Potter comme introduction et le thème du film « La Panthère Rose ». Il veut que le premier morceau soit joué largo (q = 60) et le second presto (q = 200) Votre ami vous demande si 10 minutes seront suffisantes pour jouer ces trois pièces s’il veut laisser trois minutes d’interlude entre chaque pièce. Qu’en pensez-vous ? Combien de temps, en secondes, son concert durera-t-il ?

2ème partie: mathématiques et partitions : Correction 3 minutes d’interlude 3 minutes d’interlude

Combien de temps, en secondes, son concert durera-t-il ? Réponse : 10 minutes seront donc suffisantes pour jouer ces trois pièces s’il veut laisser trois minutes d’interlude entre chaque pièce. Combien de temps, en secondes, son concert durera-t-il ? Réponse : 8.38 m 8.38 502,80 502,80 secondes