Entiers, décimaux, fractions… NOMBRES AU C3 Entiers, décimaux, fractions…

Sur les enjeux d’apprentissage La résolution de problèmes joue un rôle essentiel dans l’activité mathématique. Elle est présente dans tous les domaines et s’exerce à tous les stades des apprentissages. (programme) L’acquisition des mécanismes en mathématiques est toujours associée à une intelligence de leur signification. (programme) Roland Charnay - 2012

Deux précisions de vocabulaire Lu dans un manuel : 2 , 65 partie entière partie décimale La virgule sépare la partie entière de la partie décimale Formulation correcte : partie entière : 2 partie décimale : 0,65 ou encore 65 centièmes 2,65 est la somme de sa partie entière et de sa partie décimale Roland Charnay - 2012

Un nombre décimal est un nombre écrit avec une virgule. 32 2/5 14/10 0,15 3,14 sont des nombres décimaux 2/3 0,6666… π ne sont pas des nombres décimaux Formulation correcte : Un nombre décimal est un nombre qui peut être écrit avec une virgule et un nombre fini de chiffres après la virgule Roland Charnay - 2012

L’exemple de la multiplication par 10, 100… Les limites de l’APPRENTISSAGE A COUP DE REGLES Enseigner des règles ou aider à comprendre ? L’exemple de la multiplication par 10, 100…

Multiplier par 100 Règle pour les nombres entiers : "écrire deux 0" à droite 24 x 100 = 2 400 Règle pour les nombres décimaux : déplacer la virgule de 2 rangs vers la droite 2,345 x 100 = 234,5 2,34 x 100 = 234 (disparition de la virgule) 4,7 x 100 = 470 (disparition de la virgule… et apparition de 0 !) Roland Charnay - 2012

Résultats et difficultés 2,3 x 10 (évaluation 6e) 23 64 % 20,3 ou 2,30 ou 20,30 20 % La virgule "frontière" et "écrire un 0" 230 5 % La virgule "absente" et "écrire un 0" 35,2 x 100 (évaluation 6e) 3 520 47 % 3500,2 ou 35,200 ou 3 500,200 15 % La virgule "frontière" 352 15 % Que faire quand la virgule "disparaît" ? Roland Charnay - 2012

Comprendre l'écriture 20,45, par exemple comme : Comment justifier que 20,45 x 10 = 204,5 ? Ou comment trouver la réponse sans connaître de règle ? Comprendre l'écriture 20,45, par exemple comme : 2 dizaines + 4 dixièmes + 5 centièmes Savoir que multiplier 20,45 par 10 revient à multiplier chaque "terme de la décomposition" par 10, donc on obtient : 20 dizaines + 40 dixièmes + 50 centièmes Savoir que 20 dizaines, c'est 2 centaines (car 10 dizaines, c'est 1 centaine)… Savoir que 40 dixièmes, c'est 4 unités (car 10 dixièmes, c'est 1 unité) Savoir que 50 centièmes, c'est 5 dixièmes (car 10 centièmes, c'est 1 dixième) Roland Charnay - 2012

En résumé (dans le tableau de numération) pour 20,45 x 10 milliers centaines dizaines unités dixièmes centièmes millièmes 2 4 5 Roland Charnay - 2012 La virgule n’a pas changé de place !

EN REALITE… Quand on multiplie un nombre par 10, chaque chiffre prend une valeur "10 fois plus grande" Ce n'est pas la virgule qui se déplace, mais les chiffres qui "changent" de valeur… donc de place (déplacement vers la gauche) C'est la même chose pour les entiers que pour les décimaux ! Roland Charnay - 2012

En résumé (dans le tableau de numération) pour 20,45 x 10 37 x 10 0,4 x 10 milliers centaines dizaines unités dixièmes centièmes millièmes 2 3 7 4 5 Roland Charnay - 2012

Avec d’autres systèmes de numération Romain Multiplier XXXVII par X (37 par 10) CCCLXX (370) Remplacer chaque symbole par un symbole de valeur dix fois supérieure. Roland Charnay - 2012

Avec du matériel Exemple de 0,12 x 10 Roland Charnay - 2012 1,2

TACHES, TECHNIQUES et JUSTIFICATIONS Enseignement centré sur… COMPREHENSION Tâche Multiplier par 10, 100… Technique Déplacement de la virgule ou des chiffres Justification Chaque chiffre prend une valeur 10 fois, 100 fois supérieure Roland Charnay - 2012 MECANISME

Des difficultés qui persistent Des difficultés qui persistent ! (Extrait de la thèse de Jeanne Bolon, 1996) Par rapport à 7, quel est le nombre le plus proche : 6,9 ou 7,08 CM1 CM2 6e 5e 22 % 30 % 27 % 29 % Et pourtant, il suffit d'avoir compris que 8 centièmes c'est moins que 1 dixième ! Roland Charnay - 2012

Quelques difficultés pour les nombres décimaux Comparaison, intercalation 2,7 < 2,17 Entre 2,5 et 2,7, il n’ y a que 2,6 Signification des chiffres : pseudo-symétrie dizaine, dixième… Dans 234,57  3 est le chiffre des dizaines et 7 celui des dixièmes Calcul 2,3 + 0,8 = 2,11 (2 + 0 = 2 ; 3 + 8 = 11) 2,3 x 0,8 = 0,24 (2 x 0 = 0 ; 3 x 8 = 24) Sens de certaines opérations Prix de 0,85 kg de gruyère à 17 € le kg  division Roland Charnay - 2012

Interprétation des erreurs et origine possible La virgule sépare 2 nombres entiers "indépendants" Signification "spatiale" et non "conceptuelle" 234,567 dizaine dixième Idée de "nombre" suivant persistante (cf. entiers) Lecture : 3 virgule 25 plutôt que 3 et 25 centièmes ou 3 et 2 dixièmes et 5 centièmes Usage social : 3,25 € pour 3€ 25c Confusion fractions / décimaux 96 + 2/100 = 96,200 pour 21 % des élèves (2005) 80,4 = 80/4 pour 17 % des élèves (2005) Roland Charnay - 2012

LA NUMERATION des ENTIERS et des DECIMAUX Roland Charnay - 2012 Quelques repères pour la mise en place

« la part de l’unité partagée en cent » 1ère connaissance fondamentale La valeur des chiffres par rapport à l’unité Valeur de chaque chiffre par rapport à l’unité, en fonction du rang qu’il occupe (à gauche ou à droite de la virgule) Centaine : 100 fois l’unité Centième : 100 fois moins que l'unité 35 436 35,436 Roland Charnay - 2012 3 fois « la part de l’unité partagée en cent » 3 fois « dix mille unités » 3 fois « dix unités » 3 fois « dix unités »

2e connaissance fondamentale La relation de valeur entre rangs voisins 1 centaine = 10 dizaines 1 dizaine = 1 centaine divisée par 10 1 dixième = 10 centièmes 1 centième = 1 dixième divisé par 10 Partage en 10 Groupement par 10 Partage en 10 Groupement par 10 35 436 35,436 Roland Charnay - 2012 5 fois « une dizaine de milliers partagée en 10 » 3 fois « dix unités » 5 fois « une dizaine partagée en 10 » 3 fois « dix centièmes »

3e connaissance fondamentale La relation de valeur entre rangs non voisins 1 millier = 100 dizaines 1 dizaine = 1 millier divisé par 100 1 dizaine = 100 dixièmes 1 dixième = 1 dizaine divisée par 100 Partage en 100 Roland Charnay - 2012 35,436 Groupement par 1 000

Ces connaissances sont évocables dans trois registres de langage à mettre en relation Registre verbal Registre symbolique : virgule, fraction Registre des représentations matérielles (longueurs, aires…) Roland Charnay - 2012

cent soixante-quatorze 1 Roland Charnay - 2012 174 cent soixante-quatorze Etre capable de « naviguer » entre ces 3 registres

1,74 1 Un, sept dixièmes et quatre centièmes Roland Charnay - 2012 Un, sept dixièmes et quatre centièmes Un et soixante-quatorze centièmes 1,74 Etre capable de « naviguer » entre ces 3 registres

Des entiers aux décimaux… Le système d’écriture à virgule des nombres décimaux fonctionne comme le système d’écriture des nombres entiers Le rang détermine la valeur Les rapports de valeur entre rangs sont identiques (fondés sur des groupements par dix ou des partages en dix) La virgule sert à indiquer le rang de l’unité Mais certaines propriétés sont différentes En particulier, l’intercalation toujours possible pour les nombres décimaux. Conclusion Le système d’écriture à virgule des nombres décimaux ne peut être compris que si celui des entiers l’est en profondeur. Roland Charnay - 2012

Comprendre les grands nombres Base dix et sur-base mille 24 568 405 012 1 milliard = 1 000 millions 1 million = 1 000 milliers Cette structure détermine la lecture milliards millions mille Avoir des ordres de grandeur Lille-Marseille Populations : française, chinoise, mondiale Roland Charnay - 2012

Les fractions à l’école primaire… … pour aider à comprendre les nombres décimaux

Fractions de l’école au collège Exprimer des mesures, à partir du partage de l'unité 5/4, c'est 5 fois le quart de l'unité École primaire 1 ou l’unité Roland Charnay - 2012 Cette signification correspond à la lecture cinq quarts

Fractions de l’école au collège Expression du partage d'une grandeur 5/4, c'est le quart de 5 (lié à 5 divisé par 4) Solution de 4x = 5 Expression de rapports 5 pour 4 20 pour 100 Collège Roland Charnay - 2012

Trois moments clés pour l’apprentissage des fractions

Sens et nécessité des fractions d'après Cap Maths CM1 A : 1u + ½ u B : 1u + 1/4 u C : ½ u D : 2 u E : ¼ u F : 3/4 u Roland Charnay - 2012 Synthèse Pour mesurer, il faut parfois utiliser des parts de l'unité ½ u, c’est une part de l’unité partagée en 2 ¾ u, c’est 3 parts de l’unité partagée en 4

1 unité, c’est 2 demi- unités Comparaison des fractions : égalité, inégalité 2u + 1/2 u 1u + 3/2 u 5/2 u 7/4 u 1 u + 3/2 u est-elle égale à 5/2 u ? Pas de règle de comparaison… donc appel au raisonnement… Appui sur le langage verbal Appui sur le « matériel » 1 unité, c’est 2 demi- unités Roland Charnay - 2012 1u + 3/2 u, c’est donc : 2 demi-unités plus 3 demi-unités, c’est 5 demi-unités, donc 5/2 u

Soit partir de 3, c’est 6/2 (6 demis) et compter encore 5 demis Roland Charnay - 2012 Placer 11/2 : Impossible de compter 11 demis à partir de 0 Soit partir de 3, c’est 6/2 (6 demis) et compter encore 5 demis Soit considérer que 10/2 c’est 5 et compter 1 demi après 5

Décimaux à l’école primaire Quelques moments clés pour l’apprentissage

D'abord les fractions décimales Des fractions comme les autres… qui utilisent les "bonnes relations" entre 1 ; 10 ; 100… Appui sur les longueurs (unité assez grande pour avoir des centièmes matérialisés) et sur les aires (matérialisation plus facile des centièmes et même des millièmes) Deux points importants : Egalités, comme 7/10 = 70/100 Décomposition 234/10 = 23 + 4/10 (partie entière) 234/100 = 2 + 3/10 + 4/100 (signification des chiffres) 34/100 = 3/10 + 4/100 (idem) Roland Charnay - 2012

Les nombres décimaux une autre écriture des fractions décimales une lecture : 1 et 4 dixièmes et 5 centièmes une signification : image mentale 1 Roland Charnay - 2012

Raisonner pour comparer Matériel disponible des unités des dixièmes des centièmes Roland Charnay - 2012

comparaison de 2,12 et 2,7 Trois phases Réponse individuelle, avec explication Prise de position sur des réponses/explications choisies par l'enseignant Par groupes de 2 Confrontation de 2 groupes de 2 Débat collectif Roland Charnay - 2012

Exemples d'arguments 2,12 > 2,7 parce que 12 > 7 2,7 > 2,12 parce que 2,7 = 2,70 (le 0 ne compte pas !) 2,7 > 2,12 parce que 2,70 > 2,12 (on a tout mis en centièmes) 2,7 > 2,12 parce que 7 dixièmes et plus grand que 1 dixième 2,7 > 2,12 parce que 2,7=27/10=270/100, 2,12=212/100 2,7 > 2,12 parce que le 7 de 2,7 c’est 70 centièmes et le 12 de 2,12 c’est seulement 12 centièmes 2,7 > 2,12 parce que dans 2,7 il y a 58 centièmes de plus que dans 2,12 Roland Charnay - 2012

FONDAMENTALEMENT, LA COMPARAISON DES NOMBRES DÉCIMAUX ET CELLE DES NOMBRES ENTIERS REPOSENT SUR LES MÊMES CONNAISSANCES Pourquoi 2 560 > 987 ? Parce que 2 milliers c’est plus que 987 unités En effet 2 milliers = 2 000 unités Pourquoi 856 > 839 ? Parce que 5 dizaines c’est plus que 39 unités En effet 5 dizaines = 50 unités Pourquoi 7,8 > 7,56 ? Parce que 8 dixièmes c’est plus que 56 centièmes En effet 8 dixièmes = 80 centièmes Roland Charnay - 2012

D’OÙ UNE MÊME RÈGLE POSSIBLE POUR COMPARER DES NOMBRES ENTIERS OU DÉCIMAUX ! Les nombres étant écrits (ou imaginés) l’un sous l’autre, on parcourt leurs chiffres de gauche à droite. Dès qu’on trouve 2 chiffres différents, on peut conclure. 78 758 9 896 987 658 983 899 5,7 5,368 25,3 8,9856 Roland Charnay - 2012

intercalation… à l'infini Remettre en cause l'idée de "nombre suivant" Roland Charnay - 2012

Nombres décimaux et calcul A penser dans l’articulation avec le collège Sixième 4 opérations (toutes reprises en Sixième !) Multiplier par 0,1 ; 0,01… (hors socle en Sixième !) Division décimale limitée à celle d’un décimal par un entier (le dividende comportant au plus 2 chiffres après la virgule) En calcul posé, les nombres doivent rester de taille raisonnable et aucune virtuosité technique n’est recherchée. Cinquième Division de deux nombres décimaux Roland Charnay - 2012

Nombres décimaux et calcul Points clés en calcul automatisé Multiplier et diviser par 10, 100… en relation avec la numération décimale Résultats mémorisés Sommes et différences de dixièmes (0,5 + 0,7…) Compléments à 1 et à l’unité supérieure (pour des nombres avec des dixièmes) Produits du type 0,4 x 3 ; 0,4 x 5 Relations entre 0,25 ; 0,5 ; 0,75 et 1 (en particulier savoir que 0,25 = ¼ ; 0,5 = ½ ; 0,75 = ¾) Roland Charnay - 2012

Nombres décimaux et calcul Points clés en calcul automatisé Calcul posé Addition, soustraction, en lien avec la numération décimale Multiplication d’un décimal par un entier 5,86 586 centièmes ou 586 : 100 x 307 179902 centièmes ou 179902 : 100 1799,02 Division d’un entier ou d’un décimal par un entier, en lien avec la numération décimale Pour ces opérations, continuité de sens entre calcul sur les entiers et calcul sur les décimaux. Roland Charnay - 2012

Le cas de la multiplication de deux décimaux Rupture de sens 45 x 13  13 fois 45 (addition itérée) 45,35 x 13  13 fois 45,34 (addition itérée) 45,35 x 2,7  sens à donner à 2,7 fois 45,35 ? 45,35 x 0,7  sens à donner à 0,7 fois 45,35 ? Nécessité d’une référence Soit à la proportionnalité : pour 45,35 x 2,7 2 fois 45,35 plus 7/10 de 45,35 Soit à l’aire d’un rectangle : pour 45,35 x 0,7 rectangle de 45,35 cm sur 0,7 cm Continuité pour la technique 45,35 4 535 : 100 x 2,7 27 : 10 122 445 à diviser par 1 000 Roland Charnay - 2012

Nombres décimaux et calcul Points clés en calcul réfléchi Doubles de nombres comme 4,5 17,5 0,75 Moitiés de nombres comme 7 0,7 1,2 Sommes ou différences comme 13,5 + 6,5 13 – 6,5 Produits comme 2,5 x 4 6,2 x 5 Roland Charnay - 2012