IV- MOUVEMENT CIRCULAIRE UNIFORME: MCU 2.1.    Définition : - La trajectoire du point du solide est un cercle (an =V2/R= R.w2= R.q’ 2) -Son accélération angulaire est nulle (w’=0) donc sa vitesse angulaire est constante au cours du temps (w = constante). 2.2     Conditions aux limites du mouvement : CONDITIONS INITIALES CONDITIONS PARTICULIERES t0 = 0 s : instant initial  t : instant particulier du mouvement  q0 : la position angulaire initiale  q : la position angulaire à l’instant t w = q’ = constante : la vitesse angulaire w’ = q’ ’ = 0 rd/s2 : l’ accélération angulaire Mr. Abdelhamid Galaï

2.3. Équations du mouvement ou horaires: w = 2P. N / 60 Formule utile : w’ = 0 w = constante q = w0.t + q0 Vitesse en rd/s Vitesse en tours/mn Nota : Pour écrire ces équations, il suffit de remplacer w et q0 par les valeurs trouvées. 2.4. Graphes du mouvement: Graphe des accélérations angulaires Graphe des vitesses angulaires Graphe des abscisses angulaires Mr. Abdelhamid Galaï

V- MOUVEMENT CIRCULAIRE UNIFORMEMENT VARIE : (M.C.U.V.) 2.1.     Définition - La trajectoire du point du solide est un cercle (an=V2/R= R.w2= R.q’ 2) - L’ accélération totale du point est a= (an2 + at2)1/2 avec at=R.w’ =R.q’ ‘ - L’accélération angulaire du solide est constante (w’=constante) . 2.2     Conditions aux limites du mouvement : CONDITIONS INITIALES CONDITIONS PARTICULIERES t0 = 0 s : instant initial  t : instant particulier du mouvement  q0 : la position angulaire initiale  q : la position angulaire à l’instant t w0  = q0’ : la vitesse angulaire initiale  w= q’  : la vitesse angulaire à l’instant t w’ = q’ ’ = constante : l’ accélération angulaire Mr. Abdelhamid Galaï

2.3. Équations du mouvement ou horaires: w’ = constante w = w’.t + w0 q = ½. w’.t2 + w0.t + q0 w’ = w2 – w02 / [2( q – q0 )] Formule utile : Nota : Pour écrire ces équations, il suffit de remplacer w’ , w0 et q0 par les valeurs trouvées. 2.4. Graphes du mouvement: Graphe des accélérations angulaires Graphe des vitesses angulaires Graphe des abscisses angulaires Mr. Abdelhamid Galaï

Relation entre l’abscisse curviligne s et l’abscisse angulaire q : s = R . q (m) = (m) . (rd) Exemple du périmètre du cercle : P = R . 2P Mr. Abdelhamid Galaï

Relation entre la vitesse linéaire V et la vitesse angulaire w = q’ : v = R . w = R . q ’ (m/s) = (m) . (rd/s) D’après Thalès : w =VN/ON = VP/OP = VM/OM Mr. Abdelhamid Galaï

Relation entre l’accélération linéaire a et l’accélération angulaire w’=q’’ : at = R . w ’ = R . q ’’ (m/s2) = (m) . (rd/s2) an = R . w 2 = R . q ’2 (m/s2) = (m) . (rd/s) 2 a D’après Pythagore : a = ( at2 + an2 ) 1/2 Mr. Abdelhamid Galaï

Exercice 1: touret à meuler 1.1/ Calculez la vitesse de déplacement d'un point M situé à la périphérie de la meule. Sa vitesse de rotation est de 3000 tr/mn. formule littérale : VM = R . w = R . 2P.N/60 Application numérique : VM = 0.06m . (2P.3000/60)rd/s VM = 18,84 m/s Mr. Abdelhamid Galaï

Exercice 1: touret à meuler 1.2/ Calculez l'accélération de ce même point. formule littérale : aM = (at2 + an2) 1/2= an =V2/R Application numérique : aM = 18,842 / 0,06 aM = 5 916 m/s2 Mr. Abdelhamid Galaï

Exercice 2: hélice d’avion (trajectoires) L‘extrémité de l’hélice d’un avion ne doit pas dépasser la vitesse de 340m/s afin d’éviter sa détérioration 2.1/ Tracer la trajectoire des points A et E appartenant à l'hélice 1 par rapport à l'avion 0. On donne OE=1,2m et OA=0,6m. T A,1/0 : cercle (O,OA) T E,1/0 : cercle (O,OE) Mr. Abdelhamid Galaï

Exercice 2: hélice d’avion (vitesses) Données : OE=1,20 m 2.2/ Calculer la vitesse de l’hélice si VE,1/0 =340m/s. formule littérale : V E,1/0 = R . w = OE . w1/0 => w1/0 = V E,1/0 / OE w1/0 = 340 (m/s) / 1.2 (m) = 283 rd/s A.N.: 2.3/ Tracer VE,1/0 . En déduire graphiquement V A,1/0. VE,1/0 V A,1/0 = 170 m/s VA,1/0 Échelle des vitesses : 1 cm => 100m/s Mr. Abdelhamid Galaï

Exercice 2: hélice d’avion (accélération) 2.4/ Calculer l'accélération du point E appartenant à l'hélice 1 dans son mouvement par rapport à l'avion 0, notée a (E,1/0). Sa vitesse critique de 340m/s est constante. formule littérale : a E,1/0 = (at2 + an2) 1/2= an =V2/R A.N.: a E,1/0 = 3402 / 1,2 = 96 333 m/s2 a E,1/0 Mr. Abdelhamid Galaï

Exercice 2: Arrêt de l’hélice d’avion La vitesse de cette hélice est de 283 rd/s. Lorsque le moteur est coupé, l'hélice tourne encore pendant 3 secondes jusqu'à l'arrêt. 2.5/ Calculer le nombre de tours effectués pendant ces 3s . Pour cela, écrire les équations horaires q(t),q’(t) et q’’(t). Mr. Abdelhamid Galaï

Réponses : Résolution : * q’ = q’’.t + q’0 L’hélice s’arrête => MCUV 0 = q’’.3 + 283 q’’ = - 94 rd/s2 CI CF t=0s t=3s q0=0rd q= q’0=283rd/s q’=0rd/s q’’ = * q = ½. q’’.t2 + q’0.t + q0 426 rd = [- 47 .32 + 283 . 3] = 426 rd - 94 rd/s2 Calcul du nombre de tours n : n = q / 2P = 426/2P =68 trs Équations du mouvement : q = - 47.t2 + 283 . t rd q’ = - 94.t + 283 rd/s q’’ = - 94 rd/s2 Mr. Abdelhamid Galaï

Exercice 2: arrêt de l’hélice d’avion Lorsque le moteur entraînant l'hélice est arrêté, l'hélice tourne encore pendant 3 secondes jusqu'à l'arrêt. 2.6/ Calculer a (E,1/0) à l'instant t = 2s. Mr. Abdelhamid Galaï

Réponses : q’’ = - 94 q’ = - 94.t + 283 q = - 47.t2 + 283 . t Équations horaires: 0<t<3s formule littérale : a E,1/0 = (an2 + at2)1/2 Application numérique : * an = R. q’ 2 Calcul de q’ à t=2s : q’ = - 94 .2 + 283 = 95 rd/s => an = R. q’ 2 = 1,2 . 952 = 10 830 m/s2 * at = R. q’’ => at = 1,2 . -94 = -113 m/s2 Donc aE1/0 = [ 10 8302 + (-113)2 ]1/2 aE1/0 = 10 830 m/s2 Mr. Abdelhamid Galaï

Exercice 3 : transmission Soit la chaîne cinématique d’une transmission de puissance. Le moteur atteint sa vitesse de régime 3000 tr/min en 2s. Le rapport de réduction des roues dentées 3 et 4 est de 1/4.  Étude du démarrage à vide : 3.1/ Déterminer les équations du mouvement et le nombre de tours effectués par l’arbre 2 pendant le démarrage . Mr. Abdelhamid Galaï

Réponses : démarrage Calcul de la vitesse de l’arbre 2 : r = Ns/Ne => Ns = r . Ne Ns. = (1/4) .3000 =750 tr/mn q’ s =(2P/60).Ns = 25 P rd/s MCUV CI CF t=0s t=2s q0=0rd q= q’0 =0rd/s q’= q’’ = * q’ = q’’.t + q’0 25P rd 25P = q’’.2 + 0 25Prd/s q’’ = 12,5P rd/s2 12,5 P rd/s2 * q = ½. q’’.t2 + q’0.t + q0 q = 6,25 P .22 Équations du mouvement : q = 25P rd q = 6,25 P .t2 rd w = q’= 12,5 P .t rd/s Calcul du nombre de tours à t=2s : w’= q’’= 12,5 P rd/s2 n = q / 2P = 25 P / 2 P n = 12.5 tours Mr. Abdelhamid Galaï

3.2/ Déterminer la vitesse VI2/0 et l’accélération AI2/0 max. CI CF t=0s t=2s q0=0rd q=25P rd q’0 =0rd/s q’=25Prd/s w’ =12,5 P rd/s2 Calcul de VI2/0 maxi: Formule littérale : V = R . w A.N.: VI2/0 = 0.16m . 25Prd/s = 4P m/s Calcul de aI2/0 maxi: Formule littérale : a =(at2 + an2)1/2 =[ (R w’)2+ (V2/R)2 ]1/2 A.N.: aI2/0 = [(0,16.12,5P)2 + (16P2 / 0,16)2]1/2 aI2/0 = [(2P)2 + (100P2)2]1/2 = 987 m/s2 Mr. Abdelhamid Galaï

Exercice 3 : Étude du freinage 3.3/ l’arrêt s’effectue en 2,5 tours. Le constructeur signale un arrêt sécurisé de la machine en moins de 1 s. Vérifier ses propos. Mr. Abdelhamid Galaï

Réponses : freinage formule utile : * q’’ = [q’2- q’02] / 2(q-q0) MCUV => q’’ = -(25P)2 / 2.(5P) CI CF t=0s t= q0=0rd q=2,5.(2P)rd q’0 =25Prd/s q’=0rd/s q’’ = q’’ = -62,5P rd/s2 0,4 s * q’ = q’’.t + q’0 -62,5P rd/s2 0 = -62.5P .t +25P t = -25P /-62.5P Équations du mouvement : t = 0,4 s < 1 s CQFV q = -31,25P .t2 +25P.t rd q’ = -62.5P .t +25P rd/s q’’= -62,5P rd/s2 Mr. Abdelhamid Galaï

3.4/ Tracer le graphe de vitesses q’ (rd/s) 25p t (s) 2 9,6 10 Mr. Abdelhamid Galaï

Exercice QCM 4: q 10 tours q 45 tours q 63 tours La position angulaire d’un pignon animé d’un mouvement de rotation est définie en radians, en fonction du temps en secondes, par la relation q = 6.t2 + 3 t Combien de tours aura-t-il effectués, 3 secondes après son démarrage ? q 10 tours q 45 tours q 63 tours Mr. Abdelhamid Galaï

Exercice QCM 5: q s = 10 m q s = 6,3 m q s = 3,15 m Un pignon, dont la position angulaire est définie par la relation q = 6.t2 + 3 t, a un diamètre primitif de 100 mm. Calculer la longueur parcourue sur ce cercle primitif, après 3 secondes du départ. q s = 10 m q s = 6,3 m q s = 3,15 m Mr. Abdelhamid Galaï

Exercice QCM 6: La position angulaire d’un solide animé d’un mouvement de rotation est définie par la relation q = 6.t2 + 3 t . Quelle est son accélération angulaire ? w’ = 12 rd/s2 q w’ = 9 rd/s2 q w’ = 6 rd/s2 Mr. Abdelhamid Galaï

Exercice QCM 7: La position angulaire d’un solide animé d’un mouvement de rotation est définie par la relation q = 6.t2 + 3 t . Quelle est sa vitesse angulaire initiale ? q w0 = 3 rd/s q w0 = 6 rd/s q w0 = 12 rd/s Mr. Abdelhamid Galaï

Exercice QCM 8: La position angulaire d’un solide animé d’un mouvement de rotation est définie par la relation q = 6.t2 + 3 t . Quelle est l’équation de sa vitesse angulaire ? q w = 6 t + 3 rd/s q w = 3.(4t + 1) rd/s q w = 12 t + 1 rd/s Mr. Abdelhamid Galaï

Un arbre moteur tourne à la vitesse de 1146 tours/minute. Exercice QCM 9: Un arbre moteur tourne à la vitesse de 1146 tours/minute. Exprimer cette vitesse en rd/s q w = 120 rd/s q w = 7200 rd/s q w = 10943 rd/s Mr. Abdelhamid Galaï

Exercice QCM 10: Un arbre moteur tourne à la vitesse de 120 rd/s et passe à la vitesse de 150 rd/s en 3 secondes. Calculer l’accélération de l’arbre moteur durant cette période ?  q w’ = 10 rd/s2 q w’ = 30 rd/s2 q w’ = 90 rd/s2 Mr. Abdelhamid Galaï

Exercice QCM 11: La vitesse d’un solide est définie en fonction du temps par l’équation w = -3t + 9. Quel est le temps mis pour obtenir l’arrêt du solide ? q t = 12 s q t = 3 s q t = 1 s Mr. Abdelhamid Galaï

Exercice QCM 12: La vitesse d’un solide est définie en fonction du temps par l’équation w = -3t + 9 Quelle est l’équation définissant la position du solide ? On commence à mesurer l’angle balayé au début du mouvement : q0 = 0 rd q q = -3.t2 + 9 t q q = -6.t2 + 9 t q q = -1.5.t2 + 9 t Mr. Abdelhamid Galaï

Exercice QCM 13: Un arbre moteur tourne à la vitesse de 1500 tr/mn. son arrêt s’effectue en 12,5 tours. Quelle est la valeur de son accélération ? q w’ = - 50P rd/s2 q w’ = - 100P rd/s2 q w’ = - 200P rd/s2 Mr. Abdelhamid Galaï

Combien de tours aura-t-il effectués, 3 secondes après son démarrage ? Corrigé Exercice QCM 4: La position angulaire d’un pignon animé d’un mouvement de rotation est définie en radians, en fonction du temps en secondes, par la relation q = 6t2 + 3t Combien de tours aura-t-il effectués, 3 secondes après son démarrage ? q = 6 t2 + 3 t q = 6x32 + 3x3 = 63 rd n = q/2P = 10 tours  10 tours q 45 tours q 63 tours Mr. Abdelhamid Galaï

Corrigé Exercice QCM 5: Un pignon, dont la position angulaire est définie par la relation q = 6t2 + 3t , a un diamètre primitif de 100 mm. Calculer la longueur parcourue sur ce cercle primitif, après 3 secondes du départ. s = R q s = 0,05m x 63rd = 3,15 m q s = 10 m q s = 6,3 m  s = 3,15 m Mr. Abdelhamid Galaï

Quelle est son accélération angulaire ? Corrigé Exercice QCM 6: La position angulaire d’un solide animé d’un mouvement de rotation est définie par la relation q = 6t2 + 3t Quelle est son accélération angulaire ? q = ½ w’t2 + w0 t + q0 q = 6 t2 + 3 t  w’ = 12 rd/s2 w’ = 9 rd/s2 q w’ = 6 rd/s2 Mr. Abdelhamid Galaï

Quelle est sa vitesse angulaire initiale ? Corrigé Exercice QCM 7: La position angulaire d’un solide animé d’un mouvement de rotation est définie par la relation q = 6t2 + 3t Quelle est sa vitesse angulaire initiale ? q = ½ w’t2 + w0t + q0 q = 6 t2 + 3 t  w0 = 3 rd/s q w0 = 6 rd/s q w0 = 12 rd/s Mr. Abdelhamid Galaï

Quelle est l’équation de sa vitesse angulaire ? Corrigé Exercice QCM 8: La position angulaire d’un solide animé d’un mouvement de rotation est définie par la relation : q = 6t2 + 3t Quelle est l’équation de sa vitesse angulaire ? w = q ’ = 12t + 3 = 3(4t + 1) rd/s q w = 6 t + 3 rd/s  w = 3(4t + 1) rd/s q w = 12 t + 1 rd/s Mr. Abdelhamid Galaï

Un arbre moteur tourne à la vitesse de 1146 tours/minute. Corrigé Exercice QCM 9: Un arbre moteur tourne à la vitesse de 1146 tours/minute. Exprimer cette vitesse en rd/s N = 1146 tours/minute w = 2P N / 60 = 120 rd/s  w = 120 rd/s q w = 7200 rd/s q w = 10943 rd/s Mr. Abdelhamid Galaï

Calculer l’accélération de l’arbre moteur durant cette période ? Corrigé Exercice QCM 10: Un arbre moteur tourne à la vitesse de 120 rd/s et passe à la vitesse de 150 rd/s en 3 secondes. Calculer l’accélération de l’arbre moteur durant cette période ?  w = w’ t + w0 150 = w’ 3 + 120 w’ = 30 / 3  w’ = 10 rd/s2 q w’ = 30 rd/s2 q w’ = 90 rd/s2 Mr. Abdelhamid Galaï

Quel est le temps mis pour obtenir l’arrêt du solide ? Corrigé Exercice QCM 11: La vitesse d’un solide est définie en fonction du temps par l’équation w = -3t + 9. Quel est le temps mis pour obtenir l’arrêt du solide ? w = -3t + 9 0 = -3t + 9 t = - 9 / - 3 = 3 s q t = 12 s  t = 3 s q t = 1 s Mr. Abdelhamid Galaï

Quelle est l’équation définissant la position du solide ? Corrigé Exercice QCM 12: La vitesse d’un solide est définie en fonction du temps par l’équation w = - 3t + 9 Quelle est l’équation définissant la position du solide ? On commence à mesurer l’angle balayé au début du mouvement : q0 = 0 rd w’ = - 3 rd/s2 w0 = 9 rd/s w = - 3 t + 9 = w’ t + w0 q q = -3.t2 + 9 t q q = -6.t2 + 9 t  q = -1.5.t2 + 9 t Mr. Abdelhamid Galaï

Quelle est la valeur de son accélération ? Corrigé Exercice QCM 13: Un arbre moteur tourne à la vitesse de 1500 tr/mn. son arrêt s’effectue en 12,5 tours. Quelle est la valeur de son accélération ? Données : N=1500 tr/mn  w = 2P N / 60 = 50P rd/s n=12,5 tours  q = 2P.n = 25P rd Formule littérale : w’ = (w2-w02) / 2(q-q0) Application num. : w’ = - (50P)2 / 2(25P)  w’ = - 50P rd/s2 q w’ = - 100P rd/s2 q w’ = - 200P rd/s2 Mr. Abdelhamid Galaï