présentation du chapitre
Quel est le jour de la semaine correspondant à ma date de naissance ? On peut résoudre ce problème en utilisant la division euclidienne et aller plus loin encore en créant des calendriers perpétuels.
SUR LES NOMBRES PREMIERS En nombre infini > Démonstration dEuclide « Les Grecs ont été les premiers à parler un langage compréhensibles par les mathématiciens actuels. Les mathématiques grecques sont intemporelles, davantage même que la littérature grecque » ( Littlewood, mathématicien anglais ) La recherche est axée sur létude des nombres de Mersenne ( de la forme 2 n - 1 ) entiers pour lesquels on connaît désormais des tests de primalité efficaces. Le nombre de nombres premiers inférieurs à x divisé par x tend vers zéro ! La formule indiquant quau voisinage du nombre x la proportion des nombres premiers est de lordre de ln( x )/ x a été conjecturée vers 1792 par Gauss, le prince des mathématiciens, mais démontrée seulement en A la source de tous les records > Supercalculateurs De plus en plus rares > Un résultat paradoxal
QUELQUES IDÉES GÉNÉRALES Point de vue théorique > Généraliser des concepts Substitution de la notion de congruence à celle dégalité On dira que deux nombres sont égaux modulo n, sils ont même reste dans la division euclidienne par n. Cest légalité sur une horloge où, après douze heures, lindication est identique à lheure de départ. Cette théorie permet notamment de justifier tous les critères de divisibilité et plusieurs tours de cartes. Gauss démontra de nombreux résultats observés par ses prédécesseurs dont Leibniz, Fermat et Wilson. Un ancien traité chinois datant du XVIII e siècle, nommé Suhanshu, indique un très beau théorème ( celui dit des restes chinois très connu des élèves de CP ) qui nétait pas connu des Grecs. Arithmétique modulaire > Créer de nouveaux théorèmes Connaissance accrue des nombres entiers premiers