Les trois Omégas de l’Univers plus ou moins le Quatrième Les trois Omégas de l’Univers plus ou moins le Quatrième ? Philippe Magne 2004

Introduction Trois sortes d’énergies occupent l’espace. Elles gouvernent l’expansion par le truchement de l’interaction gravitationnelle du fait de l’équivalence masse /énergie selon la célèbre formule E=mc² Ce sont les sources du champ de gravitation comme classiquement les masses. Le fluide cosmique possède une pression exprimable comme une densité d’énergie qui s’ajoute algébriquement aux autres.

RAPPELS

Principe cosmologique Homogénéité et Isotropie Les propriétés géométriques et physiques de l’Univers sont, à un temps cosmique donné, les mêmes en tout point et dans toutes les directions autour de chaque point. 1)Vraisemblance confortée par le projet 2dFGRS, 200000 galaxies observées. 2)Isotropie constatée parfaite du FDC par le satellite COBE de la NASA (1989)

Loi vitesse / distance vitesse récession = H x D H : constante de Hubble Elle l’emporte sur l’agitation locale des galaxies à partir d’une distance de 100 millions d’AL où la vitesse de récession est de l’ordre de 2000 km / s Ainsi, la limite inférieure de l’univers relativiste est elle à 100 millions d’AL ou environ 30 Mpc

Géométrie de l’espace Sa courbure dépend de son contenu énergétique Il s’exprime localement par la somme: Energie cinétique + Energies potentielles =-K K Géométrie Positif Riemann Nul Euclide Négatif Lobatchevsky Bolyai

Dynamique de l’Expansion Facteur d’échelle en fonction du temps

Géométrie de l’espace Equivalents du plan

ENERGIES

Facteur d’ échelle et Mécanique classique En calculant la chute radiale libre d’une particule d’épreuve dans un champ de gravitation homogène on obtient l’équation du Facteur d’échelle en fonction du temps. Ce calcul mène aux énergies qui gouvernent l’expansion Cela revient à prendre en compte un petit échantillon d’univers,ce qui donne l’équation différentielle concernant tout l’Univers

Support de calcul Le champ dû aux couches extérieures au trait gras est nul, la force d’attraction agissant sur la particule d’épreuve est due à la masse contenue dans les couches intérieures

m x accélération = Force attractive Conventions La petite particule d’épreuve de masse m, par exemple 1kg, est sur le cercle en trait gras, la mécanique classique permet de calculer son mouvement par rapport au centre de la figure. Par convention nous adoptons le même symbole pour désigner la distance de la particule au centre de la figure et pour désigner le facteur d’échelle R( t ) m x accélération = Force attractive

Calcul de R ( t ) et de a ( t )

Pression du fluide cosmique Précisons que le mot fluide est un générique qui convient assez bien pour évoquer les métamorphoses du cosmos lorsque température et pression ont énormément évolué de concert avec l’expansion de l’espace RAPPEL Classiquement, la pression est une conséquence de l’impact des molécules sur les les parois d’un récipient. Pour chiffrer cet effet la pression est définie comme la force appliquée par unité de surface

Cette force n’existe que si la pression est plus grande d’un côté que de l’autre de la paroi Dans l’Univers uniforme tous les endroits sont pareils et la pression est partout la même, il n’y a pas de gradient de pression, aucune force comme celle évoquée ne peut se manifester Alors, on peut se poser la question: Comment la pression peut-elle affecter l’expansion? La réponse est que la pression est une forme de l’énergie, et que toute forme d’énergie est une source de gravitation à cause de l’équivalence masse énergie exprimée par la formule E = mc²

Traduite dans le langage de la Relativité Générale, la pression contribue à courber l’espace-temps comme le fait la matière. Elle a aussi un effet exactement opposé à celui auquel on pourrait s’attendre, la pression si elle est positive ralentit l’expansion en accroissant la gravitation. Lorsqu’elle est négative elle accélère l’expansion. Un moyen assez simple de mettre en évidence le caractère énergétique de la pression est de prendre en compte l’analyse dimensionnelle suivante:

Quand la pression intervient-elle dans la gouvernance de l’expansion ? Au temps présent nous avons signalé que la vitesse de récession relativiste l’emporte largement sur les vitesses d’agitation aléatoires des galaxies lorsque la distance dépasse 100 millions d’AL. Cela veut dire que d’un point de vue cosmologique, où les distances se chiffrent par dizaines de milliards d’AL, on peut considérer que la pression est quasi nulle

Il en allait tout autrement dans un passé lointain où l’Univers était très chaud et peuplé de particules ultra-relativistes et de photons comme nous le verrons. En ce qui concerne le futur, la découverte de l’accélération de l’expansion attribuée à l’énergie répulsive du vide donne à penser que la pression du fluide est de ce fait obligatoirement négative ce qui sera démontré

Les 3 énergies qui gouvernent l’expansion Ce sont les 3 ingrédients du fluide cosmique : le rayonnement électromagnétique, la matière sous toutes ses formes,baryonique chaude et froide, noire, l’énergie répulsive du vide. Leurs vestiges actuels et les lois de la physiques permettent de reconstituer leurs influences respectives, leurs dominances. On les exprime par les ”3 omégas”rapports de leurs équivalents massiques à la densité critique. Un quatrième oméga est la différence entre 1 et la somme des 3 autres omégas

Wilkinson Microwave Anisotropy Probe WMAP Les résultats d’observations les plus récents et les plus précis ont été publiés par la mission Wilkinson Microwave Anisotropy Probe WMAP http://map.gsfc.nasa.gov/m_mm.html parmi ceux-ci deux omégas et la température du bruit cosmique ( Cosmic Microwave Background ) Cette mission est très audacieuse, le satellite d’observation a été placé au point L2 de Lagrange du système Terre Soleil

Rappel succinct des 3 époques où chaque énergie fut dominante Première époque ( tout de suite après le Big Bang ) Le milieu est assimilable à un nuage de photons et de particules ultra – relativistes en équilibre thermique. On l’appelle Corps Noir Cosmologique Il est à très haute température, sa pression est extrêmement élevée sans commune mesure avec les pressions auxquelles nous sommes habitués Il est opaque car le libre parcours des photons est très petit, en fait, c’est un plasma ultra – dense. Ce corps noir se refroidit tandis que l’espace se dilate comme le facteur d’échelle

Deuxième époque Il s’agit du temps présent où l’Univers est devenu transparent. Elle commence lorsque les électrons sont capturés par les protons pour former l’hydrogène primitif, la température ayant suffisamment baissée pour que la désionisation se produise. Il s’ensuit la fragmentation du milieu pour aboutir aux grandes structures et amas de galaxies que nous observons aujourd’hui

Elle concerne le futur l’Univers. Troisième époque Elle concerne le futur l’Univers. La découverte de l’accélération de l’expansion par les groupements : Supernova Cosmology Project et High z Supernova Team conduit à penser que l’expansion pourrait être gouvernée par une énergie répulsive du vide ( quantique?) dont la pression serait négative . Il pourrait s’ensuivre une croissance exponentielle de l’espace dont une conséquence surprenante est la création concomitante d’énergie. Rappelons que densité d’énergie et pression sont des paramètres qui entrent dans une équation d’état thermodynamique faisant intervenir température et volume

Le rayonnement électromagnétique Une de ses caractéristique, outre son énorme température ( peu après le Big Bang ),c’est sa pression qui est égale au tiers de sa densité, alors que pour les gaz, dans notre environnement terrestre, elle est plutôt de l’ordre de 10 –12 Cela résulte de l’isotropie du milieu cosmique et des propriétés du photon. La figure de la page suivante montre, à partir d’un volume virtuel unitaire et cubique comment il se peut que la pression soit le tiers de densité d’énergie, on se souviendra aussi que la quantité de mouvement transportée par le photon est égale à son énergie divisée par la vitesse de la lumière

Nous allons maintenant calculer la densité et la pression avec, comme donnée de départ, la température T du CMB au temps présent mesurée par WMAP 2.725K

Quelques chiffres concernant le rayonnement A ne pas confondre avec la contribution au potentiel gravitationnel Red Shift z a Densité J / m3 Pression Epoque Température ° K 1 4.17x10-14 1.39x10-14 Présent 2.725 1089 0.92x10-3 5.89x10-2 1.96x10-2 378000 ans 2971 3276 R=M 3.05x10-4 4.81 1.6 55000 8934 4.87x109 2.05x10-10 2.36x1025 7.87x1024 1 seconde 1.3x1010

Pression du rayonnement en fonction de a

A MEMORISER En gros la température du corps noir cosmologique décroît comme l’inverse du facteur d’échelle Ou comme l’inverse de la racine carré du temps cosmique exprimé en secondes

La matière

L’énergie répulsive du vide La nature de cette énergie est encore inconnue, c’est un grand chantier pour la physique On peut néanmoins modéliser sa contribution au potentiel gravitationnel par la constante cosmologique Einstein l’avait introduit dans l’intention d’annuler la gravitation par une force répulsive qui devait être proportionnelle à la distance pour établir un équilibre

Cet équilibre est instable ! En ajustant on peut obtenir exactement l’effet répulsif qui accélère l’expansion en conformité avec les observations. Constatons que si cette force est proportionnelle à la distance, elle l’est aussi au facteur d’échelle Le potentiel dont elle dérive est en Par une méthode de concordance WMAP a trouvé l’oméga de cette énergie : 0.73 La contribution au potentiel gravitationnel est donc :

Transition de la dominance Matière Energie répulsive du vide

Somme

Synthèse des trois omégas C’est la somme S des trois contributions au potentiel gravitationnel. Elles sont exprimées par un oméga (nombre pur) et par le facteur d’échelle normalisé à l’unité

Cette somme S est minimum lorsque sa dérivée par rapport à est nulle Il est possible de situer ce minimum dans le temps cosmique, la façon de mener le calcul sera montrée un peu plus loin. Cela s’est produit il y a 6.593 x 10 9 ans, c’est à dire à peu près à la moitié de l’âge de l’Univers

L’égalité Rayonnement = Matière s’obtient en résolvant l’équation : Il est également possible de connaitre le red shift de la lumiére qui fut émise à cette époque sachant que : L’égalité Rayonnement = Matière s’obtient en résolvant l’équation : Cela s’est produit 55000 ans après le Big Bang

Cela s’est produit il ya 4 x 10 9 années L’égalité Matière = Energie répulsive du vide s’obtient en résolvant l’équation : Cela s’est produit il ya 4 x 10 9 années Voir, page suivante l’évolution des trois contributions au potentiel gravitationnel et leur somme S. Dominance dans l’ordre, après le Big Bang,le rayonnement, la matière, l’énergie répulsive du vide

Temps cosmique et Facteur d’échelle Pour obtenir le temps cosmique compte tenu des trois omégas, il suffit de compléter l’équation ( 6 )

L’ordinateur calcule facilement l’intégrale ( 30 )

Rappel WMAP donne pour Donc le quatrième Oméga est négatif

Quelle en est la conséquence ? Si ce résultat est confirmé, il se pourrait alors que la géométrie de l’univers soit courbe et fermée, bien que l’expansion soit prévisiblement éternelle ! La courbure est cependant très faible comme nous allons le montrer

Au temps présent la courbure est donnée par l’expression : Pour et on trouve: soit un rayon de courbure de l’ordre de :

FUTUR DE L’UNIVERS ? va devenir > 1, vraisemblablement très supérieur à 1 CONSEQUENCE POUR LA CONSTANTE DE HUBBLE est donnée par l’équation ( 29 )

SI alors Rappelons que, dans le passé, cette constante dans tout l’espace décroissait en fonction du temps. C’est ce qui permit à la lumière de gagner sa course avec l’expansion et de nous atteindre bien que les astres qui l’avaient émise aient pu avoir une vitesse de récession supérieure à celle de la lumière. Dans le futur, elle pourrait devenir à la fois constante dans l’espace et dans le temps, cela en concordance avec l’expansion exponentielle ( voir 26 ). La conséquence en est assez surprenante.

CONSEQUENCE POUR LA SPHERE DE HUBBLE La sphère de Hubble détermine deux régions de l’espace, à l’intérieure la vitesse de récession est inférieure à la vitesse de la lumière, à l’extérieure elle est supérieure. Au centre de cette sphère se trouve l’observateur comobile. Son rayon est tel que sur cette sphère la vitesse de récession est exactement égale à c. Il s’ensuit que d’où sa limite:

RAYON DE LA SPHERE DE HUBBLE EN FONCTION DE

TEMPS MIS PAR LA LUMIERE POUR ATTEINDRE L’OBSERVATEUR SITUE AU CENTRE DE LA SPHERE DE HUBBLE DANS LA CONDITION OU LA CONSTANTE DE HUBBLE EST EFFECTIVEMENT CONSTANTE DANS L’ESPACE ET DANS LE TEMPS Il s’agit d’un futur très lointain! Soit la distance métrique séparant une source de lumière de l’observateur. La loi de Hubble implique que la vitesse de récession est proportionnelle à La vitesse de la lumière par rapport à l’observateur est

On obtient l’équation différentielle du mouvement du front de l’onde lumineuse en exprimant le temps mis pour parcourir la distance Soit :

Pour une distance le temps de propagation est donné par l’intégrale :

RESULTATS DE L’INTEGRALE X en GigaAL t en Gigaans X t 8 11.09 10 15.69 12 22.18 14 33.27 15 44.36 15.9999 191.72 16

COMMENTAIRES L’expansion accélérée et éternelle débouche sur de bien curieuses constatations qui rappellent l’inflation d’Allan Guth ( MIT 1979 ). Le calcul montre que dans le futur la lumière ne pourra pas se propager au delà de 16 milliards d’AL ( ou 4.9 Gigaparsecs ou 1.5x1026 mètres ), le temps de propagation devenant infini à cause de l’expansion de l’espace! Cette distance est à considérer comme un horizon des interactions, une frontière de la causalité. L’ Univers deviendrait ainsi parcellisé, rempli peut être de nouveaux univers en gestation, point de vue partagé par A.Albrecht, A. Linde, P.Steinhart.

CONCLUSION Nous empruntons à A.Guth quelques idées qu’il a déduites du comportement que pourrait avoir un biologiste après la découverte d’une bactérie encore inconnue. Celui-ci la classerait dans une espèce baptisée d’un nouveau nom, ne douterait pas qu’elle est la progéniture d’une bactérie parente descendante d’une lignée, il ne pourrait admettre qu’elle soit le résultat d’une improbable occurrence au sein de la matière non vivante. De là A.Guth propose d’admettre que le Big Bang n’est pas un événement singulier, mais résulte d’un processus qui ressemble à la division cellulaire. L’Univers serait ainsi autoreproducteur.