Les Signaux F. Bister - A. Quidelleur SRC1 Meaux 2007-2008 Culture Scientifique et Traitement de l’Information Module 2112 – Représentation de l’information Les signaux

Plan Définitions Les signaux sinusoïdaux Analyse de Fourier Valeur moyenne et puissance moyenne d’un signal Les signaux

Définitions Télécommunications Information Signal Fonction Information et Transmission Analogique Information et Transmission Numérique Signal déterministe / Signal aléatoire Signal Périodique Les signaux

Télécommunications / Information Télécommunications : ensemble des moyens et systèmes permettant l’acheminement aussi fidèle que possible d’informations entre deux points. L’information est physiquement représentée par un signal qui se traduit par une manifestation physique, capable de se propager dans un milieu donné. Ex: signal sonore (pression acoustique), signal lumineux (onde électromagnétique), signal bande de base (signal électrique)… bruit Emetteur Signal émis canal Signal reçu Récepteur Message émis Message reçu Source d’information Destinataire Les signaux

Exemple Emetteur Récepteur Combiné téléphonique Ligne téléphonique Courant électrique Courant électrique Combiné téléphonique Ligne téléphonique Combiné téléphonique Mots dits Pression acoustique Message reçu Pression acoustique bruit Cordes vocales Oreille Mots compris = message Mots pensés = message Personne Personne Les signaux

Fonction La fonction représente mathématiquement le signal en fonction de la variable temps « t ». Intensité du courant électrique : i(t) Tension électrique : v(t) Pression : p(t) … v(t) t Les signaux

Information analogique / Information discrète Une information analogique est représentée par un signal continu dans le temps qui peut prendre n’importe quelle valeurs entre -  et +. Une information numérique est une information discrète (c’est-à-dire définie seulement pour certaines valeurs du temps) qui ne peut prendre qu’un nombre fini de valeurs distinctes. Ex: la suite de bits 101100001010101101 cadencée par une horloge de durée T0. s(t) t t1 t2 1 0 1 1 0 0 0 0 1 0 1 0 1 0 1 1 0 1 Information binaire Les signaux T0 2T0 3T0 4T0 5T0 6T0 … horloge

Transmission analogique / Transmission numérique Transmission analogique  l’information à transmettre est analogique Transmission numérique  l’information à transmettre est numérique Le signal physique utilisé lors d’une transmission est toujours analogique, mais l’interprétation du signal effectuée au niveau du récepteur diffère suivant le type d’information. Signal analogique Récepteur- Interprétation Information Numérique Information analogique Les signaux

La transmission numérique : exemple tension tension temps Signal - Analogique - Sinusoïdal par morceaux Signal - Analogique - Constant par morceaux, dit bande de base Interprétation : Information Numérique 00110110010100110100111 Modem Interprétation : Information Numérique Les signaux

La transmission analogique : exemple Signal sonore Signal électrique Commentateur radio Micro Câbles Signal électrique Signal électromagnétique Câbles Antenne Signal électrique Antenne Signal électrique Interprétation: Information Analogique Haut-parleur Les signaux Auditeur Signal sonore

Signaux déterministes / Signaux aléatoires Lancé de dé = message aléatoire Partition de piano = message déterministe Signal déterministe : qui peut être décrit par des relations mathématiques explicites. Ex.: un signal sinusoïdal s(t) = sin(2Ft) Signal aléatoire : dont l’évolution suit une loi de probabilité. Signaux associés à des expériences non reproductibles, pas de relation explicite pour décrire les phénomènes physiques. Ex. : Agitation thermique des électrons dans un conducteur électrique ; Parasites électromagnétiques sur une ligne de transmission Dans la nature aucun signal n’est déterministe ! Malgré tout, les signaux déterministes serviront de modèles pour décrire les phénomènes physiques, en particulier la transmission d’informations. Les signaux

Signal périodique Signal périodique : signal analogique qui possède un motif élémentaire qui se répète dans le temps. Période T : durée du motif élémentaire. Unité : la seconde (s) Fréquence F : nombre de motifs élémentaires en 1 seconde. Unité : le Hertz (Hz) t s T T s t Signal carré Signal sinusoïdal Les signaux

Les signaux sinusoïdaux

Rappels de trigonométrie Considérons un point A tournant indéfiniment sur le cercle trigonométrique. Le point A part de I à l’instant t = 0. Il fait un tour en T secondes. On note (xA,yA) ses coordonnées dans le repère orthonormal (O, I, J). On note à l’instant t. On définit le cosinus de l’angle  par On définit le sinus de l’angle  par NB : Si besoin, revoir le cours d’harmonisation mathématiques… Les signaux

Les fonctions sinus et cosinus Une période du phénomène dure T secondes. En une période le point A décrit un angle de 2 radians.   et t sont liés par la relation Représentation temporelle de cos et sin t 1 -1 T -T  2 -2 période T t 1 -1 T -T  2 -2 Les signaux

Représentation temporelle du cosinus t T -A A est l’amplitude du signal. Les signaux

Représentation temporelle du cosinus B+A A B A t T B-A B est la valeur moyenne du signal. Les signaux

Représentation temporelle du sinus t T -A A est l’amplitude du signal. Les signaux

Représentation temporelle du sinus B+A A B A t T B-A B est la valeur moyenne du signal. Les signaux

Phase initiale   2 B+A B On nomme 2Ft la phase instantanée et  la phase initiale du signal. Elles s’expriment en radian. Quand la phase initiale est non nulle, la courbe représentative du signal est translatée selon l’axe des abscisses vers la gauche si >0 Vers la droite sinon B+A B   2 t T B-A Les signaux

Analyse de Fourier Les signaux

Représentation temporelle d’un signal C’est la représentation la plus courante : elle consiste à représenter le signal en fonction de la variable temps. Il existe une autre représentation, moins courante, qui permet de « voir » des propriétés du signal que la représentation temporelle ne permet pas. Pression acoustique temps Les signaux

Un peu d’histoire : Joseph Fourier Au début du 19ème siècle un mathématicien de génie, le Baron Joseph Fourier né à Auxerre en 1768, découvrit une méthode mathématique d'analyse des phénomènes périodiques complexes, utilisée maintenant par les physiciens sous le nom de « décomposition en série de Fourier » ou encore sous le nom « d’analyse spectrale » ou « d’analyse de Fourier ». Cette méthode a des applications si universelles qu'actuellement Joseph Fourier est l'auteur scientifique le plus cité au monde avant Einstein. En plus de ses activités scientifiques, Joseph Fourier joua un rôle dans la vie politique: en 1798, il accompagna le corps expéditionnaire français en Egypte et devint administrateur civil de l'Egypte en août 1799. De retour en France en 1802, il fut nommé par Napoléon préfet à Grenoble. Les signaux

Le théorème de Fourier Tout signal périodique s(t), de période T, de fréquence F, borné, est égal à une somme infinie de fonctions sinusoïdales de fréquence f = nF, n étant un entier positif ou nul. Ce théorème s’applique donc à des signaux analogiques. Les signaux

Comment la somme est-elle construite ? s(t) est périodique, de fréquence F s(t) = a0 + a1.cos(2Ft)+ a2.cos(22Ft)+ a3.cos(23Ft)+…+ an.cos(2nFt)+ … + b1.sin(2Ft)+ b2.sin(22Ft)+ b3.sin(23Ft)+…+ bn.sin(2nFt)+ … a  cos b  sin Indice n  nF pas de b0 Les signaux

Définitions s(t) = a0 + a1.cos(2Ft) + a2.cos(22Ft) + a3.cos(23Ft)+…+ an.cos(2nFt)+ … + b1.sin(2  Ft)+ b2.sin(22Ft)+ b3.sin(23Ft)+…+ bn.sin(2nFt)+ … Certains coefficients ai et bi peuvent être nuls Ex. : s(t)= a0+ a1.cos(2Ft) Les coefficients a0, a1, a2, a3…an et b1, b2, b3 …bn sont appelés coefficients de (la série de) Fourier du signal s(t)  a0 est la valeur moyenne de s(t) Ex. : s(t) = A.sin(2Ft) + B F est la fréquence fondamentale de s(t), c’est aussi la fréquence ( tout court…) du signal s(t) nF sont les fréquences harmoniques de s(t) Les signaux

Fabriquer s(t) On peut fabriquer un signal périodique s(t) en additionnant les signaux sinusoïdaux définis par les coefficients de Fourier, les fréquences fondamentale et harmoniques. Fabriquer = faire la somme mathématique ( avec un ordinateur ou des générateurs de signaux électriques) s(t) = a0 + a1.cos(2Ft) + a2.cos(22Ft) + … + an.cos(2nFt)+ … + b1.sin(2Ft) + b2.sin(22Ft) + … + bn.sin(2nFt)+ … Signaux connus Pour « fabriquer » avec un logiciel Les signaux

Calculer les coefficients On peut calculer les coefficients de Fourier d’un signal s(t) (connu) : s(t) = a0 + a1.cos(2Ft) + a2.cos(22Ft) + … + an.cos(2nFt)+ … + b1.sin(2Ft) + b2.sin(22Ft) + … + bn.sin(2nFt)+ … Permet de calculer les coefficients de Fourier, donc permet de trouver l’expression de la somme de Fourier. Avec un ordinateur. Signal périodique connu par l’intermédiaire de sa représentation temporelle Les signaux

Calculer les coefficients Remarque : La notation signifie « intégrale sur un intervalle de longueur T ». Par exemple [0;T], ou [-T/2 ; T/2] ou [-T/4 ; 3T/4], etc. … s(t) T t Les signaux

Décomposition en série de Fourier La somme de signaux sinusoïdaux est appelée aussi somme de Fourier ou décomposition en série de Fourier du signal s(t), elle est unique pour le signal étudié et aucun autre signal n'a la même décomposition de Fourier. Les signaux

Spectre Définition: c’est la représentation graphique des termes de Fourier présents dans la somme. Il existe deux spectres : celui qui donne la représentation des coefficients an et celui qui donne la représentation des coefficients bn Représentations en fonction de la variable fréquence Intérêt pratique par rapport à l’écriture complète de la somme de Fourier. Les signaux

Deux spectres : an(f) et bn(f) s(t) = a0 + a1.cos(2Ft)+ a2.cos(22Ft)+ a3.cos(23Ft)+…+ an.cos(2nFt)+ … + b1.sin(2Ft)+ b2.sin(22Ft)+ b3.sin(23Ft)+…+ bn.sin(2nFt)+ … Fréquence F a0 = a01 = a0 cos(0) = a0 cos(20Ft) Les signaux

Deux spectres : an(f) et bn(f) s(t) = a0 + a1.cos(2Ft)+ a2.cos(22Ft)+ a3.cos(23Ft)+…+ an.cos(2nFt)+ … + b1.sin(2Ft)+ b2.sin(22Ft)+ b3.sin(23Ft)+…+ bn.sin(2nFt)+ … Dans la somme de Fourier chaque coefficient de Fourier est associé à une fréquence ( nulle, fondamentale ou harmonique ), qu'on appellera fréquence associée  : a0 est associé à la fréquence nulle a1 est associé à la fréquence fondamentale F a2 est associé à la fréquence harmonique 2.F a3 est associé à la fréquence harmonique 3.F etc… b1 est associé à la fréquence fondamentale F b2 est associé à la fréquence harmonique 2.F b3 est associé à la fréquence harmonique 3.F etc…

Représentations d’un signal On utilise aussi le nom de « représentation fréquentielle » pour parler du spectre d'un signal. Ainsi un signal peut être connu grâce à sa représentation en fonction de la variable "temps" = représentation temporelle, ou à ses 2 représentations en fonction de la variable "fréquence" = 2 représentations fréquentielles = 2 spectres Ces deux représentations sont rigoureusement équivalentes. Les signaux

Exemple important : le signal carré 1 s(t) t 0.1 F 3F 5F 7F 9F 0.5 bn f an Les signaux

Spectres amplitude et argument On montre par le calcul que l’on peut aussi écrire un signal décomposable en série de Fourier sous la forme On passe de l’expression à cette nouvelle écriture en posant S0 = a0 Les signaux

Spectres amplitude et argument Cette nouvelle écriture permet de tracer deux nouveaux spectres, strictement équivalents aux spectres an et bn. Spectre amplitude : représentation de Sn en fonction de la fréquence nF associée Spectre argument : représentation de n en fonction de la fréquence nF associée Exemple : Spectres amplitude et argument du signal carré f Sn F 3F 5F F n f Les signaux

Exemple : note de piano Pression acoustique t Les signaux

Quel est l’intérêt des spectres? Les signaux sont amenés à passer « au travers » de systèmes comme les filtres. Que deviennent les signaux? On connaîtra la réponse grâce aux propriétés du système spectres du signal Ex. : Les modems ADSL utilisent une technologie appelée « modulation multi-porteuse » dont l’explication passe par l’observation du spectre du signal modulé. Les signaux

Effet d’un déphasage sur les spectres Considérons le signal carré précédent déphasé de t. On note sd le nouveau signal obtenu. T 1 s(t) t t T 1 sd(t) t Les signaux

Effet d’un déphasage sur les spectres Signal carré s(t) an f bn F 3F 5F 0,5 f F 0,5 Signal carré déphasé sd(t) 0,5 F 3F 5F an bn f 0,5 F 3F 5F f Les signaux

Effet d’un déphasage sur les spectres Signal carré s(t) f Sn F 3F 5F F n f Signal carré déphasé sd(t) f Sn F 3F 5F n F f Les signaux

Effet d’un déphasage sur les spectres On constate que : Les spectres an et bn de deux signaux de même nature mais déphasés sont différents. Les spectres Sn de deux signaux de même nature mais déphasés sont identiques.  Le spectre amplitude permet de connaître la nature d’un signal. Le spectre argument porte l’information de phase. Les signaux

Et pour un signal non périodique ? Approche intuitive On peut considérer qu’un signal non périodique est un signal périodique dont la période T tend vers +. Observons le spectre amplitude d’un signal rectangulaire dont la fréquence croît. Période T t Les signaux

Spectre d’un signal non périodique f Sn F1 Intervalle entre 2 raies successives : F1 = 1/T1 Fréquence F1 f Sn Intervalle entre 2 raies successives : 1/T2 = F1/8 Fréquence F2 = F1/8 Les signaux

Spectre d’un signal non périodique Si T tend vers l’infini, les raies constituant le spectre se rapprochent infiniment. Le spectre d’un signal non périodique est fourni par une fonction complexe S(f), la transformée de Fourier du signal s(t). L’équivalent du spectre amplitude pour un signal non périodique est le module de S(f) : |S(f)|. C’est une fonction continue. L’équivalent du spectre argument pour un signal non périodique est l’argument de S(f). C’est une fonction continue. A titre indicatif, la transformée de Fourier S(f) est donnée par la formule : Les signaux

Comparaison Signal périodique Signal non périodique Spectre discret F F0 Spectre discret Spectre continu Sn(f) 0 F 2F 3F 4F 0 fmax f S(f) BFP f1 f2 BFP 0 F 2F 3F….nF Intervalle continu de fréquence [0;fmax] Transformée de Fourier S(f) = fonction mathématique continue Coefficients Sn(f) Somme discrète de signaux sinusoïdaux Somme continue de signaux sinusoïdaux Bande de fréquences principale Bande de fréquences principale

Valeur moyenne et Puissance moyenne d’un signal Les signaux

Pourquoi s’intéresser à la puissance ? Un signal est transmis par le biais d’une représentation physique : tension électrique, onde lumineuse, pression acoustique (dans le cas d’un son), etc. … Cette transmission a un coût : le coût de la transmission est lié à la puissance du signal. Exemple simple : Dans le cas d’une tension électrique, le coût est lu sur la facture EDF qui facture l’électricité distribuée au kW.h, le kW (kilo-watt) étant l’unité de la puissance du signal électrique. Les signaux

Pourquoi s’intéresser à la puissance ? De plus, la puissance d’un signal électrique influence l’environnement électromagnétique. Exemple : La réception d’un message téléphonique sur un téléphone portable perturbe l’affichage sur un écran de TV ou d’ordinateur ; l’utilisation d’un mixer dans la cuisine crée des parasites sur votre télévision… Toutes ces perturbations ont pour origine la pollution électromagnétique engendrée par le signal émis. Intuitivement : plus le signal est puissant, plus la perturbation est importante.  Il existe des normes dans tous les domaines de transmission limitant la puissance émise par les équipements électriques afin de préserver un environnement électromagnétique stable, voire de protéger la santé (par ex., réseau WiFi : émission limitée à 10mW à l’intérieur des bâtiments). Il est donc essentiel de quantifier la puissance d’un signal. Les signaux

Valeur moyenne d’un signal périodique Soit un signal périodique de période T. On appelle valeur moyenne du signal s, notée <s>, la grandeur Lorsque <s>=0, on dit que le signal est centré. Les signaux

Puissance moyenne d’un signal périodique La puissance moyenne d’un signal périodique s de période T est C’est la valeur moyenne de s2(t). Elle s’exprime en Watts (W). Exercice : Montrez que la puissance moyenne du signal vaut A2/2. Retenez ce résultat bien pratique ! Les signaux

Théorème de Parseval La puissance moyenne d’un signal s, périodique, s’exprime en fonction des coefficients an(f) et bn(f) de sa décomposition de Fourier. En fonction des coefficients du spectre amplitude, on obtient : On remarque que les coefficients de déphasage n n’interviennent pas dans le calcul de la puissance. Logique : un déphasage n’est qu’une translation temporelle ! Les signaux

Exemple : puissance moyenne d’un signal carré Sn 0,5 F 3F 5F Spectre amplitude 0,64 0,21 0,13 0,09 t s T 1 Par la formule directe, on obtient Ps = 0,5W. Calculons maintenant la puissance contenue dans les 3 premiers harmoniques.  95% de la puissance du signal est contenue dans les 3 premiers harmoniques !!! Conclusion : L’information est contenue dans les composantes basse fréquence du signal. f Signal étudié Les signaux

Exemple (suite) Lorsqu’on ne garde que les 3 premiers harmoniques, on déforme le signal, mais on « reconnaît » un signal carré. Si ce signal carré est le support physique d’une information binaire 1 0 1 0 1 0…, on ne perd pas le contenu informatif du message. On a transmis suffisamment de puissance du signal d’origine. s(t) sH3(t) 1 T t Les signaux

Puissance moyenne d’un signal non périodique On montre que Signification physique : la puissance contenue dans une bande de fréquence est égale à l’aire de la courbe |S2(f)|. Puissance du signal dans la bande [F1;F2] = aire sous la courbe Les signaux

Conclusion Maintenant que l’on a acquis des notions sur la représentation de l’information en général, il va être possible de s’intéresser aux « signaux stratégiques de SRC » que sont les signaux sonores les signaux vidéo les données A voir en UE2 – Culture Technologique et Développement Multimédia M21 – Culture Scientifique et Traitement de l’Information Matière: Les systèmes audiovisuels et les systèmes de transmission 1 et 2 … Les signaux