DART - Discrete Analytical Ridgelet Transform Laboratoire IRCOM-SIC Eric Andres et Philippe Carré David Helbert

Sommaire Introduction Contexte DART 2D Exemple d’application 2D Exemples d’applications Conclusion

Un des domaines d’applications privilégié semble être le débruitage Introduction Une nouvelle implantation de la transformée Ridgelet avec des droites discrètes analytiques est proposée : DART But de la transformation Ridgelet : permettre une analyse « optimale » des ruptures linéaires dans une image. Problème : peu d’implantations discrètes, pas forcément efficaces ou simples à mettre en œuvre. Notre but : Proposer une transformation ridgelet aisée à implanter et inversible (à propriétés contrôlées). Un des domaines d’applications privilégié semble être le débruitage

Contexte : transformation Transformation d’un signal nD : changement de base permettant d’obtenir une autre représentation des données (démarche non structurelle) 1. Définition de fonctions (formes) constituant la base Fourier 2. Mesures de ressemblances entre les données et les fonctions de bases  Transformée (produit scalaire) But de la nouvelle représentation  Extraire d’une façon optimale l’information présente dans les données

Contexte : continue vs. discret Transformation continue  Fonctions de base continues Discrétisation de l’intégrale Application aux données discrètes Non respect des propriétés de la base Complexité algorithme Opération adjointe absente Transformation discrete  Fonctions de base discrètes Représentation orthogonale Algorithme rapide Opération adjointe parfaite

Contexte : ondelette Idée Définir des fonctions de bases localisées spatialement et associées à une fréquence d ’oscilation précise Adapter la taille des fenêtres en fonction de la fréquence étudiée -20 20 -0.05 0.05 0.1 Fréquence : 0.15, Longueur : 21 Fréquence : 0.05, Longueur : 61 Construction de bases discrètes orthogonales avec reconstruction

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Définition de la transformation Ridgelet 2D Contrairement à Fourier, les ondelettes sont très efficaces pour représenter / analyser des singularités ponctuelles Signal Représentation ondelettes Mais nettement moins efficace pour représenter des singularités linéaires

Définition de la transformation Ridgelet 2D Idée : en 2D, les points et les droites sont liées via la transformation de Radon bord Image Domaine de Radon Point Transformée ondelette Transformée de Radon Domaine des Ridgelets La transformation Ridgelet a été créé spécifiquement pour représenter efficacement les arêtes dans une image. [Candès98]

Définition de la transformation Ridgelet 2D Les coefficients ridgelet sont donnés par une transformation ondelette 1D des projections de Radon

Définition de la transformation Ridgelet 2D La transformée de Radon Définir les lignes radiales passant par l’origine de l’image Transformée de Fourier 2D de l’image Transformée de Fourier 1D inverse le long des lignes Somme des pixels le long d’un ensemble de lignes Stratégie classique Stratégie de Fourier

Stratégie pour la transformation Ridgelet 2D discrète 1. Calcul de la transformée de Radon discrète : Difficile à réaliser. 2. Appliquer une transformée discrète en ondelettes sur chaque projection : facile à implanter, stable et inversible avec les bancs de filtres.

Somme des pixels le long d’un ensemble de lignes Stratégie de Lausanne Somme des pixels le long d’un ensemble de lignes [Do&Vetterli2001] Décomposition du domaine de Fourier 3D en 3 cônes Stratégie de Stanford Conversion de la grille cartésienne en une grille pseudo-polaire [Averbuch Coifman Donoho Israeli Waldén2000] iFFT 1D le long des lignes définies dans le domaine de Fourier

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Stratégie de calcul de la DART 2D : Stratégie de Poitiers Stratégie de calcul de la DART 2D : FFT 2D Définition des droites discrètes Coefficients de Fourier Extraction des coefficients de Fourier Extraction des coefficients de Fourier iFFT Projection de l’image Transformée ondelette 1D le long des projections Ridgelet [Carré&Andres2002]

Transformation de Radon analytique discrète DART : Stratégie de Fourier pour la transformation de Radon f1 f2 Domaine de Fourier Droites L[p,q] sont définies à l’aide de géométrie analytique discrète Nous avons besoin d’une droite discrète avec : une symétrie centrale, formant une « bonne » approximation de la droite euclidienne.

Transformation de Radon analytique discrète Les droites analytiques discrètes que nous avons utilisées sont définies par : avec [p,q] la direction de projection de Radon et , une fonction de (p,q), l’épaisseur arithmétique Droites naïves fermées (8-connexes) Droites supercouvertures (4-connexes) Droites pythagoriciennes fermées (8-connexes)

Transformation de Radon analytique discrète Nous avons besoin d’un ensemble de directions [p,q] qui permettent une représentation complète (une couverture du domaine de Fourier)

Transformation de Radon analytique discrète Supercouverture Naïf Le facteur de redondance varie avec l’épaisseur arithmétique de la droite (par exemple 2.05 pour les droites naïves fermées et 3.05 pour les droites supercouvertures)

Traitements (débruitage) DART Inverse Définition des droites discrètes FFT 2D iFFT 2D Remise en place des coeffs de Fourier Extraction des coefficients de Fourier Transformée ondelette 1D le long des projections Coefficients de Fourier FFT 1D iFFT 1D Projection de l’image Coeffs ridgelets modifiés Traitements (débruitage) Ridgelet

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Pourquoi la DART est performante en débruitage La transformée Ridgelet code efficacement les contours rectilignes Droite discrète 1 Droite discrète 2 Pixels couverts par les deux droites discrètes Domaine de Fourier 2D couverts par deux droites analytiques discrètes La DART est une transformée redondante Répétition des informations dans le domaine des Ridgelets

Stratégie pour le débruitage Seuillage des coefficients Ridgelet Calcul de la DART inverse. Le seuillage utilise une décomposition en ondelettes non-décimée Paramètre de Donoho La variance du bruit est estimée par la valeur médiane absolue des coefficients de la première échelle d ’ondelette pour chaque projection radiale

Influence de l’épaisseur analytique sur le débruitage (SNR=15 dB) naïve pythagoricienne supercouverture

Image Femme + bruit (=60) Noisy Fwt : ondelettes ortho Uwt : ondelettes redond EPFL DART LDART

Image Maison + bruit (=70) Noisy Classical Wavelet Undecimated Wavelet EPFL DART LDART

DART pas efficace pour toutes les applications Reconstruction partielle d ’une image artificielle à partir des 512 plus grands coefficients Ondelette EPFL DART La redondance de la DART n’est pas un avantage ici

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Définition de la DART 3D Définition de la transformée Ridgelet 3D bord Image 3D Domaine de Radon Point Transformée ondelette Transformée de Radon 3D Domaine des Ridgelets La transformée Radon 3D de s est définie par : La transformée de Radon 3D Définir les lignes radiales passant par l’origine de l’image Transformée de Fourier 3D de l’image Transformée de Fourier 1D inverse le long des lignes

La transformée de Radon discrète 3D Stratégie de calcul de la transformée de Radon discrète 3D : 1. Calcul de la transformée de Fourier 3D de l'image 2. Définition des droites discrètes 3D passant par l'origine pour chaque paramètre angulaire θ et  3. Calcul de la transformée de Fourier 1D inverse pour chaque droite

La transformée de Radon discrète 3D Définition d’une droite analytique discrète 3D Droite naïve Droite supercouverture Droite pythagoricienne

La transformée de Radon discrète 3D Couverture du volume par les droites discrètes 3D => Domaine de Fourier 3D couvert par des droites supercouvertures => Domaine de Fourier 3D non couvert par des droites naïves et pythagoriciennes

Autre approche pour la Radon discrète 3D 1. Calcul de la transformée de Fourier 3D de l'image 2. Définir des plans discrets passant par l’origine pour chaque paramètre angulaire  3. Couvrir le plan par des droites analytiques discrètes 2D passant par l’origine et définies pour chaque paramètre angulaire  4. Calcul de la transformée de Fourier 1D inverse pour chaque droite

Autre approche pour la Radon discrète 3D Définition des objets analytiques discrets x y z, t Les plans discrets : naïf pythagoricien supercouverture

Autre approche pour la Radon discrète 3D Définition des objets analytiques discrets La projection du plan est pavé de droites 2D y x z Les droites discrètes 3D au final :

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Débruitage d’une image synthétique Image originale Image bruitée SNR=9,62 dB SNR=13,45 dB SNR=18,62 dB Image débruitée par une transformée en ondelette Image débruitée par une DART

Débruitage d’une Image à Résonance Magnétique (1/2) Image débruitée par une DART Image originale Image bruitée Image débruitée par une transformée ondelette

Débruitage d’une Image à Résonance Magnétique (2/2) Image originale Image bruitée Image débruitée par une transformée en ondelette Image débruitée par une DART

Débruitage de la vidéo 1 (1/2) Vidéo originale Vidéo bruitée SNR=0.051 dB

Débruitage de la vidéo 1 (2/2) Vidéo débruitée par une transformée en ondelette redond. Vidéo débruitée par une DART SNR=6.17 dB SNR=7.47 dB

Conclusion (1/3) La DART est facile à mettre en œuvre facile à inverser paramétrable avec l ’épaisseur arithmétique illustre l’intérêt de la géométrie discrète et constitue un bon outil de débruitage en 2D, 3D et ? 4D

Conclusion (2/3) Les perspectives - Loi d’interpolation pour pallier la non-couverture du domaine de Fourier par les droites 3D naïves et pythagoriciennes - Droites analytiques discrètes 3D plus fines pour limiter la redondance de la DART et ainsi obtenir de meilleurs résultats en reconstruction partielle - Droites analytiques discrètes 3D plus épaisses pour augmenter la redondance de la DART et ainsi obtenir de meilleurs résultats en débruitage

Conclusion (3/3) La DART à fenêtres DART 3D sur toutes les fenêtres Traitement DART 3D inverse sur toutes les fenêtres Image 3D reconstruite