Rappels de mécanique Plan des séances n°1 et 2 1 - Notions d ’action mécanique et de force 2 - Notion de moment 3 - Principe fondamental de la statique 4 - Principe d ’action réciproque 5 - Les différents types de liaisons et d ’appuis

1 - NOTIONS D’ACTION MECANIQUE ET DE FORCE 1.1 Définition d ’une action mécanique (1/3) On désigne par action mécanique toute action capable de : - déformer un corps (fléchissement d’une poutre), - mettre en mouvement un objet, - modifier le mouvement d ’un objet (accélération, freinage, arrêt).

1 - NOTIONS D ’ACTION MECANIQUE ET DE FORCE 1.1 Définition d ’une action mécanique (2/3) Il existe deux types d ’actions mécaniques (AM) : Les AM de contact qui peuvent être déclinées en 3 catégories Toc! - les AM réparties sur une ligne, - les AM réparties sur une surface. - les AM ponctuelles ou concentrées, marbre 15 Bang !

1 - NOTIONS D ’ACTION MECANIQUE ET DE FORCE 1.1 Définition d ’une action mécanique (3/3) Les AM à distance qui peuvent être déclinées en 3 catégories - les AM électriques, - les AM de GRAVITATION. - les AM magnétiques, Boum !

1 - NOTIONS D ’ACTION MECANIQUE ET DE FORCE 1.2 Notion de force 1.2.1 - Définition d ’une force C ’est une AM particulière que l ’on pourra représenter par un vecteur. Ce vecteur sera caractérisé par : - son point d ’application (A) x A - sa direction ou support (), () - son sens - son intensité (norme) F mesure algébrique F

Newton (symbole N) 1 - NOTIONS D ’ACTION MECANIQUE ET DE FORCE 1.2 Notion de force 1.2.2 - Unité (1/3) Newton (symbole N) Autres multiples utilisés (daN, kN, MN) Unité de mesure d ’une force : Exemple (calcul d ’une force de pesanteur): Force exercée sur le crochet de la grue par la benne à béton ? P = 41,7 kN Données complémentaires : - Masse volumique du béton 2500 kg/m3 - Volume de la benne 1,5 m3 - Masse de la benne 500 kg

1 - NOTIONS D ’ACTION MECANIQUE ET DE FORCE 1.2 Notion de force 1.2.2 - Unité (2/3) - direction - point d ’application - sens - intensité Correction : X G centre de gravité de la benne (G) verticale descendant P = m . g P 9,81 m/s² P = 41 692,5 N # 41,7 kN m = (2500 . 1,5 + 500 ) = 4250 kg

! 1 - NOTIONS D ’ACTION MECANIQUE ET DE FORCE 1.2 Notion de force 1.2.2 - Unité (3/3) ATTENTION ! G P X P = m . g = 42,5 kN De façon courante nous simplifierons les calculs en considérant que : g # 10 m/s² 1 kg sera assimilé à 1 daN Principales conséquences : Surcharge d ’exploitation Q = 250 kg/m²  2,5 kN/m²

1 - NOTIONS D ’ACTION MECANIQUE ET DE FORCE 1.2 Notion de force 1.2.3 - Décomposition d ’une force Dans un plan, en choisissant un repère orthonormé (oxy), il est possible de décomposer une force en deux vecteurs orthogonaux. O X Y A F Avec : Norme de Fx = F . Cos () FY Norme de FY = F . Sin () FX 

! 1 - NOTIONS D ’ACTION MECANIQUE ET DE FORCE 1.2 Notion de force 1.2.4 - Notion de résultante (1/6) Dans un premier temps, nous étudierons uniquement le cas particulier où toutes les directions des forces sont concourantes en même point sur le solide (S) . ! A X (S) F1 F2 F3

1 - NOTIONS D ’ACTION MECANIQUE ET DE FORCE 1.2 Notion de force 1.2.4 - Notion de résultante (2/6) La résultante R représente l ’équivalent de l ’action simultanée de plusieurs autres efforts, elle caractérise un effort global. Exemple : cargo en remorque La résultante d ’un système de forces F1,F2,…,Fn, concourantes en un seul point est égale à la somme vectorielle des n forces considérées. Elle peut être obtenue en utilisant deux méthodes : 1 - La méthode graphique 2 - La méthode algébrique

(1 cm équivaut à x Newton) 1 - NOTIONS D ’ACTION MECANIQUE ET DE FORCE 1.2 Notion de force 1.2.4 - Notion de résultante (3/6) 1 - La méthode graphique : O X Y F1 F2 F3 A 1 2 3 Étape n°1 : définir une échelle graphique (1 cm équivaut à x Newton) Étape n°2 : tracé du dynamique (1) F1 F2 (2) X A R F3 (3)

1 - NOTIONS D ’ACTION MECANIQUE ET DE FORCE 1.2 Notion de force 1.2.4 - Notion de résultante (4/6) 2 - La méthode algébrique : Pour connaître la résultante R, il faut : RX 1 - Déterminer sa composante Rx Rx =  Fi . Cos(i) i = 1 n F1 A X O Y F2 F3 1 2 3 RY 2 - Déterminer sa composante Ry Ry =  Fi . Sin(i) i = 1 n R 3 - Additionner Rx et Ry

1 - NOTIONS D ’ACTION MECANIQUE ET DE FORCE 1.2 Notion de force 1.2.4 - Notion de résultante (5/6) Exemple n°1 : Remorquage d ’un cargo T1 = 30 000 daN T2 = 40 000 daN 15 ° 45 ° 500 m 5000 m Port X A R1 R2 Cargo T1 T2 Questions : 1 - Calculer l ’intensité de la force résultante qui entraîne le cargo 2 - En conservant ces conditions de remorquage, le cargo risque t ’il d ’arriver à bon port ?

1 - NOTIONS D ’ACTION MECANIQUE ET DE FORCE 1.2 Notion de force 1.2.4 - Notion de résultante (6/6) Exemple n°2 : Équilibre d ’un nœud d  ’assemblage = 300 daN ? F1 F2 F3 F1, F2 et F3 sont uniquement des efforts de traction ou compression Hypothèses : A 30 ° 60 ° La structure est au repos R = F1 + F2 + F3 = 0

Mouvement rectiligne de translation 2 - NOTION DE MOMENT 2.1 Définition (1/4) Les effets d ’une force sur un solide dépendent de la position de la force par rapport au corps G X 1er cas F Mouvement rectiligne de translation F d G X 2ème cas Translation + Rotation

2 - NOTION DE MOMENT 2.1 Définition (2/4) Le moment d ’une force F par rapport à un point O est par définition égal à : MoF = OF F y x z P MoF d  O X F X F OF MoF = OF . F . Sin() = F . d

2 - NOTION DE MOMENT 2.1 Définition (3/4) Ce qu ’il faut retenir : A chaque vecteur-moment il sera associé : - un signe (+) ou (-) fonction du repère retenu - une intensité MoF = d . F (notée ultérieurement MoF = d . F) Unité : MoF = d . F [N.m] [kN.m],[MN.m] [m] [N]

2 - NOTION DE MOMENT 2.1 Définition (4/4) Cas particulier : Vecteur-moment nul ? Bras de levier (d) = 0 ou intensité F =0 G X

2.2 Moment résultant d ’un système de forces (1/2) (1/4) 2 - NOTION DE MOMENT 2.2 Moment résultant d ’un système de forces (1/2) (1/4) Le moment résultant par rapport à un point O, d ’un système de vecteurs-forces, correspond à la somme géométrique des vecteurs-moments de chacun des vecteurs forces par rapport à ce point. Étape N°1: Définir un sens de rotation positif (exemple : M>0 dans le sens trigonométrique) Exemple : P F1 F2 Étape N°2: Calculer la norme du vecteur-moment de chaque force par rapport à O en lui affectant un signe O X Étape n°3: Sommer tous ces vecteurs

2.2 Moment résultant d ’un système de forces (2/2) (1/4) 2 - NOTION DE MOMENT 2.2 Moment résultant d ’un système de forces (2/2) (1/4) Exemple : Courroie de transmission T = 120 daN t = 40 daN Brin tendu Poulie Arbre 10° 15° Question: Calculer le couple disponible sur l ’arbre de transmission Rayon R d ’enroulement = 100 mm

2 - NOTION DE MOMENT 2.3 Moment d ’un couple (1/2) Définition d ’un couple de forces : 2 forces égales en intensité mais de sens opposées ayant des supports parallèles. Le moment engendré par ce couple de forces est constant. Et ceci quelque soit le point du plan considéré, il est égal à : P d F ’ F  Mc = F . d ou (F ’. d) () ( ’)

2 - NOTION DE MOMENT 2.3 Moment d ’un couple (2/2) Exemple : Actions exercées sur une clé en croix F = 150 N F ’ = 150 N Les forces F et F ’ schématisent les actions exercées par l ’opérateur sur la clé. Question : Calculer le moment résultant des deux forces aux points suivants : A B Largeur totale de la croix = 400 mm

3 - PRINCIPE FONDAMENTAL DE LA STATIQUE 3.1 Définition du PFS Un solide (S) soumis à plusieurs forces est en équilibre si et seulement si : ET 1 - La résultante : R = F1 + F2 + … + Fn = O F1 F2 F3 Fn O X (S) 2 - Le moment résultant : M/o = M/OF1 + M/OF2 + … + M/OFn = O La deuxième équation est valable quelque soit le point considéré !

3 - PRINCIPE FONDAMENTAL DE LA STATIQUE 3.2 PFS dans l ’espace Rz = O Ry = O Rx = O  Xi = O n i=1 à n  Yi = O  Zi = O O x z y R = O M/O = O Xi, Yi, Zi (avec i = 1 à n) sont les projections des forces Fi sur les axes Ox, Oy, Oz. Dans le cadre de l ’étude d ’une structure tridimensionnelle, il sera possible d ’écrire 6 équations d ’équilibre M/Oz = O M/Oy = O M/Ox = O  M/OXi = O n i=1 à n  M/OYi = O  M/OZi = O

3 - PRINCIPE FONDAMENTAL DE LA STATIQUE 3.3 PFS dans le plan y O x z Ry = O Rx = O  Xi = O n i=1 à n  Yi = O M/O = O R = O Dans le cadre de l ’étude d ’une structure plane, l ’application du PFS permet d ’écrire 3 équations d ’équilibre  M/OZi = O n i=1 à n M/OZ = O

3 - PRINCIPE FONDAMENTAL DE LA STATIQUE 3.4 Exemple Étude de l ’équilibre d ’une poutre : F = 5 kN L/2 45° YB YA XA L = 6 m Déterminer les forces XA, YA et YB

3 - PRINCIPE FONDAMENTAL DE LA STATIQUE 3.5 Méthode de résolution 1 - Définition du repère et du sens positif pour les moments X Y O M > 0 2 - Projection des forces sur l ’axe horizontal  Xi = O n i=1 à n 3 - Projection des forces sur l ’axe vertical  Yi = O n i=1 à n 4 - Équation d ’équilibre en moment  M/OZi = O n i=1 à n

4 - PRINCIPE D ’ACTION RÉCIPROQUE (1/3) Soit deux solides (S1) et (S2) jointifs en A soumis respectivement à un système de forces (F) et (F) : A (S2) F F (S1)

4 - PRINCIPE D ’ACTION RÉCIPROQUE (2/3) Le seul point de contact entre ces deux solides étant le point A, nous pouvons en conclure, s ’il y a équilibre du système [(S1) + (S2)], que : F (S1) A A (S2) F F 2/1 L ’effort F2/1 exercé par le solide (S2) sur le solide (S1) est égal en intensité mais de sens inverse à celui F1/2 exercé par (S1) sur (S2).

4 - PRINCIPE D ’ACTION RÉCIPROQUE (3/3) Remarques : - F1/2 et F2/1 sont des efforts internes (ou intérieurs) au système [(S1) + (S2)], elles s ’annulent, - F et F sont des efforts externes, - F1/2 et F2/1 sont également des efforts extérieurs pour chacun des solides pris séparément.

5 - LES DIFFÉRENTS TYPES DE LIAISONS ET D ’APPUIS 5.1 Généralités (1/2)  B’’ - un degré en rotation  A B Dans le plan, le solide (A,B) possède trois degrés de liberté de mouvement : B’ A’ u v - deux degrés en translation u et v Dans l ’espace il existe six degrés de liberté de mouvement pour un solide quelconque (trois translations et trois rotations)

5 - LES DIFFÉRENTS TYPES DE LIAISONS ET D ’APPUIS 5.1 Généralités (2/2) A chaque blocage d’un degré de liberté Génération d ’une force de liaison (inconnue )

5 - LES DIFFÉRENTS TYPES DE LIAISONS ET D ’APPUIS 5.2 L ’appui simple (appui à rouleau) La liaison appui simple bloque 1 degré de liberté y x o Introduction d ’une inconnue Intensité de la réaction verticale Y Y Modélisation :

5 - LES DIFFÉRENTS TYPES DE LIAISONS ET D ’APPUIS 5.3 L ’articulation La liaison rotule bloque 2 degrés de liberté Introduction de deux inconnues Intensité de la réaction verticale Y Intensité de la réaction horizontale X Y X y x o Modélisation : ou

5 - LES DIFFÉRENTS TYPES DE LIAISONS ET D ’APPUIS 5.4 L ’encastrement La liaison encastrement bloque 3 degrés de liberté Introduction de trois inconnues Intensité de la réaction verticale Y Intensité de la réaction horizontale X Intensité du moment empêchant la rotation M Y X M y x o Modélisation : ou

Calculer les réactions aux appuis A et B 6 - EXEMPLES 6.1 Équilibre d ’une poutre soumise à un chargement ponctuel A B L = 6,00 m 4,00 m F = 3 kN Calculer les réactions aux appuis A et B

Calculer les réactions au niveau de l ’appui 6 - EXEMPLES 6.2 Équilibre d ’une console soumise à un chargement ponctuel A L = 2,00 m F = 2 kN Calculer les réactions au niveau de l ’appui

Calculer les réactions aux appuis A et B 6 - EXEMPLES 6.3 Équilibre d ’une poutre soumise à un chargement réparti A B L = 6,00 m P = 5 kN/m Calculer les réactions aux appuis A et B

Calculer les réactions au niveau des appuis A et B 6 - EXEMPLES 6.4 Équilibre d ’un portique métallique F1 F2 F4 F3 A B L = 18,80 m H1 = 7,40 m H2 = 8,60 m F1 = 200 kN F2 = 150 kN F3 = 200 kN F4 = 250 kN Calculer les réactions au niveau des appuis A et B

Calculer les réactions au niveau des appuis 6 - EXEMPLES 6.6 Calculer les réactions au niveau des appuis