Propriétés des Déterminants Montage préparé par : André Ross Professeur de mathématiques Cégep de Lévis-Lauzon

Introduction Nous présentons dans ce diaporama les propriétés des déterminants. Dans chaque cas, l’idée de la preuve est illustrée à l’aide de déterminants d’ordre 3, mais il est facile de voir comment on peut généraliser ces illustrations pour en faire une démonstration. Nous utiliserons ces propriétés pour simplifier le calcul d’un déterminant en faisant apparaître des zéros sur une ligne ou une colonne. Elles nous serviront également pour démontrer la méthode de Cramer pour un système de trois équations à trois inconnues. Cette démonstration est facilement généralisable sous la forme que nous présenterons. Ces propriétés nous permettront également de comprendre pourquoi le produit d’une matrice carrée A et de son adjointe donne une matrice scalaire dont le scalaire est det A.

Propriétés du déterminant Si tous les éléments d’une ligne (ou d’une colonne) d’une matrice carrée A sont nuls, alors : S det A = 0 Idée de la preuve a11 a21 a31 a13 a23 a33 Soit A = . En développant le déterminant selon la colonne de zéros, on obtient : det A = 0 C12 + 0 C22 + 0 C32 = 0 , par le développement de Laplace. On constate facilement qu’il suffit de procéder de la même façon, quelle que soit la dimension de la matrice carrée, pour montrer que le déterminant d’une matrice ayant une ligne (ou une colonne de zéros) est nul.

Propriétés du déterminant Soit A, une matrice carrée et B obtenue en multipliant les éléments d’une ligne ou d’une colonne de A par un nombre réel k. Alors : det B = k det A S Idée de la preuve a11 a21 a31 a12 a22 a32 a13 a23 a33 a11 a21 a31 a12 a22 a32 ka13 ka23 ka33 Soit A = et B = . En développant le déterminant selon la colonne qui a été multipliée par k, on obtient : det B = ka13 C13 + ka23 C23 + ka33 C33 , par le développement de Laplace = k (a13C13 + a23 C23 + a33 C33) , par mise en évidence = k det A.

Exemple 3.3.1 1/5 4 7/2 1/5 8 3/2 2/5 16 5/2 Calculer le déterminant de la matrice A = . S Tous les éléments de la première ligne ont 1/5 comme facteur, ceux de la deuxième ligne ont tous 4 comme facteur et ceux de la troisième ligne ont 1/2 comme facteur. On a donc : 1/5 4 7/2 1/5 8 3/2 2/5 16 5/2 1 7 1 2 3 2 4 5 = 1 5 ´ 2 4 det A = 2 3 4 5 1 7 4 5 1 7 2 3 = 2 5 1 –1 + 2 = 2 5 = 2 5 = –2 5 [1(10 – 12) – 1(5 – 28) + 2(3 – 14)] [–2 + 23 – 22] Le déterminant de cette matrice est –2/5.

Propriétés du déterminant Soit A, une matrice carrée d’ordre n, et k, un nombre réel. Alors : det (kA) = kn det A S Idée de la preuve a11 a21 a31 a12 a22 a32 a13 a23 a33 ka11 ka21 ka31 ka12 ka22 ka32 ka13 ka23 ka33 Soit A = , alors kA = . ka11 ka21 ka31 ka12 ka22 ka32 ka13 ka23 ka33 a11 a21 a31 a12 a22 a32 ka12 ka22 ka32 a13 a23 a33 ka13 ka23 ka33 det kA = = k3 = k = k2 = k3 det A De la même façon, on montre que pour un déterminant d’ordre n, on a : det (kA) = kn det A

Propriétés du déterminant Soit A, une matrice carrée d’ordre n. Si une matrice B est obtenue en permutant deux colonnes (ou deux lignes) consécutives de la matrice A, alors : det B = – det A S Idée de la preuve a d g b e h c f i a d g c f i b e h Soit A = et B = . a d g c f i b e h S = –c(dh – ge) + f(ah – gb) – i(ae – db) det B = S = –[c(dh – ge) – f(ah – gb) + i(ae – db)] a d g b e h c f i = – = – det A

Propriétés du déterminant Soit A, une matrice carrée d’ordre n. Si une matrice B est obtenue en permutant deux colonnes (ou deux lignes) quelconques de la matrice A, alors : det B = – det A S Idée de la preuve En permutant deux colonnes (ou deux lignes) consécutives, on multiplie le déterminant par –1. On a donc : Supposons que l’on veut permuter la première et la quatrième colonne du déterminant suivant : = –1 = (–1)2 = (–1)3 = (–1)4 Chaque fois que l’on veut changer deux colonnes (ou deux lignes) de position, le nombre de permutations est 2k + 1, où k est le nombre de colonnes (ou de lignes) entre celles que l’on veut permuter. = (–1)5 S S On multiplie donc le déterminant par (–1)2k+1 = –1, ce qui revient à changer le signe du déterminant et det B = – det A.

Propriétés du déterminant Soit A, une matrice carrée d’ordre n. Si deux colonnes ou deux lignes de A sont identiques, alors : S det (A) = 0 Idée de la preuve a d g b e h b e h On peut, de façon plus simple, tenir le raisonnement suivant : Développons le déterminant selon la première colonne. Soit A = . a d g b e h b e h Soit A une matrice carrée ayant deux colonnes (ou deux lignes) identiques. La permutation de ces deux colonnes (ou de ces deux lignes) a pour effet de changer le signe du déterminant. Par ailleurs, cette permutation donne le même déterminant. On doit donc avoir : det A = = a(eh – he) – d(bh – hb) + g(be – eb) = 0 S Dans une matrice de dimension n, en choisissant judicieusement la colonne ou la ligne du développement, on parvient toujours à des déterminants d’ordre plus petit ayant deux colonnes (ou deux lignes) identiques. det A = – det A, d’où 2 det A = 0 et det A = 0

Propriétés du déterminant Soit A, une matrice carrée d’ordre n. Si deux colonnes ou deux lignes de A sont proportionnelles, alors : det (A) = 0 S Idée de la preuve a d g b e h kb ke kh Soit A = . Par les propriétés 2 et 6 , on a : a d g b e h kb ke kh a d g b e h b e h = k = k ´0 = 0 det A =

Propriétés du déterminant Si chaque élément d’une colonne où d’une ligne d’une matrice carrée A est la somme de deux termes, alors le déterminant de A peut être écrit comme une somme de deux déterminants. S Idée de la preuve a d g b e h c + r f + s i + u d g e h a g b h a d b e det A = = (c + r) – (f + s) + (i + u) En distribuant : S d g e h a g b h a d b e d g e h a g b h a d b e = c – f + i + r – s + u a d g b e h c f i a d g b e h r s u Le déterminant de A peut donc être écrit comme une somme de deux déterminants. = +

Propriétés du déterminant Si B est une matrice carrée d’ordre n formée de tous les éléments d’une matrice A, à l’exception d’une colonne (ou d’une ligne) à laquelle on a ajouté un multiple d’une autre colonne (ou d’une autre ligne), alors det B = det A. S Idée de la preuve a d g b e h c f i a d g b + ka e + kd h + kg c f i . S Soit A = et B = a d g b + ka e + kd h + kg c f i a d g b e h c f i a d g ka kd kg b e h S det B = = + a d g b e h c f i = + 0 = det A

Propriétés du déterminant Si A est une matrice triangulaire supérieure (ou inférieure) d’ordre n. Alors, le déterminant de A est le produit des éléments de sa diagonale principale. On écrit symboliquement : det A = a11 a22 a33 … ann S Idée de la preuve a11 a12 a22 a13 a23 a33 En développant le déterminant selon la première colonne, on obtient : Soit A = . a11 a12 a22 a13 a23 a33 a22 a23 a33 det A = = a11 = a11 (a22 a33 – 0) = a11 a22 a33

Calcul et propriétés Procédure pour calculer un déterminant à l’aide des propriétés 1. Repérer la colonne (ou la ligne) où il est plus simple de faire apparaître des zéros. 2. Faire apparaître les zéros en ajoutant à une colonne (ou à une ligne) un multiple d’une autre colonne (ou d’une autre ligne). Répéter le procédé au plus grand nombre de colonnes (ou de lignes) : Ci ® Ci + kCj , où k Î R ou Li ® Li + kLj , où k Î R 3. Développer le déterminant selon la colonne (ou la ligne) contenant les zéros. 4. Si nécessaire, refaire les opérations dans le déterminant d’ordre n – 1.

Exemple 3.3.4 4 5 2 1 3 –2 –5 . 6 –4 Soit A = Utiliser les propriétés pour calculer det A. S Développons le déterminant selon la deuxième ligne. Par des opérations de colonnes, faisons apparaître des zéros sur la deuxième ligne en considérant l’élément a22 comme pivot. Par des opérations de lignes, faisons apparaître des zéros sur la deuxième colonne en considérant le nouvel élément a22 comme pivot. 4 5 2 2 1 3 –2 –2 –5 5 –5 3 6 –4 C1 – 4C2 C2 C3 + 2C2 C4 – 3C2 –4 –7 10 2 1 3 –2 2 1 –11 –3 2 S det A = = S –4 –7 10 2 1 –11 –3 2 L1 – 2L2 L2 L3 – L2 10 –5 = 1 ´ = = 1 (50 + 85) = 135 –7 1 –3 17 5

Ci ® 1Ci + kCj , où k Î R ou Li ® 1Li + kLj , où k Î R Remarque Lorsqu’on fait apparaître des zéros dans un déterminant, il faut appliquer correctement la propriété 9. On doit faire apparaître les zéros en ajoutant à une colonne (ou à une ligne) un multiple d’une autre colonne (ou d’une autre ligne). Ci ® 1Ci + kCj , où k Î R ou Li ® 1Li + kLj , où k Î R Dans cette écriture symbolique, le coefficient de la colonne ou de la ligne modifiée est 1. Il ne faut pas multiplier une colonne (ou une ligne) par une constante avant de lui additionner un multiple d’une autre colonne (ou d’une autre ligne) car alors on multiplie la valeur du déterminant par cette constante. Ainsi, on ne peut faire une opération du genre L2 ® 2L2 – 3L1, comme on faisait sur les matrices car cela a pour effet de multiplier la ligne, donc le déterminant, par 2.

Exercice S S S 3 1 2 4 –3 –2 . –5 Soit A = Utiliser les propriétés pour calculer det A. S Par des opérations de colonnes, faisons apparaître des zéros sur la troisième ligne en considérant le nouvel élément a33 comme pivot. Développons le déterminant selon la troisième colonne. Par des opérations de lignes, faisons apparaître des zéros sur la troisième colonne en considérant l’élément a33 comme pivot. 3 1 2 4 –3 –2 –5 L1 + L3 L2 – 2L3 L3 L4 – L3 5 –2 S –3 7 –7 det A = = 2 –3 1 2 1 S 5 –3 2 –2 7 1 5 –7 1 C1 – 2C2 C2 – C3 C3 –5 11 –7 14 5 –7 1 = 2 ´ 2 ´ = = 2 (–70 + 77) = 14

Méthode de Cramer Théorème Soit un système de trois équations à trois inconnues : a11x1 + a12x2 + a13x3 = b1 a21x1 + a22x2 + a23x3 = b2 a31x1 + a32x2 + a33x3 = b3 Ce système admet une solution unique (x1; x2; x3) = (k1; k2; k3) si et seulement si le déterminant de la matrice des coefficients, det A, est différent de 0 et cette solution est : b1 b2 b3 a12 a22 a32 a13 a23 a33 a11 a21 a31 b1 b2 b3 a13 a23 a33 a11 a21 a31 a12 a22 a32 b1 b2 b3 k1 = , k2 = et k3 = a11 a21 a31 a12 a22 a32 a13 a23 a33 a11 a21 a31 a12 a22 a32 a13 a23 a33 a11 a21 a31 a12 a22 a32 a13 a23 a33

Méthode de Cramer S S S S Démonstration Supposons qu’il y a une solution (k1; k2; k3) au système; cela signifie que les trois énoncés suivants sont vrais : S a11k1 + a12k2 + a13k3 = b1 a21k1 + a22k2 + a23k3 = b2 S a31k1 + a32k2 + a33k3 = b3 S Considérons cette hypothèse. S L’hypothèse permet alors d’écrire : De plus, on peut effectuer l’opération : C1 ® C1+ k3C3 : Par la propriété 9, on peut effectuer l’opération : C1 ® C1+ k2C2 : Par la propriété 2 on a : b1 b2 b3 a12 a22 a32 a13 a23 a33 a11 k1 + a12k2 a21 k1 + a22k2 a31 k1 + a32k2 a12 a22 a32 a13 a23 a33 a11 k1 + a12k2 + a13k3 a21 k1 + a22k2 + a23k3 a31 k1 + a32k2 + a33k3 a12 a22 a32 a13 a23 a33 b1 b2 b3 a12 a22 a32 a13 a23 a33 a11 k1 a21 k1 a31 k1 a12 a22 a32 a13 a23 a33 a11 a21 a31 a12 a22 a32 a13 a23 a33 k1 det A = det A = . Si det A ≠ 0, on a : k1 = a11 a21 a31 a12 a22 a32 a13 a23 a33 On procède de façon analogue pour k2 et k3.

Méthode de Cramer Procédure pour résoudre un système de n équations linéaires à n inconnues par la méthode de Cramer 1. Calculer le déterminant de la matrice des coefficients pour s’assurer que le système a une solution unique : det A ≠ 0. 2. Construire et calculer le déterminant associé à la ie inconnue en substituant la colonne des constantes à la colonne des coefficients de cette inconnue : det Ai , où i est la colonne associée à la ie inconnue (i = 1, ..., n). 3. Calculer le quotient du déterminant associé à l’inconnue sur le déterminant de la matrice des coefficients : xi = (det Ai)/(det A). 4. Répéter les étapes 2 et 3 pour chacune des inconnues du système.

Exemple 3.3.6 2x1 – 3x2 + 5x3 = –8 Résoudre le système d’équations : 4x1 – 2x2 + x3 = 12 S x1 + 5x2 – x3 = –3 Calculons d’abord le déterminant de la matrice des coefficients. 2 4 1 –3 –2 5 5 1 –1 L1 – 2L3 L2 – 4L3 L3 –13 7 det A = = = 1 (–65 +154) = 89 –22 5 S 1 5 –1 Le déterminant est non nul, la solution est unique et la méthode de Cramer est utilisable. –356 89 = –4 –178 89 = –2 267 89 = 3 –8 12 –3 –3 –2 5 5 1 –1 2 4 1 –8 12 –3 5 1 –1 2 4 1 –3 –2 5 –8 12 –3 x1 = , x2 = et x3 = 89 89 89 S La solution est (3; –2; –4).

Exercice S S S 3x1 + 2x2 + 4x3 = 31 Résoudre le système d’équations : Calculons d’abord le déterminant de la matrice des coefficients. 3 1 2 2 –3 6 4 2 3 L1 – 3L2 L2 L3 – 2L2 11 –2 det A = = = –1 (–11 + 24) = –13 1 –3 2 S 12 –1 Le déterminant est non nul, la solution est unique et la méthode de Cramer est utilisable. –65 –13 = 5 78 –13 = –6 –91 –13 = 7 31 37 –5 2 –3 6 4 2 3 3 1 2 31 37 –5 4 2 3 3 1 2 –2 –3 6 31 37 –5 x1 = , x2 = et x3 = –13 –13 –13 S La solution est (5; –6; 7).

Matrice adjointe S S S S S S S S S S S S S . a d g b e h c f i Soit la matrice A = Déterminer cof A. Calculer A • adj A. Déterminer adj A. d g f i – b h c d g e h b c f e h f i d g f i d g e h – c11 c21 c31 c12 c22 c32 c13 c23 c33 a d g b e h c f i • det A b h c i a d c f – g b h a g c i a g b h – – = det A b e c f a d c f a d b e det A – Le produit (adj A) • A donne la même matrice. Dans ce cas, les éléments de la diagonale sont la somme des produits des éléments de la colonne correspondante par leurs cofacteurs respectifs et les éléments hors diagonale sont la somme des éléments d’une colonne par les cofacteurs d’une autre colonne. Le produit A • adj A est une matrice scalaire et ce scalaire est le déterminant de A. Les éléments de la diagonale sont la somme des produits des éléments de la ligne correspondante par leurs cofacteurs respectifs et les éléments hors diagonale sont la somme des éléments d’une ligne par les cofacteurs d’une autre ligne. = a d g b e h c f i = a g b h c i = a d g b e h c f i = d g e h f i = a g b h c i = a d b e c f = a d g b e h c f i = g d h e i f = a d b e c f c11 = a e h f i d g – b + c c33 = g b e c f a d – h + i c21 = d e h f i g – e + f c12 = – a b h c i a g + b – c c32 = –g b h c i a g + h – i c23 = d b e c f a – e + f c13 = a b e c f d – b + c c22 = –d b h c i a g + e – f c31 = g e h f i d – h + i = det A = det A = 0 = 0 = 0 = 0 = det A = 0 = 0 S S S S S S S S S S

Conclusion Les propriétés du déterminant permettent d’en simplifier le calcul en faisant apparaître des zéros sur une ligne ou une colonne et en ramenant le calcul à celui d’un déterminant d’ordre moins élevé. En utilisant ces propriétés, on peut facilement généraliser la méthode de Cramer à des systèmes de n équations linéaires à n inconnues. Un tel système a une solution unique si et seulement si le déterminant de la matrice des coefficients est non nul. Ces propriétés permettent également de comprendre pourquoi le produit d’une matrice carrée A et de son adjointe donne une matrice scalaire dont le scalaire est det A. Cela donne une des méthodes pour trouver l’inverse d’une matrice que nous présenterons au prochain chapitre.

Lecture Algèbre linéaire et géométrie vectorielle, applications en sciences de la nature, section 3.3, p. 69 à 76. Algèbre linéaire et géométrie vectorielle, applications en sciences humaines, section 3.3, p. 69 à 76. Exercices Algèbre linéaire et géométrie vectorielle, applications en sciences de la nature, section 3.4, p. 77 et 78. Algèbre linéaire et géométrie vectorielle, applications en sciences humaines, section 3.4, p. 77 et 78.