H Approximation analytique d’un filtre passe-bas normalisé de degré (ordre) quelconque
Spécifications Les spécifications en amplitude de filtres quelconques peuvent se réduire à celles de ce type de filtres, après transformation en fréquence adaptée
La pulsation est notée: W=w/wc Notation La pulsation est notée: W=w/wc AP et AS sont les atténuations maximale admise en bande passante et minimale requise en bande atténuée
Gabarit
Positionnement Le problème de l’approximation analytique est de positionner les pôles et zéros de H(p) de façon à respecter les spécifications sur |H(jW)|
Ces contraintes tendent vers les conditions idéales: Méthode Ces contraintes tendent vers les conditions idéales: atténuation infinie dans la bande atténuée: placer les zéros de |H(jW)| aux zéros de H(p) situés sur l’axe imaginaire O dB en bande passante : on passe par le calcul d’une fonction K(jW) (appelée fonction caractéristique) dont on va choisir les pôles et zéros pour correspondre aux fréquences pour lesquelles |H(jW)| vaut 1 ou 0
Modèle Pour cela, on pose:
Principe Les zéros de |K(jW)| (aussi zéros de K(p) sur l’axe imaginaire) correspondent aux fréquences où l’atténuation vaut 0 dB Les pôles de |K(jW)| (aussi ceux de K(p) sur l’axe imaginaire ) correspondent aux fréquences où l’atténuation est infinie (zéros de |H(jW)| pôles d’affaiblissement) Le problème revient à positionner les pôles et zéros de K(p) de façon à respecter les spécifications sur |H(jW)|
La valeur de d est donnée par : Paramètres La valeur de d est donnée par : Celle d’e par:
Les pôles et zéros de K(p) sont situés sur l’axe imaginaire Remarques Les pôles et zéros de K(p) sont situés sur l’axe imaginaire Les pôles dans la bande passante sont appelés zéros de réflexion (Wr1 …. Wr3 ….) Les zéros sont appelés zéros de transmission, zéros de |H(jW)|: (Wz1 …. Wz3 ….)
Fonction de transfert Il est toujours possible de retrouver une valeur en remplaçant W par p/j
Il reste à répartir les zéros et pôles entre H(p) et H(-p) Finalisation Il reste à répartir les zéros et pôles entre H(p) et H(-p) Tous les pôles situés dans le demi-plan de gauche sont ceux de H(p) La répartition des zéros est univoque car situés en pratique sur l’axe imaginaire