Changement de variable Montage préparé par : André Ross Professeur de mathématiques Cégep de Lévis-Lauzon

Introduction On ne peut toujours déterminer la famille de primitives à vue. Il faut souvent appliquer des techniques pour ramener l’intégrande sous l’une des formes de base de façon à pouvoir en déterminer la famille de primitives. Dans cette présentation, nous verrons comment : • transformer algébriquement l’intégrale ; • transformer l’intégrale en utilisant une ou des identités trigonométriques; • effectuer un changement de variable. Nous verrons ultérieurement d’autres techniques pour les formes plus complexes d’intégrales.

Transformation algébrique de l’intégrale Effectuer l’intégration suivante : (x3 + 2) x dx. L’intégrale ne fait pas partie des formes de base. Cependant, on peut effectuer une transformation algébrique pour obtenir une somme de fonctions. Cela donne : (x3 + 2) x dx = (x3 + 2) x1/2 dx , par les propriétés des exposants; = (x5/2 + 2x1/2)dx , par distributivité; = x5/2 dx + 2 x1/2dx , par les propriétés de l’intégrale; = x7/2 7/2 + 2 x3/2 3/2 + k , par l’intégration des formes de base. On trouve donc : = 2x7/2 7 + 4x3/2 3 + k (x3 + 2) x dx S

Exercice S S Effectuer l’intégration suivante : x3 – 5x2 + 3x + 2 x2 dx. En transformant, on obtient : x3 – 5x2 + 3x + 2 x2 dx x3 x2 dx = – 5 x + 3 1 + 2 x – 5 + 3 = 1 x + 2 x–2 , en simplifiant; x dx – 5 dx + 3 = 1 x dx + 2 x–2 dx , par les propriétés de l’intégrale indéfinie; – 5x + 3 ln |x| = + 2 + k x–1 –1 x2 2 , par l’intégration des formes de base. On trouve donc : x3 – 5x2 + 3x + 2 x2 dx – 5x + 3 ln |x| = 2 x x2 + k – S S

Identités trigonométriques tan x sec x dx. Effectuer l’intégration suivante : L’intégrale ne fait pas partie des formes de base. Cependant, on sait que : tan x = sin x cos x sec x = 1 cos x et En utilisant ces identités, on obtient : tan x sec x dx sin x cos x dx = 1 1/cos x , par identités trigonométriques; sin x cos x dx = 1 , par les propriétés de l’algèbre; sin x dx = , par simplification; = – cos x + k , par l’intégrale de la forme de base. tan x sec x dx On trouve donc : = cos x + k S S

Exercice S S Effectuer l’intégration suivante : tan2 x dx. L’intégrale ne fait pas partie des formes de base. Cependant, on sait que : tan2 x = sec2 x – 1 En utilisant cette identité, on obtient : tan2 x dx = (sec2 x – 1) dx , par identité trigonométrique; = sec2 x dx – dx , par les propriétés de l’intégrale indéfinie; = tanx – x + k , par l’intégrale des formes de base. On trouve donc : tan2 x dx = tan x – x + k S S

Changement de variable Nous avons vu que l’intégration est le processus inverse de la dérivation. Nous allons nous en inspirer pour développer la procédure de changement de variable. Procédons par un exemple. Supposons maintenant que l’on veuille effectuer l’intégration suivante : REMARQUE : L’intégration par changement de variable s’accompagne d’un ajustement des constantes dans la plupart des cas. Cela est normal puisque dans le processus de dérivation il y a simpli-fication des constantes. 4x (x2 – 4)2 dx Considérons la fonction définie par f(x) = (x2 – 4)3. Posons u = (x2 – 4). En dérivant cette expression, on obtient : La dérivation en chaîne de cette fonction donne : du dx x2 – 4 d dx = = 2x. On a donc du = 2x dx. d dx (x2 – 4)3 f '(x) = = 3(x2 – 4)2 d dx (x2 – 4) On peut alors réécrire l’intégrale de la façon suivante : = 3(x2 – 4)2 (2x) = 6x (x2 – 4)2 4x (x2 – 4)2 dx = 2 u2 du = 2 u2 du , par changement de variable; Remarque u3 3 = 2 + k , par l’intégrale de la forme de base. En effectuant cette dérivation, on a considéré que la fonction f était une fonction composée où u = (x2 – 4). On devra faire de même pour intégrer. (x2 – 4)3 3 = 2 + k , par changement de variable. On trouve donc : (x2 – 4)3 3 = 2 + k 4x (x2 – 4)2 dx S S S S S

Exercice S S Effectuer l’intégration suivante : (6x – 5) (3x2 – 5x) dx. L’intégrale n’est sous une forme directement intégrable. On peut tenter un changement de variable en posant : u = 3x2 – 5x En dérivant, on obtient : du dx d dx 3x2 – 5x = = 6x – 5. On a donc du = (6x – 5) dx. On peut alors réécrire l’intégrale de la façon suivante : (6x – 5) (3x2 – 5x) dx = u du , par changement de variable; = u1/2 du , par les propriétés des exposants; u3/2 3/2 = + k , par l’intégrale de la forme de base; 2(3x2 – 5x)3/2 3 = + k , par changement de variable. On trouve donc : 2(3x2 – 5x)3/2 3 = + k (6x – 5) (3x2 – 5x) dx S S

Changement de variable Procédure pour effectuer une intégrale par changement de variable. 1. Analyser l’intégrale à effectuer et déterminer la forme de base apparentée à celle de l’intégrande. Choisir dans l’expression à intégrer une fonction u = g(x) permettant de ramener l’intégrale à la forme de base. 2. Calculer la différentielle de u, du = g '(x) dx. 3. Faire la substitution u = g(x) et du = g '(x) dx. Après avoir fait cette substitution, l’intégrale ne doit contenir que la variable u. Si ce n’est pas le cas, il faut choisir une autre fonction u. 4. Intégrer en fonction de la variable u. 5. Exprimer le résultat de l’intégration en fonction de la variable initiale.

Intégrale de fonctions usuelles Les formes de base auxquelles on tente de ramener l’intégrale par un changement de variable sont : d du = 1 u du = u + k ur +1 r +1 d du = ur ur du = + k ur +1 r +1 , où r ≠ –1 d du = eu eu eu du = eu + k d du = cos u sin u cos u du = sin u + k d du = sin u –cos u sin u du = –cos u + k d du = sec2u tan u sec2u du = tan u + k d du = sec u tan u sec u sec u tan u du = sec u + k . . . . . . Cette liste n’est pas exhaustive. Il incombe à l’étudiant de la compléter et d’en garder mémoire.

Exercice S S S S S Effectuer l’intégration suivante : 2x e3x2 – 2 dx. Étape 4 : Intégrons en fonction de la variable u. Étape 3 : Effectuons la substitution u = g(x) et du = g '(x) dx. Étape 2 : Calculons la différentielle de u. Étape 5 : Exprimons le résultat de l’intégration en fonction de la variable initiale. Étape 1 : L’intégrale n’est pas sous une forme directement intégrable. La forme de base apparentée semble être f(u) = eu. L’intégrale ne comporte que la variable u, on peut poursuivre. On posera donc u = 3x2 – 2. du dx d dx 3x2 – 2 = du 3 = 6x. On a donc du = 6x dx et 2x dx = = eu du 1 3 2x e3x2 – 2 dx , par changement de variable; eu 3 = + k , par l’intégrale de la forme de base; e3x2 – 2 3 = + k , par changement de variable. On trouve donc : e3x2 – 2 3 = + k 2x e3x2 – 2 dx S S S S S

Exercice S S S S S Effectuer l’intégration suivante : sin2x cos x dx. Étape 4 : Intégrons en fonction de la variable u. Étape 3 : Effectuons la substitution u = g(x) et du = g '(x) dx. Étape 2 : Calculons la différentielle de u. Étape 5 : Exprimons le résultat de l’intégration en fonction de la variable initiale. Étape 1 : L’intégrale n’est pas sous une forme directement intégrable. La forme de base semble être f(u) = u2, où u = sin x L’intégrale ne comporte que la variable u, on peut poursuivre. Posons donc u = sin x. du dx d dx sin x = = cos x. On a donc du = cos x dx. sin2x cos x dx = u2 du , par changement de variable; u3 3 = + k , par l’intégrale de la forme de base; sin3 x 3 = + k , par changement de variable. On trouve donc : sin3 x 3 = + k sin2x cos x dx S S S S S

Exercice S S S S S S Effectuer l’intégration suivante : sin(2πt +π/2) dt. Étape 3 : Effectuons la substitution u = g(x) et du = g '(x) dx. Étape 4 : Intégrons en fonction de la variable u. Étape 2 : Calculons la différentielle de u. Étape 1 : L’intégrale n’est pas sous une forme directement intégrable. La forme de base semble être f(u) = sin u. Étape 5 : Exprimons le résultat de l’intégration en fonction de la variable initiale. L’intégrale ne comporte que la variable u, on peut poursuivre. Posons donc u = 2πt +π/2. REMARQUE : Il faut parfois transformer l’expression algébriquement ou utiliser les identités trigonométriques pour exprimer l’intégrale sous une forme permettant un changement de variable. du dt d dt 2πt +π/2 = = 2π. On a donc du = 2π dt et dt = du/2π. = sin u du 1 2π sin(2πt +π/2) dt , par changement de variable; = + k – cos u 2π , par l’intégrale de la forme de base; = cos(2πt +π/2) + k – 1 2π , par changement de variable. On trouve donc : = cos(2πt +π/2) + k – 1 2π sin(2πt +π/2) dt S S S S S S

Exercice S S S S S S Effectuer l’intégration suivante : tan x dx. L’intégrale ne fait pas partie des formes de base. Cependant : REMARQUE : On peut conserver cette intégrale parmi les formes de base pour l’utiliser sans avoir à refaire la procédure que nous venons de suivre. On aurait pu ramener cette intégrale à une forme de base en multipliant le numérateur et le dénominateur de l’intégrande par sec x. tan x = sin x cos x = dx sin x cos x On peut donc écrire : tan x dx Étape 4 : Intégrons en fonction de la variable u. Étape 2 : Calculons la différentielle de u. Étape 1 : L’intégrale n’est pas sous une forme directement intégrable. La forme de base pourrait être f(u) = 1/u, où u = cos x Étape 3 : Effectuons la substitution u = g(x) et du = g '(x) dx. Étape 5 : Exprimons le résultat de l’intégration en fonction de la variable initiale. L’intégrale ne comporte que la variable u, on peut poursuivre. Posons donc u = cos x. du dx d dx cos x = = –sin x. On a donc sin x dx = –du = dx sin x cos x = du –1 u tan x dx , par changement de variable; = – ln |u| + k , , par l’intégrale de la forme de base; = –ln |cos x| + k , par changement de variable. On trouve donc : tan x dx = –ln |cos x| + k S S S S S S

Conclusion Les intégrales que nous aurons à effectuer seront rarement sous une forme de base. Il nous faudra le plus souvent transformer l’intégrale pour pouvoir l’effectuer. Dans certains cas, de simples manipulations algébriques vont nous permettre d’exprimer la fonction à intégrer à l’aide de formes de base. Parfois, il faut avoir recours aux identités trigonométriques pour exprimer en fonction des formes de base. Le changement de variable est une procédure très fréquente et indispensable dans bien des cas. On doit souvent jumeler cette procédure avec une transformation algébrique ou l’utilisation d’identités trigonométriques. Pour utiliser les techniques d’intégration correctement, il faut beaucoup de pratique.