Apprentissage des mathématiques Résolution de problèmes Roland Charnay - 2010

Les enjeux vus par le socle Les mathématiques fournissent des outils pour agir, choisir et décider dans la vie quotidienne La pratique des mathématiques développe le goût de la recherche et du raisonnement, l’imagination et les capacités d’abstraction, la rigueur et la précision. (socle commun) Roland Charnay - 2010

L'équilibre entre mécanismes et compréhension Il est nécessaire de créer aussi tôt que possible à l'école primaire des automatismes en calcul. Il faut aussi comprendre des concepts et des techniques (calcul, algorithme) et les mémoriser afin d'être en mesure de les utiliser. (socle commun) L’acquisition des mécanismes en mathématiques est toujours associée à une intelligence de leur signification. (programme) Roland Charnay - 2010

Une place centrale de résolution de problèmes La maîtrise des principaux éléments de mathématiques s'acquiert et s'exerce essentiellement par la résolution de problèmes, notamment à partir de situations proches de la réalité. (socle commun, 2006) La résolution de problèmes joue un rôle essentiel dans l’activité mathématique. Elle est présente dans tous les domaines et s’exerce à tous les stades des apprentissages. (programmes, 2008) Roland Charnay - 2010

Sur l’articulation avec le collège Fractions : addition (même dénominateur) CM2  pas évoqué en 6e / exigible en 5e Décimaux : valeur approchée CM2  6e (mais hors socle) Calcul posé Commentaire 6e : Les nombres doivent rester de taille raisonnable, aucune virtuosité technique n’est recherchée Division décimale d’un décimal par un entier CM2  6e avec ce commentaire : Le dividende comporte au maximum 2 chiffres après la virgule Roland Charnay - 2010

Règle de trois Pourcentage Echelles CM1 et CM2  6e sous la forme : Passage par l’unité (ou « règle de trois ») Pourcentage CM2  6e et 5e avec ce commentaire en 6e : Les élèves doivent connaître le sens de l’expression « … % de » et savoir l’utiliser dans des cas simples où aucune technique n’est nécessaire Echelles CM2  5e (mais hors socle) et rien en 6e Roland Charnay - 2010

sur les difficultés des élèves Quelques indicateurs sur les difficultés des élèves Roland Charnay - 2010

Compétences de base Un document officiel affirme que 91 % des élèves maîtrisent les compétences de base Près d'1 élève sur 5 a des difficultés avec les "compétences nécessaires pour profiter pleinement des situations pédagogiques de sixième" (pour plus de 2/3 des items considérés des évaluations 6e). Deux domaines particuliers de difficultés le calcul mental : 72 % de réussite aux questions "de base" Exemples : le quart de 100 (68 %) 36 divisé par 4 (56 %) la résolution de problèmes Roland Charnay - 2010

Comparaison internationale (PISA) Deux points faibles caractéristiques Elèves français dans la moyenne Taux élevé d'élèves à résultats faibles Taux faible d'élèves à résultats élevés Des élèves plus angoissés que les autres face aux mathématiques Un taux élevé de "non réponse" Une faiblesse particulière lorsqu'il faut "prendre des initiatives, expérimenter (faire des essais, critiquer, recommencer…)" Roland Charnay - 2010

Un exemple Un menuisier dispose de 32 m de planches et souhaite s'en servir pour faire la bordure d'une plate-bande dans un jardin. Il envisage d'utiliser un des tracés suivants pour cette bordure : Indiquez pour chacun des tracés s'il peut être réalisé avec les 32 m de planches. Roland Charnay - 2010

Analyse des difficultés Roland Charnay - 2010

Evaluation 6e Xavier range les 50 photos de ses dernières vacances dans un classeur. Chaque page contient 6 photos. a) Combien y a-t-il de pages complètes ? b) Combien y a-t-il de photos sur la page incomplète ? Il y a ……… pages complètes. 54 % Il y a ……… photos sur la page incomplète. 57 % Roland Charnay - 2010

Procédures possibles Division de 50 par 6 Division (stabilisée au CM1) Utilisation des multiples de 6 Table de multiplication (CE2) Addition ou soustraction de 6 en 6 Addition (CE1/CE2) Schématisation des pages et des photos Dénombrement (CP) Roland Charnay - 2010

Un constat et une question Un nombre élevé de calculs "sans signification" Peu de démarches "originales" Pourquoi des élèves qui disposent de connaissances permettant de résoudre ce problème… ne pensent pas… n’osent pas… ne se croient pas autorisés… … (à) les utiliser pour répondre à la question ? Roland Charnay - 2010

Un cadre pour travailler sur l'origine des difficultés Roland Charnay - 2010

Schéma d’analyse sommaire Connaissances et compétences en lecture (ordre des informations, place de la question) sur le contexte sur les concepts mathématiques (sens) relatives au raisonnement en calcul Connaissances sur ce qui est attendu sur ce qui est permis sur ce qui marche souvent sur "l'accueil" des erreurs Roland Charnay - 2010

A la bonne place (éva CE2) Ecris, dans le bon ordre, chaque nombre à la place qui convient. 367 582 309 300 400 500 600 300 309 400 367 500 582 600 Roland Charnay - 2010

Quelques pistes pour "apprendre à résoudre" Roland Charnay - 2010

Apprendre ce qu’est chercher Deux exemples… 150 personnes lèvent leurs deux mains. Combien y a-t-il de mains levées ? 150 personnes se serrent la main. Combien de poignées de mains sont échangées ? Roland Charnay - 2010

Apprendre ce qu’est chercher Un mot à double sens Chercher parmi les solutions expertes déjà éprouvées Chercher, bricoler une solution nouvelle, originale, personnelle, comme le chercheur Roland Charnay - 2010

Qu'est-ce qu'un problème ? Une situation initiale avec un but à atteindre... demandant au sujet d'élaborer une suite d'actions ou d'opérations pour atteindre ce but Il n'y a problème que dans un rapport sujet/situation, où la solution n'est pas disponible d'emblée, mais possible à construire. C'est dire qu'un problème pour un sujet donné peut ne pas être un problème pour un autre sujet. Jean Brun, Math Ecole n° 441, 1999 Roland Charnay - 2010

Deux exemples de « problèmes pour chercher » CM1-Cap Maths Roland Charnay - 2010

Favoriser l’appropriation du problème Ne pas confondre lecture d'énoncé et résolution de problème Plusieurs supports de présentation Situation réelle Situation représentée : dessin, schéma, document Situation communiquée oralement Situation communiquée par un énoncé écrit Roland Charnay - 2010

Ne pas lier systématiquement les problèmes aux apprentissages en cours Limiter les références possibles à des indices « extérieurs » au problème. Ne pas lier systématiquement les problèmes aux apprentissages en cours Eviter les aides « de surface » Roland Charnay - 2010

Exploiter la diversité des procédures Favoriser la diversité Exploiter la diversité Aider à progresser vers les résolutions expertes Roland Charnay - 2010