Les ondes électromagnétiques dans le vide I) Équation de propagation dans le vide 1) Équations de Maxwell dans le vide

Les équations locales de Maxwell : L’équation locale du flux magnétique : divB = 0 L’équation locale de Maxwell – Faraday :

Les équations locales de Maxwell : L’équation locale de Maxwell – Gauss : L’équation locale de Maxwell – Ampère :

Les ondes électromagnétiques dans le vide I) Équation de propagation dans le vide 1) Équations de Maxwell dans le vide 2) Équation de propagation

L’équation de propagation de E : rot(rotE) = grad(divE) – E = – E

L’équation de propagation de E : Finalement :

L’équation de propagation de B : rot(rotB) = grad(divB) – B = – B

L’équation de propagation de B : Finalement :

Les ondes électromagnétiques dans le vide II) Les ondes électromagnétiques planes progressives harmoniques 1) Rappel des solutions

En coordonnées cartésiennes : E = Ex.ux + Ey.uy + Ez.uz B = Bx.ux + By.uy + Bz.uz f = Ex, Ey, Ez, Bx, By ou Bz

Rappel : Nous admettons qu’en vertu de la linéarité de l’équation scalaire de D’Alembert à trois dimensions, toute solution est une superposition d’ondes planes progressives, dont les directions de propagation u quelconques couvrent tout l’espace :

Les ondes électromagnétiques dans le vide II) Les ondes électromagnétiques planes progressives harmoniques 1) Rappel des solutions 2) Définitions des O.E.M.P.P.H.

Définitions des O.E.M.P.P.H. On appelle onde électromagnétique plane progressive harmonique, O.E.M.P.P.H., une solution des équations de Maxwell dont les six composantes du champ électromagnétique sont des O.P.P.H de même pulsation  et de même vecteur d’onde k. Seules leurs amplitudes A0 et leurs phases à l’origine 0 sont a priori différentes.

Les ondes électromagnétiques dans le vide II) Les ondes électromagnétiques planes progressives harmoniques 1) Rappel des solutions 2) Définitions des O.E.M.P.P.H. 3) Notation complexe

Notation complexe E(M,t) = E0x.cos(t – k.r + 0x).ux + E0y.cos(t – k.r + 0y).uy + E0z.cos(t – k.r + 0z).uz. même écriture pour B. Ex = Re(Ex), Ey = Re(Ey) et Ez = Re(Ez)

Notation complexe Ex = E0x.expj(t – k.r) avec E0x = E0x.expj0x. Ey = E0y.expj(t – k.r) avec E0y = E0y.expj0y. Ez = E0z.expj(t – k.r) avec E0z = E0z.expj0z. même écriture pour B.

Notation complexe E = Ex.ux + Ey.uy + Ez.uz = E0.expj(t – k.r). avec E0 = E0x.ux + E0y.uy + E0z.uz B = Bx.ux + By.uy + Bz.uz = B0.expj(t – k.r). avec B0 = B0x.ux + B0y.uy + B0z.uz.

Notation complexe E(M,t) = E0.exp[j(t – k.r)] k = kx.ux + ky.uy + kz.uz k.r = kx.x + ky.y + kz.z

Notation complexe E(M,t) = E0.exp[j(t – k.r)] divE = .E = – jk.E ; E = 2(E) = (– jk)2.E = – k2.E ; rotE =  x E = – jk x E

Les ondes électromagnétiques dans le vide II) Les ondes électromagnétiques planes progressives harmoniques 1) Rappel des solutions 2) Définitions des O.E.M.P.P.H. 3) Notation complexe 4) Équation de dispersion et structure de l’onde a) Relation de dispersion

Les ondes électromagnétiques dans le vide II) Les ondes électromagnétiques planes progressives harmoniques 4) Équation de dispersion et structure de l’onde a) Relation de dispersion b) Structure des ondes planes progressives dans le vide

Structure des O.P.P.H. dans le vide divE = 0 donne .E = – jk.E = 0 ou k.E = 0 Re(k.E) = k.Re(E) = k.E = 0 : u.E = 0 Le champ électrique E est à tout instant perpendiculaire à la direction de propagation u ; Dans le vide, les O.E.M.P.P.H. sont dites transverses électriques, T.E.

Structure des O.P.P.H. dans le vide divB = 0 donne .B = – jk.B = 0 ou k.B = 0 Re(k.B) = k.Re(B) = k.B = 0 : u.B = 0 Le champ magnétique B est à tout instant perpendiculaire à la direction de propagation u ; Dans le vide, les O.E.M.P.P.H. sont dites transverses magnétiques, T.M.

Structure des O.P.P.H. dans le vide x E = – jk x E = – j.B k x E = .B donne Re(k x E) = Re(.B) donne k x Re(E) = .Re(B)

Structure des O.P.P.H. dans le vide x B = – jk x B = j.0.0.E k x B = – .0.0.E donne – k x B = .0.0.E

Structure des O.P.P.H. dans le vide Si l’onde plane progressive harmonique se propage dans le sens de u : E = c.B x u Cette relation montre que le trièdre (u, E, B) est un trièdre orthogonal direct

 E  u k B

Structure des O.P.P dans le vide L’ensemble de ces résultats constitue la structure des O.E.M.P.P.H. dans le vide. Cette structure du champ électromagnétique ne fait pas apparaître la pulsation . Ainsi les résultats obtenus pour les O.E.M.P.P.H. s’étendent par sommation aux O.E.M.P.P. non nécessairement harmoniques. Dans le vide, les O.E.M.P.P. sont transverses et (u, E, B) forme un trièdre orthogonal direct

Les ondes électromagnétiques dans le vide III) Aspect énergétique

Les ondes électromagnétiques dans le vide III) Aspect énergétique 1) Les grandeurs énergétiques locales d’une O.E.M.P.P. a) Le vecteur de Poynting

Compte tenu de la structure d’une O. E. M. P. P Compte tenu de la structure d’une O.E.M.P.P., son vecteur de Poynting vaut : Le vecteur de Poynting  pour une O.E.M.P.P. est colinéaire à u, de même sens et perpendiculaire aux plans d’onde.

L’intensité énergétique d’une O. E. M. P. P L’intensité énergétique d’une O.E.M.P.P., notée I, est définie comme la puissance moyenne par unité de surface transférée par l’onde électromagnétique à travers une surface perpendiculaire à sa direction de propagation u  u k

Les ondes électromagnétiques dans le vide III) Aspect énergétique 1) Les grandeurs énergétiques locales d’une O.E.M.P.P. a) Le vecteur de Poynting b) L’énergie volumique

En M, à la date t :

Les ondes électromagnétiques dans le vide III) Aspect énergétique 1) Les grandeurs énergétiques locales d’une O.E.M.P.P. 2) Vitesse de propagation de l’énergie

Théorème de Poynting En absence de charge et de courant : Cette relation constitue l’équation locale de la conservation de l’énergie électromagnétique sans source en M, à la date t.

Théorème de Poynting En absence de charge et de courant : Cette relation constitue l’équation globale de la conservation de l’énergie électromagnétique sans source.

Les ondes électromagnétiques dans le vide IV) Polarisation d’une O.E.M.P.P.H.

E = E0x.cos(t – k.z).ux + E0y.cos(t – k.z + ).uy On a choisi l’origine des temps de manière à prendre nulle une des phases à l’origine.  est le déphasage de la composante Ey sur Ex. E0x et E0y sont des constantes positives.

Si   ]0, [, Ey est en avance sur Ex. Si   ]– , 0[, Ey est en retard sur Ex.

On appelle état de polarisation de l’onde toute relation entre les composantes Ex(z,t) et Ey(z,t).

Les ondes électromagnétiques dans le vide IV) Polarisation d’une O.E.M.P.P.H. 1) Polarisation elliptique ou circulaire

 z y x E y  z x E elliptique gauche elliptique droite

E = E0x.cos(t – k.z).ux + E0y.cos(t – k.z + ).uy Si   ]– , 0[, la polarisation est elliptique - gauche Si   ]0, [, la polarisation est elliptique - droite

z y x  E y z x  E circulaire gauche circulaire droite E0x = E0y = E0 E0x = E0y = E0

Les ondes électromagnétiques dans le vide IV) Polarisation d’une O.E.M.P.P.H. 1) Polarisation elliptique ou circulaire 2) Polarisation rectiligne

Le champ électrique est polarisé rectilignement s’il garde une direction fixe au cours de la propagation  = 0 ou  : E = E0x.cos(t – k.z).ux + E0y.cos(t – k.z + ).uy E = E0x.cos(t – k.z).ux  E0y.cos(t – k.z).uy

z y x E –   rectiligne R24 z y x E    = 0  =  rectiligne R13

Les ondes électromagnétiques dans le vide IV) Polarisation d’une O.E.M.P.P.H. 1) Polarisation elliptique ou circulaire 2) Polarisation rectiligne 3) Récapitulatif

Récapitulatif Dans le plan z = 0, E = E0x.cos(t).ux + E0y.cos(t + ).uy  = 0 Polarisation rectiligne R13  =  Polarisation rectiligne R24   ] – , 0[ Polarisation elliptique gauche   ]0, [ Polarisation elliptique droite E0x = E0y et si  = – Polarisation circulaire gauche E0x = E0y et si  = Polarisation circulaire droite