STT-6615 Séries chronologiques univariées Pierre Duchesne courriel: duchesne@dms.umontreal.ca téléphone: 343-7267 bureau: 4251 web: www.dms.umontreal.ca/~duchesne Version: 30 juillet 2013

Plan de cours 1. Caractéristiques principales des séries chronologiques 2. Modèles de régression et modèles ARIMA 3. Modèles ARCH STT-6615; Chapitre 1

Barème Ouvrages de référence Le barème proposé est le suivant: Examen final : 40%. Devoirs (environ 3): 60%. Ouvrages de référence Shumway, R. H. et Stoffer, D. S. Time Series Analysis and Its Applications, With R Examples, 2ième édition,Springer, New York (Obligatoire). Tsay (2002), Analysis of Financial Time Series, Wiley, New York (Recommandé ou fortement recommandé pour les étudiants inscrits au programme de FMC). STT-6615; Chapitre 1

Séries chronologiques univariées (STT-6615) Chapitre 1 Caractéristiques principales des séries chronologiques

Caractéristiques des séries chronologiques Dans plusieurs situations les données ont été observées à différents points dans le temps. Typiquement, une dépendance est introduite par le fait même que l’échantillonnage implique des points observés de manière adjacente dans le temps. Ceci limite certainement l’applicabilité de plusieurs techniques statistiques classiques reposant sur des données indépendantes et identiquement distribuées (iid). STT-6615; Chapitre 1

Analyse des séries chronologiques C’est une approche systématique visant à répondre de manière statistique aux questions mathématiques et statistiques posées par ces corrélations temporelles. Le domaine des séries chronologiques implique l’analyse statistique (modélisation, l’estimation et les tests d’hypothèses, le calcul des prévisions, etc.) des réalisations de processus stochastiques. STT-6615; Chapitre 1

Exemples d’applications Économie et finance: cotations des indices boursiers, taux de chômages, étude de la volatilité (variances conditionnelles). Sciences sociales: étude des populations humaines dans le temps (nombre de naissances). Épidémiologie: Nombre de nouveaux cas d’influenza durant une certaine période de temps. Médecine: mesures de pression sanguine dans le temps; imagerie du cerveau (étude de la réaction de certaines zones du cerveau sous certaines conditions expérimentales). STT-6615; Chapitre 1

Deux approches complémentaires Il existe essentiellement deux approches pour étudier les séries chronologiques: Approche dans le domaine du temps; dite aussi approche temporelle (principalement couverte dans le Chapitre 2). Approche dans le domaine des fréquences; dite aussi approche spectrale (abordée également au Chapitre 2). STT-6615; Chapitre 1

Étude dans le domaine du temps Motivée par la supposition que la corrélation entre les observations est mieux expliquée en exprimant la valeur courante en fonction des valeurs passées. Formulation de modèles où les valeurs futures s’expriment sous forme de modèles paramétriques des valeurs actuelles et passées. Exemple: régression linéaire de la valeur présente sur les valeurs passées. Particulièrement utile dans un contexte de prévision. Ceci explique que cette approche domine en économie, économétrie et en finance. STT-6615; Chapitre 1

Étude dans le domaine du temps (suite) Approche Box-Jenkins: développement d’une classe de modèles, les modèles autorégressifs moyennes mobiles (modèles AR, MA, ARMA, ARIMA). Extensions: modèles à fonction de transfert, modèles AR vectoriels (VAR) et ARMA vectoriels (VARMA). Plus récemment: modèles additifs (exemple: phénomènes s’expriment comme des sommes de séries chronologiques, et une approche pourrait décomposer un phénomène avec une composante de tendance, une composante de saisonnalité et un terme d’erreur). STT-6615; Chapitre 1

Étude dans le domaine des fréquences Dans ce contexte, la principale caractéristique d’intérêt des analyses de séries chronologiques concerne les variations périodiques ou les variations sinusoïdales systématiques qui sont retrouvées de manière naturelle dans les données. Dans l’analyse spectrale, on partitionne les diverses sources de variations périodiques. Une technique consiste à étudier la variance associée à chaque périodicité d’intérêt. L’outil de base est la densité spectrale. STT-6615; Chapitre 1

Étude dans le domaine des fréquences (suite) Souvent préconisée dans l’étude de phénomènes biologiques et physiques: étude de la reconnaissance vocale, étude de l’imagerie cérébrale (chocs périodiques influençant certaines régions du cerveau), enregistrement de données séismiques, aéronautique (vent peut occasionner des vibrations sur les ailes d’un avion),etc. Approche fructueuse pour étudier les phénomènes saisonniers dans les séries chronologiques. STT-6615; Chapitre 1

Exemple: bénéfice par action pour Johnson & Johnson Série chronologique: Bénéfice par action trimestriels (EPS = earnings per share) pour la compagnie américaine Johnson & Johnson. 84 trimestres pour un total de 21 ans. Caractéristiques de cette série: composante de tendance; variation régulière superposée sur la tendance qui semble se répéter d’un trimestre à l’autre. STT-6615; Chapitre 1

Exemple: Réchauffement planétaire Série chronologique: variations en température en degrés Celsius, période 1900-1997. On note une tendance à la hausse. Cette tendance est un argument en faveur de l’hypothèse de réchauffement de la planète. Est-ce que cette tendance est du à l’activité humaine ou est-ce que cette tendance est naturelle? Dans cet exemple, la question de la tendance est plus importante que la question de l’identification des composantes périodiques. STT-6615; Chapitre 1

Exemple: données portant sur la parole Série chronologique: Enregistrement de la syllabe « Aaa…hhh » échantillonnée à 10000 points par seconde (un dixième de seconde fournissant environ 1000 points). On note la nature répétitive du signal et les périodicités régulières. Applications: reconnaissance de la parole. On aimerait transcrire le signal en mots. Analyse spectrale est utile ici. STT-6615; Chapitre 1

Exemple: El Nino et la population des poissons Séries chronologiques: Southern Oscillation Index (SOI) et le recrutement (nombre de nouveaux poissons). Période de 453 mois de 1950 à 1987. SOI = mesure le changement dans la pression atmosphérique, reliée à la température à la surface de la mer dans le centre du Pacifique. Le centre de l’océan Pacifique se réchauffe chaque trois à sept an du à l’effet El Nino. STT-6615; Chapitre 1

Exemple: El Nino et la population des poissons (suite) Pour chaque série on note un comportement périodique; on parle de cycles. Les cycles ne semblent pas se répéter au même rythme (plus rapides pour SOI). La série de recrutement affiche également des cycles: un cycle annuel et un cycle d’environ 50 mois. Il pourrait être d’intérêt d’étudier les relations entre ces deux séries. Hypothèse plausible: la population des poissons dépend de SOI. STT-6615; Chapitre 1