CHAPITRE II : Systèmes à deux degrés de liberté 1-Etude d’un cas simple 1-1 Mise en équations 1-2 Solutions harmoniques 1-3 Pulsations propres- Modes propres 1-4 Solution générale 2-Exercice: systèmes forcés 3- Equations de Lagrange 3-1 Rappel du formalisme 3-2 Equations de Lagrange 3-3 Exemple 3-3-1Energie cinétique 3-3-2 Energie potentielle 3-3-3 Mise en équations et solutions
CHAPITRE II Système à deux degrés de liberté 1-Etude d’un cas simple Un exemple simple mais généralisable couplage m1 m2 k K x2 K x1 1-1) Mise en équations couplage Masse 1 : Masse 2 :
1-2) Solutions harmoniques Pb : existe t il une (ou des) solution harmonique pour le système ? Si OUI les deux masses vibrent avec la même pulsation ………...
1-3) Pulsations propres-Modes propres K k m x1 x2
Les deux masses sont écartées de leur position d ’équilibre de la même quantité A alors Mode w1 Les deux masses sont écartées de leur position d ’équilibre de quantités opposées B et -B alors Mode w2
Si les deux masses sont écartées de leur position d ’équilibre Cas général Si les deux masses sont écartées de leur position d ’équilibre de quantités C et D 1-4) Solution générale En phase En opposition de phase w1 w2
2-Exercice Déterminer la réponse au système forcé ci dessous
3- Equations de LAGRANGE 3-1) Rappel du formalisme x F dérive d ’un potentiel
Exemple 2 système à 2 degré de liberté
K k m1 m2 x1 x2 Autres exemples 3 ressorts 2 masses
3-2) Equations de LAGRANGE D ’une manière générale Matrice masse (symétrique) Matrice raideur (symétrique) Matrice dissipation (symétrique) Fonction de dissipation
K 2K m 3-3) Exemple
K 2K m 2 1 3 K 2K m 2 1 3
3-3-2) Energie potentielle 3-3-1) Energie cinétique 3-3-2) Energie potentielle Où les d sont les élongations des ressorts 1, 2, et 3 1 Ressort 1 Après deformation initialement Nouvelle longueur l
Ressort 2 Ressort 3 Après déformation initialement Nouvelle longueur l
3-3-3) Mise en équations et solutions
K 2K m 2 1 3 X=-Y X=Y
M,J R Approximation des petits déplacements q m L