1 Un résultat de convergence des algorithmes parallèles asynchrones Application aux opérateurs maximaux fortement monotones Abdenasser BENAHMED Université Mohamed 1er Faculté des Sciences Département de Mathématiques et Informatique

2Plan  Problème  Méthodes directes / itératives pour le calcul numérique  Algorithmes itératifs synchrones  Algorithmes itératifs asynchrones  L’algorithme général  Résultats de convergence  Notre résultat  Application aux opérateurs monotones  Cas spéciaux  Conclusion

3Problème  La modélisation de beaucoup de phénomènes conduit à la résolution d’une équation du type f(x) = 0, x  E (1) E espace vectoriel  Équation qu’on peut écrire sous la forme x = F(x), x  E (2) Les solutions de (2) sont appelés points fixes de F E = R n

4 Méthodes directes / itératives pour le calcul numérique  Méthodes directes :  calculent la solution exacte en un nombre fini d’étapes  gourmandes en mémoire (dimension n => stockage n 3 )  Méthodes itératives (séquentielles) :  évaluent la solution par approximations successives : x p+1 = F(x p )  moins gourmandes en mémoire  plus facilement parallélisable  Exemple de 2 processeurs expliquant le déroulement des algorithmes parallèles synchrones et asynchrones

5 Algorithmes itératifs synchrones  Les processeurs commencent la même itération au même moment  Les échanges de données sont réalisées à la fin d'une itération  Beaucoup de temps morts entre les itérations (périodes d’inactivité)  Dégrade considérablement les performances des algorithmes parallèles x i p+1 = F i (x 1 p, x 2 p ) i=1,2 1 1 Processeur 1 Processeur 2 temps x1x1 x2x2 phases de calcul phases de communication et d'attente

6 Algorithmes itératifs asynchrones  Les processeurs ne calculent pas forcément la même itération à un instant t (pas de synchronisation)  Ils effectuent leurs itérations sans tenir compte de l'avancement des autres (pas d'ordre de calcul)  Il n'y a plus d'attente des données venant d'autres processeurs pour commencer une itération  Il n'y a plus de temps morts entre les itérations x i p+1 = F i (x 1 s 1 (p), x 2 s 2 (p) ) i=1,2 1 1 temps x1x1 x2x2 Processeur 1 Processeur 2

7 L’algorithme général : L’algorithme général : Décomposition de R n   processeurs  chaque processeur communique avec les autres processeurs de façon asynchrone pour envoyer et recevoir des données  R n = R n 1 x R n 2 x … x R n , n 1 + n 2 + … + n  = n x  Rnx  Rn x = (x 1,…, x  ), x i  R n i

8 L’algorithme général : L’algorithme général : Produit scalaire et normes x = (x 1,…, x  ) et y = (y 1,…, y  )  Chaque R n i est muni du produit scalaire euclidien (.,.) i de la norme associée ||..|| i = (.,.) i 1/2  L'espace R n sera muni  du produit scalaire (x,y) = ∑ (x i,y i ) i i=1 de la norme associée ||x|| = (x, x) 1/2 et de la norme uniforme ||x||  = max{ ||x i || i, 1 ≤ i ≤  }

9 L’algorithme général : L’algorithme général : Définition (3)  F est une application de R n vers R n  L’algorithme parallèle asynchrone associé à l’application F est défini par  J(p) est une suite de sous-ensembles non vides de {1,…,  }  s i (p) sont des entiers inférieurs à p indexant des itérations antérieures à p

10  Cet algorithme décrit le comportement d'un processus itératif exécuté de façon asynchrone sur une machine parallèle comportant  processeurs. A chaque itération p + 1, le i ème processeur calcule x i p+1 en utilisant (3)  J(p) est l'ensemble des composantes mises à jour à l'itération p (stratégie de composantes)  r i (p) = p  s i (p) représente le retard éventuel dû au i ème processeur lors du calcul du i ème bloc à l'itération p (3) L’algorithme général : L’algorithme général : Définition

11  Comment s'est développé cet algorithme au cours des années passées? L’algorithme général : L’algorithme général : Définition (3)

12 Résultats de convergence: Résultats de convergence: Chazan & Miranker (1969)  Pour résoudre le système linéaire Ax = b où A est une matrice symétrique définie positive sur R n  Problème linéaire de point fixe  Mise à jour d’une seule composante  Retards bornés  Application contractive

13 Résultats de convergence: Résultats de convergence: Miellou J.C. (1975)  Généralise le résultat de Chazan & Miranker sur deux niveaux  Problème non linéaire de point fixe  Mise à jour de plusieurs composantes  Retards bornés  Application contractive en norme vectorielle

14 Résultats de convergence: Résultats de convergence: Baudet G. (1978)  Généralise le résultat de Miellou  Problème non linéaire de point fixe  Mise à jour de plusieurs composantes  Retards non bornés  Application contractive en norme vectorielle

15 Résultats de convergence: Résultats de convergence: El Tarazi M.N. (1982)  Plus simple dans la pratique  Problème non linéaire de point fixe  Mise à jour de plusieurs composantes  Retards non bornés  Application contractive en norme scalaire

16 Résultats de convergence: Résultats de convergence: Bahi J.M. (2000)  Systèmes singuliers  Problème linéaire de point fixe  Mise à jour de plusieurs composantes  Retards bornés  Application non-expansive

17  Problème non linéaire de point fixe  Mise à jour de plusieurs composantes  Retards bornés  Application non-expansive Notre résultat

18 Notre résultat Théorème 1 Théorème 1: (Résultat principal) Supposons : (h 0 )  une sous-suite {p k } k  N telle que J(p k ) = {1,…,  } et s i (p k ) = p k  i  {1,…,  } (h 1 )  s  N tel que  i  {1,…,  },  p  N, p  s ≤ s i (p) ≤ p (h 2 )  u  R n, F(u) = u (h 3 )  x,x’  R n, ||F(x)  F(x’)||  ≤ || x  x’||  (h 4 )  x,x’  R n, ||F(x)  F(x’)|| 2 ≤ (F(x)  F(x’),x  x’) Alors pour tout x 0  R n, l’algorithme parallèle asynchrone associé à F converge vers x* point fixe de F

19 La preuve Elle se fait en trois étapes: i.La suite (|| x p  u ||  ) p  N est convergente grâce à (h 2 ), (h 3 ) et (h 1 ) Donc la suite (x p ) p  N est bornée ii.La suite (x p k ) k  N ((p k ) k  N est définie par (h 0 )), étant bornée, elle admet une sous-suite notée aussi (x p k ) k  N qui converge vers x* de R n. Alors x* est un point fixe de F grâce à (h 4 ), (h 2 ) et (h 0 ) et (i) iii.x p  x* pour la norme ||..||  quand p tend vers  grâce à (i) et (ii) (h 0 )  une sous-suite {p k } k  N telle que J(p k ) = {1,…,  } et s i (p k ) = p k  i  {1,…,  } (h 1 )  s  N tel que  i  {1,…,  },  p  N, p  s ≤ s i (p) ≤ p (h 2 )  u  R n, F(u) = u (h 3 )  x,x’  R n, ||F(x)  F(x’)||  ≤ || x  x’||  (h 4 )  x,x’  R n, ||F(x)  F(x’)|| 2 ≤ (F(x)  F(x’),x  x’)

20Commentaires (h 0 )  une sous-suite {p k } k  N telle que J(p k ) = {1,…,  } et s i (p k ) = p k  i  {1,…,  } (h 1 )  s  N tel que  i  {1,…,  },  p  N, p  s ≤ s i (p) ≤ p (h 2 )  u  R n, F(u) = u (h 3 )  x,x’  R n, ||F(x)  F(x’)||  ≤ || x  x’||  (h 4 )  x,x’  R n, ||F(x)  F(x’)|| 2 ≤ (F(x)  F(x’),x  x’)  L'hypothèse (h 0 ) signifie que de temps à autre (après quelques itérations) les processeurs se synchronisent et mettent à jours leurs données en les échangeant  Cette sous-suite peut être programmée par l'utilisateur

21Commentaires  L'hypothèse (h 1 ) signifie que les retards dus aux communications entre processeurs et aux différents temps de calcul sont bornés, ce qui revient à supposer qu'au bout d'au plus (s+1) itérations, tous les processeurs finissent par mettre à jour leurs données. (h 0 )  une sous-suite {p k } k  N telle que J(p k ) = {1,…,  } et s i (p k ) = p k  i  {1,…,  } (h 1 )  s  N tel que  i  {1,…,  },  p  N, p  s ≤ s i (p) ≤ p (h 2 )  u  R n, F(u) = u (h 3 )  x,x’  R n, ||F(x)  F(x’)||  ≤ || x  x’||  (h 4 )  x,x’  R n, ||F(x)  F(x’)|| 2 ≤ (F(x)  F(x’),x  x’)

22Commentaires  L'hypothèse (h 2 ) affirme que F admet un point fixe  L'hypothèse (h 3 ) signifie que F est non-expansive par rapport à la norme uniforme ||..||  sur R n (h 0 )  une sous-suite {p k } k  N telle que J(p k ) = {1,…,  } et s i (p k ) = p k  i  {1,…,  } (h 1 )  s  N tel que  i  {1,…,  },  p  N, p  s ≤ s i (p) ≤ p (h 2 )  u  R n, F(u) = u (h 3 )  x,x’  R n, ||F(x)  F(x’)||  ≤ || x  x’||  (h 4 )  x,x’  R n, ||F(x)  F(x’)|| 2 ≤ (F(x)  F(x’),x  x’)

23Commentaires  L'hypothèse (h 4 ) est vérifiée par une large classe d'opérateurs:  la résolvante F = (I + cT ) -1 (c > 0) associée à un opérateur T maximal monotone  la projection p c d'un espace de Hilbert réel H sur un convexe fermé non vide C  les opérateurs linéaires symétriques positifs et non-expansifs (h 0 )  une sous-suite {p k } k  N telle que J(p k ) = {1,…,  } et s i (p k ) = p k  i  {1,…,  } (h 1 )  s  N tel que  i  {1,…,  },  p  N, p  s ≤ s i (p) ≤ p (h 2 )  u  R n, F(u) = u (h 3 )  x,x’  R n, ||F(x)  F(x’)||  ≤ || x  x’||  (h 4 )  x,x’  R n, ||F(x)  F(x’)|| 2 ≤ (F(x)  F(x’),x  x’)

24 L’algorithme de Jacobi (4)  Caractérisé par :  s i (p) = p  i  {1,…,  } (tous les retards sont nuls)  J(p) = {1,…,  } (toutes les composantes sont réactualisée)  (4) décrit un algorithme parallèle synchrone (sans retards)  On peut se passer de l’hypothèse (h 3 )

25 L’algorithme de Jacobi Théorème 2 Théorème 2:  Si F admet un point fixe u et si elle vérifie l’hypothèse (h 4 ) alors l’algorithme parallèle de Jacobi converge dans R n vers x* point fixe de F  La preuve  (i) La suite (|| x p -u ||  ) p  N est convergente grâce à (h 2 ), (h 4 )  (ii) et (iii) sont similaires au théorème 1

26  H est un espace de Hilbert réel ( (.,.) et ||..|| euclidien )  Un opérateur multivoque T de H à domaine D(T) est dit  monotone si  x,x’  D(T), ( y  y’, x  x’ ) ≥ 0  y  Tx et  y’  Tx’  a-fortement monotone (a > 0) si  x,x’  D(T), ( y  y’, x  x’ ) ≥ a||x  x’|| 2  y  Tx et  y’  Tx’  Les éléments x de D(T) vérifiant 0  Tx sont appelés solutions ou zéros de l’opérateur T Application aux opérateurs maximaux fortement monotones: Application aux opérateurs maximaux fortement monotones: Définitions H = R n

27 Théorème 3 Théorème 3: Soit T un opérateur multivoque maximal a-fortement monotone sur R n (a > 0). Alors  T admet une solution unique x*  Tout algorithme parallèle asynchrone à retards bornés associé à l'application univoque F = (I + cT ) -1 où c ≥ converge dans R n vers la solution x* de T Application aux opérateurs maximaux fortement monotones: Application aux opérateurs maximaux fortement monotones: Le théorème

28  C’est une application du théorème 1  On démontre que l’application F vérifie les hypothèses (h 2 ), (h 3 ) et (h 4 ) Application aux opérateurs maximaux fortement monotones: Application aux opérateurs maximaux fortement monotones: La preuve (h 0 )  une sous-suite {p k } k  N telle que J(p k ) = {1,…,  } et s i (p k ) = p k  i  {1,…,  } (h 1 )  s  N tel que  i  {1,…,  },  p  N, p  s ≤ s i (p) ≤ p (h 2 )  u  R n, F(u) = u (h 3 )  x,x’  R n, ||F(x)  F(x’)||  ≤ || x  x’||  (h 4 )  x,x’  R n, ||F(x)  F(x’)|| 2 ≤ (F(x)  F(x’),x  x’)

29  Méthode parallèle pour le calcul des solutions des opérateurs multivoques maximaux fortement monotones  On peut se passer de la forte monotonie dans le cas de Jacobi Application aux opérateurs maximaux fortement monotones: Application aux opérateurs maximaux fortement monotones: Remarque

30 Application aux opérateurs maximaux monotones Théorème 4 Théorème 4:  Soit T un opérateur multivoque maximal monotone sur R n admettant une solution. Alors, tout algorithme parallèle synchrone de Jacobi associé à l'application univoque F = (I + cT ) -1 où c > 0 quelconque converge dans R n vers x* solution de T  C’est une application directe du théorème 2 Si F admet un point fixe u et si elle vérifie l’hypothèse (h 4 ) alors l’algorithme parallèle de Jacobi converge dans R n vers x* point fixe de F

31 Cas spéciaux  On va construire des opérateurs maximaux monotones pour le :  calcul du minimum de fonctionnelles  calcul du point selle de fonctions selles  calcul de solutions des programmes convexes  calcul de solutions des problèmes de l’inégalité variationnelle

32 Cas spéciaux : Cas spéciaux : Minimum de fonctionnelles  f fonctionnelle de R n vers R  {+  } convexe propre et s.c.i.   f est un opérateur maximal monotone sur R n

33 Cas spéciaux : Cas spéciaux : Minimum de fonctionnelles  f fonctionnelle de R n vers R  {+  } convexe propre et s.c.i.  Les zéros du sous-différentiel  f sont les points de minimum de f 0   f(x 0 )  f(x 0 ) = min f(x) x  R n

34 Cas spéciaux : Cas spéciaux : Minimum de fonctionnelles  f fonctionnelle de R n vers R  {+  } convexe propre et s.c.i. f est a-fortement convexe (a > 0)   f est un opérateur a-fortement monotone

35 Cas spéciaux : Cas spéciaux : Minimum de fonctionnelles Corollaire 1 Corollaire 1: (cas asynchrone) f de R n vers R  {+  } a-fortement convexe propre et s.c.i. (a > 0). Alors  f admet un minimum unique x*  Tout algorithme parallèle asynchrone à retards bornés associé à l'application univoque F = (I + c  f ) -1 où c ≥ converge dans R n vers x* le point de minimum de f sur R n Application du théorème 3 à l’opérateur T =  f

36 Corollaire 2 Corollaire 2: (cas synchrone) f de R n vers R  {+  } convexe propre et s.c.i. telle que le problème de minimisation min f(x) admette une solution. x  R n Alors Tout algorithme parallèle synchrone de Jacobi associé à l'application univoque F = (I + c  f ) -1 où c > 0 quelconque converge dans R n vers un point de minimum de f sur R n Application du théorème 4 à l’opérateur T =  f Cas spéciaux : Cas spéciaux : Minimum de fonctionnelles

37 Cas spéciaux : Cas spéciaux : Points selle  L fonctionnelle de R n x R m vers [  ,+  ]  Un point (x*,y*) de R n x R m vérifiant L(x*,y) ≤ L(x*,y*) ≤ L(x,y*),  (x,y)  R n x R m est appelé point selle de L L(x*,y*) = min L(x,y*) = max L(x*,y) x  R n y  R m

38 Cas spéciaux : Cas spéciaux : Points selle L fonctionnelle de R n x R m vers [  ,+  ] L est convexe-concave si x  L(x,y) est convexe  y  R m y  L(x,y) est concave  x  R n L est fonction selle (Rockafellar) L est a-fortement convexe-concave (a > 0) si x  L(x,y) est a-fortement convexe  y  R m y  L(x,y) est a-fortement concave  x  R n

39 Cas spéciaux : Cas spéciaux : Points selle L de R n x R m vers [  ,+  ] fonction selle et propre Si x  L(x,y) est s.c.i. sur R n  y  R m y  L(x,y) est s.c.s. sur R m  x  R n Alors L est fermée (Rockafellar)

40 Cas spéciaux : Cas spéciaux : Points selle L fonctionnelle de R n x R m vers [  ,+  ]  L(x 0,y 0 ) = le sous-différentiel de L au point (x 0,y 0 )  R n x R m C’est l’ensemble des (x,y) de R n x R m vérifiant L(x 0,y’)  (y,y’  y 0 ) ≤ L(x 0,y 0 ) ≤ L(x’,y 0 )  (x,x’  x 0 )  (x’,y’)  R n x R m

41 Cas spéciaux : Cas spéciaux : Points selle L fonctionnelle de R n x R m vers [  ,+  ] Nous associons à la fonctionnelle L l'opérateur multivoque T L défini sur R n x R m par T L (x,y) = {(z,t)  R n x R m : (z,  t)  L(x,y) }  (x,y)  R n x R m (0,0) T L (x,y)  (x,y) est point selle de L Les points selle de L sont les solutions de l’opérateur T L T L est maximal monotone? fortement maximal monotone?

42 Proposition Proposition (Rockafellar) Si L une fonction selle propre fermée sur R n x R m Alors T L est un opérateur maximal monotone sur R n x R m Cas spéciaux : Cas spéciaux : Points selle

43 Lemme: Si L est une fonction a-fortement convexe-concave Alors T L est un opérateur a-fortement monotone Cas spéciaux : Cas spéciaux : Points selle

44 Corollaire 3 Corollaire 3: (cas asynchrone) L a-fortement convexe-concave propre et fermée de R n x R m vers [  ,+  ]. Alors  L admet un point selle unique (x*,y*)  Tout algorithme parallèle asynchrone à retards bornés associé à l'application univoque F = (I + c T L ) -1 de R n x R m vers R n x R m où c ≥ converge vers le point selle (x*,y*) de L Application du théorème 3 à l’opérateur T = T L Cas spéciaux : Cas spéciaux : Points selle

45 Corollaire 4 Corollaire 4: (cas synchrone) L fonction selle fermée et propre de R n x R m vers [  ,+  ] admettant un point selle. Alors Tout algorithme parallèle synchrone de Jacobi associé à l'application univoque F = (I + c T L ) -1 de R n x R m vers R n x R m où c > 0 quelconque converge vers un point selle de L Application du théorème 4 à l’opérateur T = T L Cas spéciaux : Cas spéciaux : Points selle

46 Cas spéciaux : Cas spéciaux : Programme convexe Considérons le programme convexe Min f 0 (x) x  C(P) f i (x) ≤ 0, (1 ≤ i ≤ m) C convexe fermé non vide de R n f i : C  R sont des fonctions (finies) convexes et s.c.i. pour (0 ≤ i ≤ m) Contraintes qualifiées  x 0  C tel que f i (x 0 ) < 0,  i  {1,…, m}

47 Cas spéciaux : Cas spéciaux : Programme convexe Le Lagrangien associe au problème (P) dans sa forme étendue est la fonctionnelle L définie sur R n x R m par m f 0 (x) + ∑ y i f i (x)si x  C et y  (R + ) m i=1 L(x,y) =   si x  C et y  (R + ) m +  si x  C

48 Cas spéciaux : Cas spéciaux : Programme convexe Le problème dual associé à (P) Max g 0 (y) (D) y  (R + ) m g 0 : R m  R  {   } définie par g 0 (y) = Inf L(x,y) x  C

49 Cas spéciaux : Cas spéciaux : Programme convexe Si (x*,y*) est un point selle du lagrangien L sur R n x R m, alors x* est une solution optimale du problème primal (P) et y* est une solution optimale du problème dual (D). Inversement Si le problème (P) admet une solution x* et si les contraintes sont qualifiées alors il existe y  (R + ) m tel que (x*,y*) soit point selle de la fonctionnelle L Nous pouvons alors énoncer :

50 Corollaire 5 Corollaire 5: (cas synchrone) Supposons que le programme convexe (P) soit à contraintes qualifiées et admette une solution. Alors Tout algorithme parallèle synchrone de Jacobi associé à l'application univoque F = (I + c T L ) -1 de R n x R m vers R n x R m où c > 0 quelconque converge vers (x*,y*) point selle de L, et donc x* est une solution du primal (P) et y* solution du dual (D). Application du corollaire 4 au lagrangien L Cas spéciaux : Cas spéciaux : Programme convexe

51 Cas spéciaux : Cas spéciaux : Inégalité variationnelle C convexe fermé non vide de R n A opérateur maximal monotone sur R n à domaine C Chercher x* de C tel que  y*  A x*, (y*, x  x*) ≥ 0,  x  C Le cône normal de C en x est Nc(x) = { y  R n, (y, x  z) ≥ 0,  z  C }

52 Cas spéciaux : Cas spéciaux : Inégalité variationnelle L’opérateur multivoque T défini sur R n par Ax + Nc(x)si x  C Tx =  si x  C est un opérateur maximal monotone (Rockafellar) Cet opérateur vérifie-t-il les conditions du théorème 3 ?

53 Cas spéciaux : Cas spéciaux : Inégalité variationnelle Lemme 1 Lemme 1: Si A est a-fortement monotone alors T est un opérateur a-fortement monotone

54 Cas spéciaux : Cas spéciaux : Inégalité variationnelle Lemme 2 Lemme 2: Le solutions de l’opérateur T sont exactement les solutions du problème de Inégalité variationnelle

55 Cas spéciaux : Cas spéciaux : Inégalité variationnelle Corollaire 6 Corollaire 6: (cas asynchrone) C convexe fermé non vide de R n et A un opérateur multivoque maximal a-fortement monotone défini sur C (a > 0). Alors  Le problème de l’inégalité variationnelle admet une unique solution x*  Tout algorithme parallèle asynchrone à retards bornés associé à l'application univoque F = (I + cT ) -1 où c ≥ converge dans R n vers la solution x* du problème de l’inégalité variationnelle Appliquer lemme 1, lemme 2 et théorème 3 à l’opérateur T

56 Cas spéciaux : Cas spéciaux : Inégalité variationnelle Corollaire 7 Corollaire 7: (cas synchrone) C convexe fermé non vide de R n et A un opérateur multivoque maximal monotone défini sur C tel que le problème de l’inégalité variationnelle admette une solution Alors Tout algorithme parallèle synchrone de Jacobi associé à l'application univoque F = (I + cT ) -1 où c > 0 quelconque converge vers x* solution du problème de l’inégalité variationnelle Appliquer théorème 4 à l’opérateur T

57Conclusion Notre travail  Un algorithme parallèle asynchrone convergeant vers un point fixe  Concerne le cas non linéaire non-expansif  L’hypothèse (h 4 ) est largement vérifiée  Applications  aux problèmes d’optimisation (non linaire)  au problème de l'inégalité variationnelle

58 Merci de votre attention

59Questions  Algorithme  Implémentable  Communications  Détection de convergence  Procédure d’arrêt  Jace

60 Algorithme : Algorithme : Implémentation  Difficile dans le cas général  Implémentable dans le cas où T =  f  Nouvelle méthode (Solodov et Svaiter 2000) Choisir x 0  R n et prendre k = 0 Ayant x k, choisir  k > 0 et  k  [0,1[ et trouver y k  R n et v k  Ty k tel que 0 = v k +  k (y k  x k ) + r k où || r k || ≤  k max {|| v k ||,  k ||y k  x k ||} Stop si v k = 0 ou y k = x k Sinon, prendre x k+1 = x k  (v k, x k  y k ) || v k || -2 v k prendre k = k+1 et repeter Hybrid Proximal Point algorithm HPPA

61 Algorithme : Algorithme : Communications  Threads ( en anglais) veut dire processus légers ou tâches  utilise RMI (Remote Method Invocation ) pour communiquer  Threads d’envois :  Créés à la demande  Appellent la fonction correspondante d’empaquetage des données à envoyer  Threads de réceptions:  Activées l’arrivée d’un message  Appellent la fonction de dépaquetage correspondante lorsqu’un message arrive  Lors d’une réception, on réactualise x i p+1

62 Algorithme : Algorithme : Détection de convergence  Un processeur centralise les convergences locales de tous les processeurs  Ce processeur se comporte de la même manière que tous les autres, mais doit juste effectuer une opération en plus  Chaque processeur détermine sa convergence locale :  On calcule la différence d’évolution entre 2 itérations  On compte le nombre de fois consécutives où cette différence est inférieure à un seuil fixé  Si le compteur dépasse un seuil, on considère qu’il y a convergence locale  Envoie d’un message de convergence au processeur centralisateur  S’il y a divergence après une convergence, envoie d’un message d’annulation de convergence  Convergence globale détectée lorsque toutes les convergences locales sont reçues

63 Algorithme : Algorithme : Procédure d’arrêt  Lorsqu’il détecte la convergence globale, le processeur centralisateur envoie un message d’arrêt général  Quand les processeurs reçoivent le message d’arrêt, ils quittent la boucle d’itération  L’arrêt nécessite la fin de tous les messages en cours

64 Jace : ) Jace : (J. BAHI et son équipe) Présentation  Java Asynchronous Computation Environment  Environnement de calcul asynchrone Java  Conçu et optimisé pour le calcul itératif asynchrone (calcul, communication)  Architecture de Jace (trois entités principales)  les Tâches  le Démon  le Spawner (Distributeur de tâches)

65 Jace : Jace : Architecture  Les Tâches  héritent d'une classe Jace nommée Task proposant les méthodes de communications et de synchronisations

66  Le Démon  présent sur chaque machine participant au calcul  contient tous les objets nécessaires pour :  configurer la machine parallèle  router les messages  gérer les taches  responsable de la synchronisation et de la communication entre les nœuds de calculs (réception et envoie de message)  utilise RMI (Remote Method Invocation ) pour communiquer Jace : Jace : Architecture

67  Le Spawner (Distributeur de tâches)  se charge de distribuer les tâches sur l'ensemble des processeurs suivant un certain protocole de distribution de tâches  instancie à distance une tâche de calcul s'intégrant au démon Jace : Jace : Architecture