La résolution de problèmes numériques de l’école maternelle... au cycle 2

Problème 1 Marie possède 47 images, elle en donne 12 à Claire. Combien lui en reste-t-il ?

Problème 2 Anaïs ajoute 12 billes dans une boîte qui en contient déjà. Il y a maintenant 41 billes dans cette boîte. Combien y avait-il de billes dans la boîte au départ ?

Définir la résolution de problèmes « Par problème, il faut entendre dans le sens large que lui donne le psychologue, toute situation dans laquelle il faut découvrir des relations, développer des activités d’exploration, d’hypothèses et de vérification pour produire une solution. » G.VERGNAUD « Un problème est généralement défini comme une situation initiale avec un but à atteindre, demandant au sujet d’élaborer une suite d’actions ou d’opérations pour atteindre ce but. Il n’y a problème que si la solution n’est pas disponible d’emblée mais possible à construire. C’est dire aussi qu’un problème pour un sujet donné peut ne pas être un problème pour un autre sujet, en fonction de leur développement intellectuel par exemple. » J.BRUN

La résolution de problèmes Pourquoi les élèves ont beaucoup de difficultés à résoudre des problèmes à l’école élémentaire (tous cycles confondus) ? Voir les Évaluations Nationales (CE1 et CM2) et Européennes (PISA). Pourquoi cette partie de l’activité mathématique correspond, pour la majorité des élèves, à un moment difficile, pénible, sans sens et surtout sans enjeu ? Parce que les élèves ne résolvent pas de véritables problèmes à l’école, Parce que le contrat inhérent à la résolution de problème n’est pas correctement initié entre l’enseignant et les élèves. Parce que ce contrat n’est pas toujours bien intégré et reconnu comme essentiel par beaucoup d’enseignants eux -mêmes. Parce que la « manipulation » est une action sur le réel, pour l’élève, qui reste longtemps ambiguë (Cf. « Les 7 malentendus de la maternelle » de R.GOIGOUX)

Sur les activités ludiques Se reporter au texte « les 7 malentendus de la maternelle » de R. Goigoux, où il dit : « Beaucoup cherchent à enjoliver les situations en maternelle, afin de les rendre plus motivantes […]. Et c’est ainsi que certains élèves s’appliquent à colorier des étoiles et à tracer des chemins sur la piste du cirque entre les lions et leurs tabourets, alors que d’autres, sur le même matériel, s’attachent à réussir des activités de dénombrement et de correspondance terme à terme. Les premiers traitent la surface des problèmes alors que les seconds en abstraient leur structure logico-mathématique. »

Les Nouveaux Programmes pour l’Ecole Maternelle 6 domaines d’activités à l’Ecole Maternelle S’approprier le langage Découvrir l’écrit Devenir élève Agir et s’exprimer avec son corps Découvrir le monde Percevoir, sentir, imaginer, créer

Découvrir le monde À l’école maternelle, l’enfant découvre le monde proche ; il apprend à prendre et à utiliser des repères spatiaux et temporels. Il observe, il pose des questions et progresse dans la formulation de ses interrogations vers plus de rationalité. Il apprend à adopter un autre point de vue que le sien propre et sa confrontation avec la pensée logique lui donne le goût du raisonnement. Il devient capable de compter, de classer, d’ordonner et de décrire, grâce au langage et à des formes variées de représentation (dessins, schémas). Il commence à comprendre ce qui distingue le vivant du non-vivant (matière, objets). 5 sous-domaines Découvrir les objets Découvrir la matière Découvrir le vivant Découvrir les formes et les grandeurs Approcher les quantités et les nombres

Approcher les quantités et les nombres L’école maternelle constitue une période décisive dans l’acquisition de la suite des nombres (chaîne numérique) et de son utilisation dans les procédures de quantification. Les enfants y découvrent et comprennent les fonctions du nombre, en particulier comme représentation de la quantité et moyen de repérer des positions dans une liste ordonnée d’objets. Les situations proposées aux plus jeunes enfants (distributions, comparaisons, appariements...) les conduisent à dépasser une approche perceptive globale des collections. L’accompagnement qu’assure l’enseignant en questionnant (comment, pourquoi, etc.) et en commentant ce qui est réalisé avec des mots justes, dont les mots-nombres, aide à la prise de conscience. Progressivement, les enfants acquièrent la suite des nombres au moins jusqu’à 30 et apprennent à l’utiliser pour dénombrer. Dès le début, les nombres sont utilisés dans des situations où ils ont un sens et constituent le moyen le plus efficace pour parvenir au but : jeux, activités de la classe, problèmes posés par l’enseignant de comparaison, d’augmentation, de réunion, de distribution, de partage. La taille des collections, le fait de pouvoir agir ou non sur les objets sont des variables importantes que l’enseignant utilise pour adapter les situations aux capacités de chacun. À la fin de l’école maternelle, les problèmes constituent une première entrée dans l’univers du calcul mais c’est le cours préparatoire qui installera le symbolisme (signes des opérations, signe “égal”) et les techniques. La suite écrite des nombres est introduite dans des situations concrètes (avec le calendrier par exemple) ou des jeux (déplacements sur une piste portant des indications chiffrées). Les enfants établissent une première correspondance entre la désignation orale et l’écriture chiffrée ; leurs performances restent variables mais il importe que chacun ait commencé cet apprentissage. L’apprentissage du tracé des chiffres se fait avec la même rigueur que celui des lettres.

Les compétences numériques à la fin de l’école maternelle comparer des quantités, résoudre des problèmes portant sur les quantités ; mémoriser la suite des nombres au moins jusqu’à 30 ; dénombrer une quantité en utilisant la suite orale des nombres connus ; associer le nom de nombres connus avec leur écriture chiffrée ;

Les objectifs assignés à l’école maternelle concernant l’approche des quantités et des nombres Acquérir la suite des nombres (la comptine numérique) au moins jusqu’à 30 Utiliser la comptine numérique dans des procédures de dénombrement Comprendre les fonctions du nombre : Une fonction cardinale Une fonction ordinale Il s’agit de donner du sens aux nombres par leur utilisation dans la résolution de problèmes dans des situations vécues (jeux, activités de la classe…) ; Ces problèmes sont choisis pour que les nombres y apparaissent comme des outils efficaces pour anticiper le résultat : d’une action sur les quantités : - comparaison - réalisation d’une collection équipotente - augmentation - diminution - réunion - distribution - partage d’une action sur des positions - Repérer des positions dans une liste ordonnées d’objets - Hiérarchiser des séries en utilisant la comptine

Les Nouveaux Programmes pour le Cycle 2 7 champs disciplinaires au Cycle des apprentissages fondamentaux FRANÇAIS MATHÉMATIQUES ÉDUCATION PHYSIQUE ET SPORTIVE LANGUE VIVANTE DÉCOUVERTE DU MONDE PRATIQUES ARTISTIQUES ET HISTOIRE DES ARTS INSTRUCTION CIVIQUE ET MORALE

MATHÉMATIQUES au Cycle 2 L’apprentissage des mathématiques développe l’imagination, la rigueur et la précision ainsi que le goût du raisonnement. La connaissance des nombres et le calcul constituent les objectifs prioritaires du CP et du CE1. La résolution de problèmes fait l’objet d’un apprentissage progressif et contribue à construire le sens des opérations. Conjointement, une pratique régulière du calcul mental est indispensable. De premiers automatismes s’installent. L’acquisition des mécanismes en mathématiques est toujours associée à une intelligence de leur signification. 1 - NOMBRES ET CALCUL Les élèves apprennent la numération décimale inférieure à 1000. Ils dénombrent des collections, connaissent la suite des nombres, comparent et rangent. Ils mémorisent et utilisent les tables d’addition et de multiplication (par 2, 3, 4 et 5), ils apprennent les techniques opératoires de l’addition et de la soustraction, celle de la multiplication et apprennent à résoudre des problèmes faisant intervenir ces opérations. Les problèmes de groupements et de partage permettent une première approche de la division pour des nombres inférieurs à 100. L’entraînement quotidien au calcul mental permet une connaissance plus approfondie des nombres et une familiarisation avec leurs propriétés. 2 - GÉOMÉTRIE Les élèves enrichissent leurs connaissances en matière d’orientation et de repérage. Ils apprennent à reconnaître et à décrire des figures planes et des solides. Ils utilisent des instruments et des techniques pour reproduire ou tracer des figures planes. Ils utilisent un vocabulaire spécifique. 3 - GRANDEURS ET MESURES Les élèves apprennent et comparent les unités usuelles de longueur (m et cm ; km et m), de masse (kg et g), de contenance (le litre), et de temps (heure, demi heure), la monnaie (euro, centime d’euro). Ils commencent à résoudre des problèmes portant sur des longueurs, des masses, des durées ou des prix. 4 - ORGANISATION ET GESTION DES DONNÉES L’élève utilise progressivement des représentations usuelles : tableaux, graphiques.

PREMIER PALIER POUR LA MAÎTRISE DU SOCLE COMMUN : COMPÉTENCES ATTENDUES À LA FIN DU CE1 LES PRINCIPAUX ÉLÉMENTS DE MATHÉMATIQUES ET LA CULTURE SCIENTIFIQUE ET TECHNOLOGIQUE L’élève est capable de : - écrire, nommer, comparer, ranger les nombres entiers naturels inférieurs à 1 000 ; - calculer : addition, soustraction, multiplication ; - diviser par 2 et par 5 des nombres entiers inférieurs à 100 (dans le cas où le quotient exact est entier) ; - restituer et utiliser les tables d’addition et de multiplication par 2, 3, 4 et 5 ; - calculer mentalement en utilisant des additions, des soustractions et des multiplications simples ; - situer un objet par rapport à soi ou à un autre objet, donner sa position et décrire son déplacement ; - reconnaître, nommer et décrire les figures planes et les solides usuels ; - utiliser la règle et l’équerre pour tracer avec soin et précision un carré, un rectangle, un triangle rectangle ; - utiliser les unités usuelles de mesure ; estimer une mesure ; - être précis et soigneux dans les tracés, les mesures et les calculs ; - résoudre des problèmes très simples ; - observer et décrire pour mener des investigations ; - appliquer des règles élémentaires de sécurité pour prévenir les risques d’accidents domestiques.

Les Documents d’accompagnement En cycle 2 « Les problèmes doivent se situer dans des contextes maîtrisés par les élèves, le plus souvent possible, à l’aide de supports effectivement présents dans la classe (matériel, jeu). » « Le choix des situations doit favoriser une entrée rapide dans le problème et permettre une validation des réponses ainsi qu’une explicitation des procédures par retour à l’expérience. » « Une présentation mimée ou orale, éventuellement avec l’aide d’une image ou d’un document, peut également être utilisée. La maîtrise de l’écrit n’étant pas entièrement assurée pour une partie des élèves de cycle 2, le recours à des situations fictives n’implique pas l’utilisation d’un énoncé écrit. » « Les situations proposées doivent réellement être problématiques et donc nécessiter un travail intellectuel de la part de l’élève pour l’élaboration de la réponse. » « L’enfant doit pouvoir valider sa réponse.»

Les nombres, ça sert à quoi ? Les nombres servent à mémoriser les quantités et à construire ainsi des collections ayant le même nombre d’éléments, sans la présence explicite de la collection de référence. Les nombres servent à comparer les quantités sans la présence explicite des collections de référence Les nombres servent à agir sur les quantités sans la présence explicite des collections de référence: à les transformer, les réunir, les partager…, donc à calculer

Le nombre : les points clés de l’apprentissage La comptine numérique (la chaîne orale) « la chaîne en chapelet » « La chaîne non sécable » « La chaîne sécable » Le comptage-dénombrement Les collections témoins La structuration des quantités : du dénombrement au calcul L’intervalle des petits nombres : de 1 à 3 ou 4 L’intervalle des nombres familiers : selon l’âge de l’enfant, cet intervalle varie jusqu’à 4 ou 5, puis 5 à 6 puis 6 à 7 puis 7 à 8… L’intervalle des grands nombres : jusqu’à l’infini

La résolution de problèmes : le fondement de l’apprentissage des mathématiques Les différentes sortes de problèmes Cf. Document d’accompagnement Les problèmes de recherche Les problèmes permettant la construction de connaissances nouvelles Les problèmes favorisant une évolution dans la connaissance de notions déjà rencontrées La situation problème Les types de problèmes Construire une collection équipotente Compléter une collection Comparer deux collections Partager une collection Les variables Pédagogiques Didactiques

Schéma de principe d’une situation problème d’après ERMEL

Quels types de situations ? Rituelles : elles se répètent régulièrement voire quotidiennement, par nécessité, par convention sociale (dénombrement des présents et des absents…) Fonctionnelles : pas forcément quotidiennes, mais incluses dans l’organisation et la réalité de la vie de la classe (mise au point d’une sortie…) Construites par l’enseignant(e) : ce sont des situations dont l’enjeu est un apprentissage ciblé et voulu, par rapport à des compétences des I.O.

Des tâches (constitutives de situations) Qui forcent les opérations mentales, en mettant à distance les procédures sensori-motrices. Qui sont anticipatrices sur le réel. Il faut donc mettre en place des contraintes qui incitent les élèves à anticiper. Qui permettent aux élèves de choisir leurs procédures, de les essayer, d’en mesurer si possible leur pertinence, de les rejeter si nécessaire.

Quels matériels et supports ? Les supports et les milieux organisés doivent, le plus souvent, être composés de matériels effectifs. Les moments réservés à la feuille de papier (espace graphique) doivent être rares et ciblés (travail en autonomie, par exemple)…

La dévolution du problème Le problème mathématique est posé par l’enseignant. Ce problème doit devenir celui de l’élève qui devra : Identifier la situation et le but à atteindre (donc savoir : de quoi ça parle et que dois-je faire ?) Accepter la tâche. Comment atteindre la dévolution, comment favoriser l’identification de la situation et de la tâche ? Par le matériel Par l’exposition du résultat attendu Par l’utilisation d’exemples et de contre-exemples Par la formulation puis la reformulation de la consigne par l’élève Situations image-puzzle « L’anniversaire » et énoncé-puzzle « Les champignons »

Quelles procédures ? Les procédures, mises en œuvre par les élèves, peuvent être « débrouillardes », «personnelles »… Aucune procédure experte ne doit être introduite… Aucune introduction de signes conventionnels (autres que les chiffres, le moment venu).

Résolution de problèmes et connaissances numériques Le nombre comme mémoire de la quantité Situation Les serveurs L’oral et les consignes Des quantités aux nombres Situation La boîte des absents Les comptines pour apprendre à compter Les albums à compter Ecrire, lire les nombres Situation Habiller les clowns La bande numérique Le nombre pour anticiper Situation Le Trésor Le jeu des choses Le jeu du Greli-grelo L’album et les fiches à calculer

Un exemple fondamental: « la situation des … serveurs, voleurs, les lutins,... le robot, … etc.… » Consigne: « Il faut aller chercher juste ce qu’il faut de cuillères, au retour il doit y avoir une cuillère dans chaque gobelet et pas de gobelet vide… » Les variables de la situation: (pour faire évoluer la situation de la PS au CP) Le nombre de gobelets (ce nombre est à adapter en fonction des capacités des élèves (var. pédagogique), mais également pour faire évoluer les procédures (var. didactique): collections-témoins, puis nombres). Le nombre d’allers et retours (3, puis 2, puis 1). La distance spatiale et temporelle entre les deux collections. L’organisation et le choix du matériel (gobelets, quadrillage en robot, grappes de raisin, wagons de voyageurs, coccinelles, etc.). Le type de communication (élève seul, un banquier, par oral, par écrit)…