Nombres complexes Montage préparé par : André Ross Professeur de mathématiques Cégep de Lévis-Lauzon

Introduction Nous allons amorcer l’étude des nombres complexes par leur représentation géométrique, soit comme des vecteurs, et nous allons définir les opérations d’addition et de multiplication par un scalaire. La notion de nombre complexe conjugué nous permettra d’illustrer comment les équations quadratiques admettent toutes deux solutions distinctes dans l’ensemble des nombres complexes. Nous définirons également une multiplication et une division sur les nombres com-plexes.

Nombre complexe En considérant la base B = {1, i}, on peut, par combinaison linéaire, associer à chaque vecteur du plan un nombre de la forme a + bi que l’on appelle nombre complexe. Dans un nombre complexe z = a + bi, a est la partie réelle, notée Re(z), et b la partie imaginaire, notée Im(z). La forme a + bi est appelée forme cartésienne (ou forme rectangulaire) du nombre complexe. Considérons maintenant un opéra-teur qui a pour effet de faire subir une rotation de 90° (ou π/2 radian) de sens antihoraire. Cet opérateur sera représenté par la lettre i. Ainsi, le produit i ´1, ou simplement i, est un vecteur unitaire obtenu par une rotation de 90° de sens antihoraire du vecteur unitaire horizontal. Son origine coïncide avec l’origine du système d’axes et son sens est défini par la direction positive de l’axe vertical. Chaque nombre réel peut être représenté sur un axe horizontal en associant à ce nombre un segment de droite ou un point sur l’axe et, réciproquement, on peut associer un nombre réel à tout segment ou tout point de l’axe horizontal. On peut considérer chacun de ces segments de droite comme un vecteur dont la direction est l’axe horizontal et dont le sens est donné par le signe. On note : i = 1Ð90° = 1Ðπ/2 S S

Nombre complexe DÉFINITION Nombre complexe On appelle nombre complexe toute expression de la forme a + bi, où a et b sont des nombres réels et i un opérateur dont l’effet est une rotation de 90° de sens antihoraire. Un nombre complexe a + bi est représenté par un vecteur dont les composantes sont a et b. Dans cette représentation graphique, l’axe horizontal est appelé axe des réels et l’axe vertical axe des imaginaires. On notera indifféremment bi ou ib. L’ensemble des nombres complexes est représenté par la lettre C. On remarquera que l’ensemble des réels est un sous-ensemble de C. En effet, lorsque b = 0, le nombre a + 0i est le nombre réel a. Lorsqu’on voudra désigner un nombre complexe par une seule lettre, on emploiera la lettre z ou la lettre u.

Égalité Pour assurer la cohérence avec la représentation graphique, on doit poser que des nombres complexes sous forme rectangulaire sont égaux lorsqu’ils sont représentés par le même vecteur. Ils doivent donc avoir des composantes égales. Cela permet de poser la définition suivante. DÉFINITION Égalité de nombres complexes Soit z1 = a1 + b1i et z2 = a2 + b2i, deux nombres complexes sous forme rectangulaire. On dit que ces nombres sont égaux si et seulement si : a1 = a2 et b1 = b2 Deux nombres complexes sous forme rectangulaire sont donc égaux si et seulement si leurs parties réelles sont égales et leurs parties imaginaires sont égales.

L’opérateur i Considérons à nouveau l’opérateur i. On sait déjà que la multiplication par i a comme effet une rotation de 90° et que i est représenté par un vecteur unitaire dans la direction positive de l’axe vertical. Considérons maintenant i2, soit le produit de i par i. On trouve donc : i2 = i ´ i = –1 De la même façon, on a : i3 = i2 ´ i = –1 ´ i = –i i4 = i3 ´ i = –i ´ i = 1, ainsi de suite. La définition de i comme opérateur dont l’effet est une rotation de 90° dans le sens antihoraire implique donc que i2 = –1. C’est pourquoi on écrit parfois i = –1 . Toutes les équations quadratiques ont alors deux racines dans l’ensemble des nombres complexes. C’est ce qu’illustre l’exemple suivant.

Exemple 8.1.1 Trouver les racines de l’équation quadratique suivante : x2 – 2x + 5 = 0 Les racines d’une équation quadratique ax2 + bx + c = 0 sont données par : –b ± b2 – 4ac x = 2a 2 ± 4 – 20 2 ± –16 Dans le cas présent, on a : x = = 2 2 En considérant le radical comme un produit de radicaux, on a : = 16 –1 = 4 –1 = 4i –16 2(1 ± 2i) 2 ± 2 ± 4i –16 x = = = = 1 ± 2i Cela permet d’écrire : 2 2 2 Par conséquent, l’équation quadratique x2 – 2x + 5 = 0 a deux racines dans l’ensemble des nombres complexes; ce sont : x = 1 + 2i et x = 1 – 2i S S

Addition DÉFINITION Addition de nombres complexes Soit z1 = a1 + b1i et z2 = a2 + b2i, deux nombres complexes sous forme rec-tangulaire. L’addition de ces nombres, notée z1 + z2, est définie par l’égalité sui-vante : z1 + z2 = (a1 + a2) + (b1 + b2)i La somme de deux nombres complexes est donc obtenue en additionnant les parties réelles entre elles et les parties imaginaires entre elles.

Exemple 8.1.2 Additionner les nombres complexes z1 = 5 – 2i et z2 = 3 + 4i, et représenter graphiquement. Il faut additionner entre elles les parties réelles et les parties ima-ginaires, ce qui donne : z1 + z2 = (5 – 2i) + (3 + 4i) = (5 + 3) + (–2 + 4)i = 8 + 2i La représentation graphique illustre le fait que la somme de deux nombres complexes est représentée par la diagonale du parallélogramme. S

Multiplication par un scalaire Un nombre complexe z = a + bi étant représenté par un vecteur, il a donc un module, noté ou r, qui est défini par : z a2 + b2 r = z = La multiplication par un scalaire aura pour effet de multiplier le module de ce vecteur en conservant la direction. Le sens du vecteur résultant dépendra du signe du scalaire.

Multiplication par un scalaire DÉFINITION Multiplication d’un nombre complexe par un scalaire Soit z = a + bi, un nombre complexe sous forme rectangulaire. La multiplication de z par le scalaire c donne un nombre complexe, noté cz, défini par l’égalité suivante : cz = ca + cbi le vecteur représentant le nombre com-plexe cz a la même direction que celui représentant le nombre complexe z; le module de cz est égal au produit de la valeur absolue de c par le module de z, soit : cz = z c le sens de cz est le même que celui de z si c > 0, et le sens est contraire si c < 0.

Exemple 8.1.3 S Soit le nombre z = 2 – i. a) Représenter graphiquement ce nombre complexe. b) Trouver et représenter graphique-ment le nombre 3z. c) Trouver et représenter graphique-ment le nombre –2z. b) Le nombre 3z est défini par 3z = 3 (2 – i) = 6 – 3i. Graphiquement, c’est un vecteur ayant même direction et même sens que z, mais son module est le triple du module de z. c) Le nombre –2z est défini par –2z = –2(2 – i) = –4 + 2i. Graphi-quement, c’est un vecteur dont le module est le double de celui de z; sa direction est la même que z, mais il est de sens contraire à z, puisque le scalaire est négatif. S

Nombre conjugué Lorsqu’une équation quadratique à coefficients réels a des zéros com-plexes, ceux-ci ne diffèrent que par le signe de la partie imaginaire. De tels nombres sont dits conjugués. Graphiquement, ce sont des vecteurs symétriques par rapport à l’axe des réels. DÉFINITION Nombre complexe conjugué Soit z = a + bi, un nombre complexe sous forme rectangulaire. On appelle nombre complexe conjugué de z, noté z , le nombre complexe défini par : z = a – bi On trouve donc le nombre conjugué en changeant le signe de la partie imaginaire du nombre complexe.

Produit de nombres complexes Pour multiplier deux nombres complexes, on procède comme pour le produit de deux binômes, puis on utilise le fait que i2 = –1. Ainsi, pour effectuer le produit des nombres complexes z1 = 2 – 3i et z2 = 5 + 2i, on procède comme suit : (2 – 3i)(5 + 2i) = 10 + 4i – 15i – 6i2, par distributivité; = 10 + 4i – 15i + 6, puisque i2 = –1; = 16 – 11i Procédure pour multiplier deux nombres complexes sous forme rectangulaire 1. Multiplier les nombres comme s’ils étaient deux binômes. 2. Utiliser le fait que i2 = –1 pour simplifier l’expression obtenue en regroupant les parties réelles et les parties imaginaires. S

Exemple 8.1.4 S S S Effectuer les multiplications suivantes : a) (–5 + 7i)(6 – 12i) b) i(2 + 3i) c) 3i(–5 + 2i)(6 – 3i) a) (–5 + 7i)(6 – 12i) = –30 + 60i + 42i – 84i2, par distributivité; = –30 + 102i + 84, puisque i2 = –1; = 54 + 102i. b) i(2 + 3i) = 2i + 3i2, par distributivité; = –3 + 2i, puisque i2 = –1. c) 3i(–5 + 2i)(6 – 3i) = (–15i + 6i2)(6 – 3i), par distributivité; = (–6 – 15i)(6 – 3i), puisque i2 = –1; = –36 + 18i – 90i + 45i2, par distributivité; = –81 – 72i, puisque i2 = –1. S S S

Produit de nombres complexes conjugués Considérons z = a + bi, un nombre complexe quelconque. Alors, le conjugué de z est = a – bi. Le produit de z par son conjugué est alors : z z = (a + bi)(a – bi) = a2 – abi + abi – b2i2, par distributivité; = a2 + b2, puisque i2 = –1. THÉORÈME Produit d’un nombre complexe et de son conjugué sous forme rectangulaire Soit z = a + bi, un nombre complexe sous forme rectangulaire. Alors, le produit de z par son conjugué z est : z = a2 + b2 Cela signifie que le produit d’un nombre complexe par son conjugué donne toujours un nombre réel. S

Quotient de nombres complexes Le quotient de deux nombres complexes est connu lorsqu’on a déterminé la partie réelle et la partie imaginaire du quotient. Pour y parvenir, on utilise le fait que le produit d’un nombre complexe par son conjugué donne un nombre réel. 2 – 3i 5 + 4i 2 – 3i 5 + 4i 5 – 4i 10 – 15i – 8i + 12i2 25 + 16 –2 – 23i 41 Ainsi, = ´ = = Le quotient est alors exprimé sous la forme a + bi, puisque : 2 – 3i 5 + 4i –2 41 – 23 41 = + i Procédure pour diviser deux nombres complexes sous forme rectangulaire 1. Multiplier le numérateur et le dénominateur par le conjugué du dénominateur. 2. Simplifier et écrire le résultat sous la forme a + bi. S

Exemple 8.1.5 S S S Effectuer les divisions suivantes : 5 – 2i –4 + 3i b) c) a) En multipliant le numérateur et le dénominateur par –4 – 3i, on obtient : 5 – 2i –4 + 3i 5 – 2i –4 + 3i –4 – 3i –20 – 15i + 8i + 6i2 16 + 9 26 25 7 25 = ´ = = – – i b) Pour que le dénominateur soit un nombre réel, il suffit de multiplier le numérateur et le dénominateur par i, ce qui donne : 7 + 4i 3i 7 + 4i 3i i 7i + 4i2 3i2 –4 +7i –3 4 3 7 3 = ´ = = = – i c) Dans cette situation, il est préférable d’effectuer d’abord le produit au dénominateur. On obtient : –2 + 7i (4 – 3i)(3 + 5i) –2 + 7i 27 + 11i 27 – 11i 23 850 211 850 = ´ = + i S S S

Exemple 8.1.6 S S Trouver z et u Î C tels que : 3z + 2iu = 1 – 5i 4iz – 5u = 2 – 15i a) (2 – 3i)z = 6 + 17i b) a) On cherche z = a + bi tel que (2 – 3i)z = 6 + 17i. On a alors : b) On cherche des nombres complexes z = a + bi et u = c + di satis-faisant aux deux équations, soit : 6 + 17i 2 – 3i 6 + 17i 2 – 3i 2 + 3i 12 + 34i + 18i + 51i2 13 z = = ´ = = – 3 + 4i 3 4i 2i –5 z u 1 – 5i 2 – 15i = 3 2i 4i –5 = –15 – 8i2 = –7 ≠ 0 Par la méthode de Cramer, on obtient : 2i –5 1 – 5i 2 – 15i –5 + 25i – (4i – 30i2) –7 –35 + 21i –7 z = = = = 5 – 3i –7 1 – 5i 2 – 15i 3 4i 6 – 45i – (4i – 20i2) –7 –14 – 49i –7 u = = = = 2 + 7i –7 S S

Conclusion En introduisant un opérateur i dont l’effet est une rotation de 90°, on a développé un nouvel ensemble de nombres qui s’expriment comme combinaisons linéaires des vecteurs de la base B = {1, i}. Chaque nombre complexe, qui sous forme rectangulaire s’écrit z = a + bi, est représenté graphiquement par un vecteur dont les composantes sont a et b. En considérant tous les nombres complexes de la forme z = a + 0i, on obtient l’ensemble des nombres réels R qui est donc un sous-ensemble de l’ensemble C des nombres complexes. Toutes les équations quadratiques ont deux racines dans l’ensemble des nombres complexes. Les opérations d’addition et de multiplication par un scalaire tel que définies satisfont aux propriétés de la structure d’espace vectoriel. De plus, en considérant l’addition et la multiplication des nombres complexes, l’ensemble C a une structure de corps commutatif.

Lecture Algèbre linéaire et géométrie vectorielle avec applications en sciences de la nature, Section 8.1, p. 219 à 226. Exercices Algèbre linéaire et géométrie vectorielle avec applications en sciences de la nature, Section 8.2, p. 227 no. 1 à 14