Physique 3 Vibrations et ondes mécaniques Leçon n°13 : Les ondes mécaniques, Introduction, ondes le long d’une chaine d’atomes

Ondes mécaniques progressives, définitions Une onde mécanique progressive est de la propagation d’une perturbation dans un milieu matériel. Elle se propage sans transport de matière mais avec transport d’énergie. L’onde est transversale si la perturbation est perpendiculaire normale à la direction de propagation (ondes à la surface de l’eau, le long d’une corde). Une onde est longitudinale si la perturbation est parallèle à la direction de propagation (ondes sonores, ondes le long d’un ressort).

Ondes mécaniques progressives, propriétés Dans un milieu matériel, une onde se propage de proche en proche (pas de discontinuité) ; cette propagation est caractérisée par sa vitesse v appelée célérité qui dépend du milieu matériel. La perturbation du point source S est une fonction du temps. Exemple de la corde Le déplacement y, appelé élongation est une fonction du temps noté y(t). La perturbation d’un point M est la perturbation du point source avec un retard =x/v où x=SM. Nous avons donc Une onde progressive peut être unidimensionnelle (le long d’une corde), bidimensionnelle (à la surface de l’eau), tridimensionnelle (ondes sonores). Deux ondes peuvent se croiser sans se perturber.

Ondes progressives périodiques Une onde progressive est périodique si la perturbation de la source est reproduite à intervalles de temps égaux (vibration). Une telle onde possède une double périodicité temporelle est spatiale. Périodicité temporelle : tous les points du milieu matériel ont la même période T de vibration : celle du point source S. la fréquence (notation f ou D) est l’inverse de la période f=1/T, f est en Hz et T en s. Périodicité spatiale : A une date et dans une direction de propagation données, la déformation du milieu revient identique à elle-même, à intervalles de distance régulier ; cet intervalle est appelé longueur d’onde. La longueur d’onde  est la distance parcourue par l’onde pendant une période T à la célérité v: =vt : Elongation d’un point de la corde au cours du temps Allure de la corde à la date t

Ondes progressives Une onde mécanique c’est une perturbation qui se propage de proche sans transport de matière mais avec transport d’énergie. Des vagues à la surface de l’eau, une onde sonore, ou une onde sismique sont des exemples d’ondes progressives à deux ou trois dimensions. Cette simulation illustre le cas particulier d’une onde progressive à une dimension. La perturbation générée par la source se retrouve un endroit plus loin, un instant plus tard. Nous mesurons ici que l’onde atteint l’abscisse 0,8 m avec un retard de 4 s. Nous en déduisons <v> la vitesse de l’onde aussi nommée célérité. Sa valeur est une propriété du milieu de propagation. Si maintenant la source d’excitation est périodique alors l’onde qui se propage est une onde progressive périodique alors l’onde qui se propage est une progressive périodique. Etudions l’onde sinusoïdale, elle se caractérise par une double périodicité : une périodicité spatiale qui s’appelle la longueur d’onde et une périodicité temporelle qui s’appelle sa période. Pour mesurer la longueur d’onde, figeons le temps et mesurons la distance qui sépare deux sommets consécutifs. Nous constatons aussi que deux points distants d’une longueur d’onde vibrent en phase. Pour déterminer la période, figeons x et suivons la vibration d’un seul point. Le temps que la boule rouge pour effectuer un cycle est la période. Notons que la période est aussi le temps mis par l’onde pour parcourir la distance . Nous pouvons donc en déduire la vitesse de l’onde v=/T ou encore f si nous introduisons la fréquence f inverse de la période exprimée Hz.

Onde transversale Cette onde sinusoïdale est qualifié de transverse car le déplacement des particules s’effectue selon une direction perpendiculaire à la propagation de l’onde. Comme on le voit pour la particule rouge. Les particules ne font qu’osciller autour de leur position d’équilibre. Il y a déplacement d’énergie mais pas de déplacement de matière. On peut dans cette animation modifier la fréquence, la longueur d’onde et l’amplitude et voir la célérité de l’onde v=T.

Onde longitudinale Pour une onde longitudinale, le déplacement des particules s’effectue selon une direction parallèle à la propagation de l’onde. Le mouvement de la particule rouge témoigne que les particules ne font pas qu’osciller autour de leur position d’équilibre. Il y’a transport d’énergie mais de transport de matière. Chaque particule décrit un mouvement sinusoïdal. C’est une onde progressive longitudinale sinusoïdale. On peut voir la célérité de l’onde v=T et on peut changer son amplitude.

Quiz ondes progressives

Ondes le long d’une chaînes d’atomes (1) Ondes Mécaniques Les énergies cinétiques et potentielle s’écrivent : Le Lagrangien est : L’équation de Lagrange donne pour la masse m placée à xn0:

Ondes le long d’une chaînes d’atomes (2) Il existe des ondes longitudinales de pulsation  et de vecteur d’onde qui se propagent le long de la chaîne sans atténuation et qui ont la forme en notation complexe : avec Les équations donnent

Ondes le long d’une chaînes d’atomes (3) Qui nous donne la relation de dispersion pour une chaîne linéaire d’atomes identiques : Cette équation s’écrit encore :

Ondes le long d’une chaînes d’atomes (4) La pulsation maximale M des ondes qui peuvent se propager dans la chaîne est La notion de longueur d’onde n’a de sens que si >>a Exemple pour =8a

Vitesse de phase On la définie comme étant : d’où

Groupe d’ondes et Vitesse de groupe L’application la plus importante des phénomènes de propagation est leur utilisation pour la transmission de l’information. Pour transmettre des informations, l’émetteur doit modifier constamment l’une des caractéristiques de la vibration : l’amplitude, la phase, la fréquence ou la polarisation. Cette modification continue est appelée modulation. L’onde ainsi engendrée s’appelle une onde porteuse. Si on constitue un film avec des photographies successives, nous aurons l’illusion que le groupe d’ondes se déplace avec une vitesse Pour une chaîne d’atomes identiques, cette vitesse est :

Vitesse de l’énergie L’énergie est reliée à l’amplitude par la relation La cellule qui fournit de l’énergie l’emprunte à son tour à celle qui la précède, ainsi de suite jusqu’à l’émetteur qui doit fournir de l’énergie En à chaque fois que le front d’onde avance de la longueur d’une cellule. Ceci se produit tous les t=a/ve La puissance fournie par l’émetteur est : Le milieu est donc traversée par un flux d’énergie constant qui se propage à une vitesse ve égale à celle du front de l’onde

Passage à un milieu continu Pour des faibles valeurs de k, on peut écrire : d’où l’équation Soit l’équation d’onde : V est la vitesse de propagation des ondes.

Ondes sur une corde vibrante Passage du discontinu au continu  = masse d’un atome, a = arête

Passage du discontinu au continu Les équations de Lagrange nous donne : On obtient facilement

Equation du mouvement d’une corde (1) On peut obtenir l’équation du mouvement directement : en considérant une corde de longueur l soumise à une force f(x,t) par unité de longueur. Le déplacement transversal de la corde u(x,t) est supposé petit.

Equation du mouvement d’une corde (2) L’équation des forces dans la direction z donne : où T est la tension,  est la masse par unité de longueur et θ l’angle de déflexion de la corde avec l’axe des x. Pour un élément de corde dx : et

Equation du mouvement d’une corde (3) qui donne : Si la corde est uniforme, et la tension constante, nous obtenons : Si f(x,t)=0, on obtient l’équation d’onde :

Solution en ondes progressives de l’équation de d’Alembert (1) La solution de cette équation est : La fonction f1(t - x/v) suggère une onde se propageant dans la direction x à une vitesse v. La fonction f2(t + x/v) représente une onde qui se propage dans la direction négative de x à la même vitesse v. y est donc la superposition de deux ondes planes se propageant à la même vitesse suivant l’axe ox, mais avec des sens opposés.

Solution en ondes progressives de l’équation de d’Alembert (2) Considérons l’onde f1(t – x/v) : Le signal f1 apparaît en x+x à l’instant t+t exactement comme il était en x à l’instant t. On dit que f1 est une onde plan progressive se propageant à la vitesse v dans la direction des x croissants. x=vt

Conditions initiales et conditions aux limites (1) L’équation d’onde est du deuxième ordre en x et en t. Nous avons donc besoin de deux conditions initiales et de deux conditions aux limites pour trouver la solution u(x,t). Si la corde a une déflexion u0(x) et une vitesse au temps t=0 connues, les conditions initiales s’écrivent : Si la corde est fixée au point x=0 par exemple, le déplacement est égal à zéro, la condition aux limites limite s’écrit :

Conditions initiales et conditions aux limites (2) Si la corde est connectée à un bouton qui se déplace dans la direction perpendiculaire comme le montre la figure de gauche, l’extrémité ne peut pas avoir de force transversale et la condition aux limites s’écrit :

Conditions initiales et conditions aux limites (3) Si l’extrémité x=0 par exemple est libre et T est constante cette équation devient : Si l’extrémité x=l est fixée à un ressort comme le montre la figure, la condition aux limites s’écrit : où k est la constante de raideur du ressort.

Vibrations libres d’une corde uniforme l’équation d’onde peut être résolue par la méthode de séparation des variables. On écrit dans ce cas : En substituant dans l’équation d’ondes, on obtient : Puisque le membre de gauche dépend de x seulement et le membre de droite de t seulement, leur valeur commune doit être une constante. On écrit

Vibrations libres d’une corde Les fonctions U(x) et T(t) obéissent donc aux équations : Les solutions de ces équations s’écrivent : où est la fréquence des vibrations et les constantes A, B, C et D peuvent être évaluées à partir des conditions initiales et des conditions aux limites.

Solutions quand les deux extrémités sont fixes (1) Les conditions aux limites sont ce qui veut dire U(0)=0 veut dire que La constante A doit être égale à zéro, ce qui implique : Comme B ne peut pas être égal à zéro pour une solution non triviale, nous obtenons l’équation caractéristique satisfaite pour plusieurs valeurs de  :

Solutions quand les deux extrémités sont fixes (2) La solution un(x,t) correspondant à n peut s’exprimer par : où les Cn et Dn sont des constantes arbitraires. La solution un(x,t) est appelée le nième mode de vibration ou la nième harmonique ou le nième mode normal de la corde. Dans chacun de ces modes, chaque point de la corde vibre avec une amplitude proportionnelle à la valeur de Un à ce point avec la fréquence circulaire La fonction Un(x) est appelée la nième fonction caractéristique ou nième fonction normale.

Solutions quand les deux extrémités sont fixes (3) Figure : trois premiers modes de vibration d’une corde fixe aux extrémités. Le premier mode est appelée mode fondamental et 1 est appelée la fréquence fondamentale. La période fondamentale est Les points où un=0 sont appelés des nœuds de vibration.

Solutions quand les deux extrémités sont fixes (4) La solution générale pour une corde fixée aux deux extrémités est donnée par la superposition de tous les un(x,t) : Cette équation donne toutes les vibrations possibles de la corde. Toute vibration particulière est uniquement déterminée à partir de spécifiques conditions initiales qui donnent des valeurs uniques aux constantes Cn et Dn.

Solutions quand les deux extrémités sont fixes (5) Si les conditions initiales sont spécifiées, nous obtenons dans l’intervalle 0xl qui sont les développements en séries de fourrier des fonctions Les valeurs de Cn et Dn peuvent être trouvées en multipliant les équations précédentes par sin (nx/l) et en intégrant de zéro à l :

Exemple1 : Réponse dynamique d’une corde pincée (1) Énoncé : Une corde de longueur l, fixée aux extrémités, est pincée en milieu, comme le montre la figure, et ensuite relâchée. Déterminer son mouvement. Fig.5 : Déflexion initiale d’une corde pincée

Exemple1 : Réponse dynamique d’une corde pincée (2) Solution : Puisque et donc Dn=0, notre solution s’écrit :

Exemple1 : Réponse dynamique d’une corde pincée (3) En substituant l’équation de u0(x) dans celle de Cn, nous obtenons En utilisant la relation On peut écrire Dans ce cas, aucune harmonique paire n’est excitée.

Etude énergétique d’une corde Densité d’énergie cinétique Un élément de masse dm=dx de vitesse y/t possède l’énergie cinétique : La densité d’énergie cinétique s’écrit :

Densité d’énergie potentielle Pendant le mouvement, la longueur de la corde serait L, supérieure à sa longueur au repos ℓ. Le travail d’un opérateur faisant passer la corde de la situation décrite par y(x,t) s’écrit : où T est le module de la force exercée par l’opérateur.

Densité d’énergie (2) Ce travail s’identifie à la variation d’énergie potentielle de la corde La densité d’énergie potentielle ep s’écrit donc : La densité d’énergie de la corde s’écrit alors :

Densité d’énergie (3) La densité d’énergie de la corde peut être transformée de la manière suivante : Le crochet représentant l’équation de d’Alembert étant nul, il reste : qui est l’équation locale de la conservation d’énergie où S représente le flux d’énergie à travers la corde en un point et un instant donnés.

Densité d’énergie (4) Le terme est la réduction sur l’axe des x de div S. Nous avons vu précédemment que il est donc possible de retrouver l’équation de d’Alembert à partir de la conservation de l’énergie d’une corde fixée aux deux bouts.

Représentation d’un mouvement ondulatoire (1) Une impulsion isolée est produite à l’extrémité gauche de la corde. L’état de la corde est montré à trois instants différents. Noter le mouvement transversal des points de la corde. Une impulsion semblable sur un ressort à boudin. Chaque spire du ressort est successivement comprimée et dilatée dans la direction de propagation, et l’onde est longitudinale. Chacune de ces ondes peut être représentée par un même diagramme. Dans le cas de la corde, y est le déplacement d’un point de la corde par rapport à sa position de repos ; les déplacements au-dessus de la position d’équilibre sont comptés positivement. Dans le cas du ressort, y mesure la compression ou la dilation du ressort. La dilatation est considérée comme un déplacement positif.

Représentation d’un mouvement ondulatoire (2) Une perturbation périodique produite par les oscillations d’un levier se propage vers la droite. Le pointillé indique la position de repos de la corde. Un ressort est alternativement comprimé et dilaté. Un même diagramme peut représenter ces deux ondes.

Représentation d’un mouvement ondulatoire (3) Une onde électromagnétique. Une onde sonore. Une onde à la surface de l’eau. Tous ces phénomènes ondulatoires peuvent se représenter par le même type de diagramme que celui qui est utilisé pour la corde tendue et le ressort.

Représentation d’un mouvement ondulatoire (4) Digramme des élongations à différents instants séparés par un quart de période. En une période T, les crêtes d’onde parcourent une distance égale à une longueur d’onde  et tous les points décrivent une oscillation entière. Par exemple, en x=/4, le déplacement est maximal en t=0 et en t=T (points noirs). Le déplacement en x=/2 prend les mêmes valeurs mais avec un retard de T/4.

Interférences et ondes stationnaires Deux ondes impulsionnelles inversées l’une par rapport à l’autre sont produites aux extrémités d’une corde tendue. Au moment où les impulsions se croisent, la corde prend une forme complexe mais le point repéré par la ligne pointillée est constamment au repos. La forme instantanée de la corde est déterminée en additionnant les déplacements créés par les deux impulsions en chacun des points.

Les conditions aux limites (1) Ondes sur une corde décrites à des intervalles de temps de T/4. en haut, l’onde se déplace vers la gauche, en bas, l’onde se déplace vers la droite. Aspect de la corde lorsque les deux ondes voyagent sur la même corde. La forme de la corde change au cours du temps mais le déplacement est toujours nul aux nœuds de vibration. Aux ventres, une photographie de la corde, prises avec un temps d’exposition de plusieurs périodes, montrerait la corde avec le plus de netteté aux points où elle atteint sa déformation maximale.

Les conditions aux limites (2) Superposition d’un grand nombre de vues de la corde de la figure précédente à différents instants très rapprochés.

Les conditions aux limites (3) Deux ondes exactement en phase. Deux ondes en opposition de phase. L’addition de ces deux ondes conduirait à une interférence destructive. Deux ondes déphasées d’un quart de longueur d’onde.

Les conditions aux limites (4) La réflexion d’une impulsion ondulatoire sur corde (a) à une extrémité fixe et (b) à une extrémité libre.

Ondes stationnaires résonnantes (1) En haut, une onde incidente approche de l’extrémité fixe d’une corde. Les déformations sont représentées à des instants séparés d’un quart de période T/4. les figures centrales montrent l’onde réfléchie aux instants. On notera l’inversion. En réalité les deux ondes se superposent sur la corde et le résultat est une onde stationnaire (en bas).

Ondes stationnaires résonnantes (2) Une onde qui approche l’extrémité libre d’une corde, l’onde réfléchie (sans inversion) et l’onde stationnaire résultante.

Les conditions aux limites (3) Les cinq ondes stationnaires de plus grandes longueurs d’onde sur une longueur ℓ fixée à ses extrémités.

Ondes complexes et battements (1) Les première, troisième et cinquième harmoniques dans le cas d’une corde fixée à ses extrémités. L’addition de ces trois harmoniques produit l’onde complexe représentée ici.

Ondes complexes et battements (2) (a) Deux ondes de fréquences légèrement différentes f1 et f2, s’ajoutent pour former l’onde résultante en (b). Les lignes pointillées montrent comment l’amplitude varie dans l’espace.

La polarisation des ondes transversales Une onde portée par une corde vibre dans une direction arbitraire. Après passage par la fente, elle est polarisée dans la direction y et voit son amplitude de réduire. Après passage dans une seconde fente perpendiculaire à la première, l’onde est complètement éteinte. Si les deux fentes n’étaient par perpendiculaires, l’onde finale sortirait polarisée dans la direction de la seconde fente.

Réflexion et transmission sur une discontinuité simple d’une corde Sur une corde très longue composée de deux tronçons, avec les masses linéiques 1 et 2, on suppose que du côté x<0 arrive un ébranlement : Cette onde incidente donnera une onde réfléchie et une onde transmise :

Réflexion et transmission Continuité de la déformation : Continuité de la tension en x=0, c’est à dire de l’angle avec l’axe ox. En utilisant f’ comme la dérivée de f par rapport à on peut écrire :

Réflexion et transmission En simplifiant par f’, on trouve On définit On trouve :

Réflexion et transmission Les limites de r et t sont : Cas →0 : qui est le cas de la réflexion sur une corde très simple (2<< 1), à la limite 2=0, on peut considérer l’extrémité de la première corde comme libre, on a r=1 et t=2, il y’a réflexion totale sans changement de signe. Cas  →  : c’est le cas de la réflexion sur une corde très dense (2>>1), à la limite 2=, on peut considérer l’extrémité de la première corde comme rigidement fixée on a r=-1 et t=0 Il n’y a plus d’onde transmise mais réflexion totale avec changement de signe.

Densité et flux d’énergie sur une discontinuité d’une corde On remarque que, e+=et et e-=ei+er, et que La densité d’énergie est discontinue, elle dépend de la nature de la corde.

Densité et flux d’énergie Le flux d’énergie est une grandeur continue à travers x=0 ce qui traduit la conservation de la puissance. St=Si+Sr Ce qui traduit la conservation de l’énergie : flux incident = flux réfléchi + flux transmis

Réflexion et transmission, conclusion 1=R+T  → 0  R → 1 et T → 0  →   R → 1 et T → 0 dans les deux cas, c’est la réflexion totale  → 0  t → 2, cette onde d’amplitude double ne transporte pratiquement pas d’énergie

Réflexion et transmission sur une discontinuité double (1) en supposant une onde harmonique d’amplitude Aei(x-k1x) arrive du côté x<0, on peut écrire :

Réflexion et transmission sur une discontinuité double (2) Les conditions de continuité donnent quatre équations à quatre inconnues r0, t0, rL et tL (les paramètres k1, k2, k3 et L sont donnés) en x=0 en x=L

Impédance d’une corde (1) Soit F(x,t) la composante sur oy de la force exercée sur une corde et la vitesse de la corde en x La célérité des ondes est L’impédance Z de la corde est constante (le signe - signifie que F et V sont en opposition de phase).

Impédance d’une corde (2) Exemple d’un point matériel S de masse m attaché à deux ressorts identiques de raideur k ; l’impédance de la corde est Cette force entraîne un amortissement du mouvement de m. Relation fondamentale de la dynamique (ou à travers l’équation de Lagrange) : du type L’impédance de la corde agit comme un amortisseur ou une résistance électrique.

Impédance d’une corde (3) A.N. : m=0,5kg ; k=104N.m-1 ; µ=0,1kg.m-1 ; T=10 N à t=0, ys=0=1mm ; et (constante d’amortissement) ; =200 rad/s régime pseudopériodique (peu amorti)  est grand devant donc peu d’énergie est perdue pendant une période T, l’amplitude reste pratiquement constante sur une période T.

Onde plane progressive sinusoïdale (OPPS) et onde stationnaire (OS) à un mode Relation entre une OPPS et une OS à un mode : Prenons une onde stationnaire à un mode et transformons ce produit en somme : L’O.S peut être considérée comme la superposition des 2 OPPS de même pulsation et de même amplitude se propageant un sens inverse. Inversement, prenons une OPPS, en développant le cosinus : Elle peut ainsi être considérée comme la superposition de deux OS en quadrature (spatiale et temporelle).

Exemple : Energie d’une corde (1) Une corde vibrante est dans le mode stationnaire n, c’est-à-dire que : Calculer l’énergie totale En de la corde en fonction de n, An, l et T. Considérons à présent la corde comme un assemblage de petits éléments (de longueur dx) qui effectuent chacun autour de sa position de repos respective sur l’axe Ox un mouvement sinusoïdal d’amplitude Ansin knx. Quelle serait l’énergie mécanique totale E’ de cet ensemble d’oscillateurs? (on rappelle que l’énergie mécanique totale d’une masse m effectuant des oscillations harmoniques d’amplitude  à la pulsation  est m22/2). Comparer l’expression obtenue à En. Commentaire.

Exemple : Énergie d’une corde (2) Énergie de la corde en fonction de n, An, l et T. d’où par la somme, avec il s’agit bien d’une constante (indépendante du temps).

Exemple : Énergie d’une corde (3) L’élément de masse µdx effectuant des oscillations harmoniques d’amplitude Ansin knx à la pulsation n possède l’énergie mécanique totale : Avec l’analogie est tout à fait valable.