Josèphe Flavius Règle générale pour les deux tours: Dans un paquet de cartes, nous supprimons une carte sur deux sachant que la première est épargnée.

Premier tour: Choisir un nombre de cartes entre 10 et 20: Quelle sera la survivante?

Comment procéder pour connaître la dernière carte survivante? n= nombre de cartes J(n)= numéro de la carte survivante dans le paquet n 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 J(n) 5 7 9 1 3

Explication par les puissances de 2 De manière générale: Soustraire la plus grande puissance de 2 Multiplier par 2 Ajouter 1 En binaire: Cela revient à déplacer le premier 1 pour le mettre en dernière place.

Le Binaire Qu'est-ce que c'est? C'est l'écriture des nombres décomposés en puissance de 2 Tout nombre s'écrit à l'aide des chiffres 0 et 1. Exemple: 11001 = 1x2 + 1x2 + 0x2 + 0x2 + 1x2 = 16 + 8 + 1 = 25 4 3 2 1

Prenons un paquet de 25 cartes. Quelle sera la carte survivante? 25 - 16 = 11 11 x 2 = 22 22 + 1 = 23 J(25) = 23 En binaire: 25 = 11001 => 10011 = 23

Second tour Prenons un tas de 8 cartes ordonnées et numérotées de 1 à 8. ( 1 2 3 4 5 6 7 8 ) ( 1 5 7 3 9 6 4 2 ) ( 1 9 4 7 2 6 3 5 )

L'explication mathématique On représente les déplacements effectués, la permutation à l'aide de la notation suivante où chaque colonne montre la valeur d'une carte avant et après battage: ( 1 2 3 4 5 6 7 8 ) ( 1 5 7 3 8 6 4 2 ) Le 1 et le 6 ne bougent pas. Le 2, 5 et 8 échangent leur position entre eux ainsi que le 3, 7 et 4. Ce sont deux permutations circulaires.

Exemples: Pour 8 cartes: PPCM = 3 Pour 10 cartes : PPCM = 21 Combien de fois devons-nous mélanger les cartes pour revenir à l'ordre de départ? Prendre le plus petit commun multiple (PPCM) des permutations circulaires. Exemples: Pour 8 cartes: PPCM = 3 Pour 10 cartes : PPCM = 21 ( 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 ) ( 3 10 5 9 1 8 4 7 2 6 )