Physique 3 Vibrations et ondes mécaniques Leçon n°11 : Oscillations forcées des systèmes à deux degrés de liberté

Plan de la leçon : Oscillations forcées des systèmes à deux degrés de liberté Equation du mouvement pour des vibrations forcées Vibrations amorties et forcées d’un système à deux degrés de liberté

Equation du mouvement pour des vibrations forcées (1) Système à deux degrés de liberté masse-ressort-amortisseur

Equation du mouvement pour des vibrations forcées (2) Energies cinétique et potentielle, Lagrangien et fonction de dissipation : Les équations de Lagrange s’écrivent : Les équations du mouvement sont :

Equation du mouvement pour des vibrations forcées (3) Les équations du mouvements sont couplées : Sous forme matricielle, on écrit : où [m], [] et [k] sont les matrices symétriques masse, amortisseur et raideur : et où sont les vecteurs déplacement et force :

Vibrations amorties et forcées d’un système à deux degrés de liberté (1) L’équation du mouvement général s’écrit : Nous supposons les forces d’excitation harmoniques de pulsation  en donnant aux forces extérieures et aux solutions permanentes du système la forme :

Vibrations amorties et forcées d’un système à deux degrés de liberté (2) La substitution de ces équations dans l’équation matricielle donne : Que l’on peut écrire en définissant la matrice impédance de déplacement [Z(i)] : Il ne faut pas confondre Z avec l’impédance mécanique vitesse définie par qui sert à calculer l’impédance d’entrée d’un système en mécanique et en électricité :

Vibrations amorties et forcées d’un système à deux degrés de liberté (3) avec :

Vibrations amorties et forcées d’un système à deux degrés de liberté, solution (1) On peut réécrire l’équation de la manière suivante : Où l’inverse de la matrice impédance s’écrit :

Vibrations amorties et forcées d’un système à deux degrés de liberté, solution (2) Les équations précédentes nous donnent les solutions : Les solutions permanentes complètes x1(t) et x2(t) sont obtenues en multipliant ces solutions par eit.

Exemple 1 : Réponse stationnaire d’un système masse-ressort (1) Enoncé : trouvez la réponse stationnaire du système de la figure quand la masse m1 est excitée par la force Solution : les équations du mouvement du système s’écrivent : que l’on peut mettre sous la forme matricielle

Exemple 1 : Réponse stationnaire d’un système masse-ressort (2) La comparaison de l’équation précédente avec l’équation montre que : On suppose une solution de la forme : Les composantes de la matrice impédance sont :

Exemple 1 : Réponse stationnaire d’un système masse-ressort (3) Nous obtenons X1 et X2 à partir de l’équation des composantes de l’inverse de la matrice impédance : En prenant , qui sont les fréquences de résonances, ces équations s’écrivent :

Exemple 1 : Réponse stationnaire d’un système masse-ressort (4) On aurait très bien pu résoudre le problème plus simplement en écrivant directement : Ce qui donne :

Exemple 1 : Réponse stationnaire d’un système masse-ressort (5) Réponses X1 et X2 en termes du paramètre sans dimension /1. Ces amplitudes deviennent infinies 2= 12 et 2=22. On voit que pour une certaine valeur de , a appelée pulsation d’antirésonance, la masse m1, à laquelle est appliquée la force, ne bouge pas. Cette caractéristique est la base des absorbants dynamiques de vibrations que l’on appelle aussi les étouffeurs de vibration. On voit aussi que les masses m1 et m2 sont parfois en opposition de phase avec la force F1(t).

Exemple 2 : Oscillations forcées et impédance mécanique de deux pendules simples couplés (1) On prend les deux pendules simples couplés par un ressort, mais la masse A1 et soumise à la force excitatrice horizontale Fe=FM cos t. Ecrire les équations différentielles couplées en 1(t) et 2(t). Ecrire les relations complexes qui concernent les vitesses linéaires de A1 et de A2 en régime forcée. En déduire l’impédance d’entrée complexe :

Exemple 2 : Oscillations forcées et impédance mécanique de deux pendules simples couplés (3) Les équations du mouvement s’écrivent à l’aide des vitesses complexes : La deuxième équation donne : en reportant dans la première équation, on trouve :

Exemple 2 : Oscillations forcées et impédance mécanique de deux pendules simples couplés (4) (c) On en déduit l’impédance mécanique complexe d’entrée Z du système Le système couplé excité fonctionne en « filtre mécanique » puisque son impédance varie avec la pulsation de la force excitatrice.

Exemple 3 : Antirésonance mécanique (1) Enoncé : La figure montre une masser M1 accrochée à un ressort de raideur k1. Cette masse est excitée en régime forcé par une force sinusoïdale F=F0sint. Une masse M2 est accrochée sous M1 par un ressort de raideur k2. Nous supposons qu’il existe un amortissement  pour les deux masses. Cet amortissement peut être égal à zéro, le phénomène d’antirésonance que nous allons démontrer existera toujours. Les variables des équations sont les déplacements x1(t) et x2(t) des masses par rapport à leur position d’équilibre statique. On supposera k1=k2.

Exemple 3 : Antirésonance mécanique (2) Les équations du système s’écrivent : que l’on peut réécrire : Nous allons supposer F(t)=F0eit et xj(t)=Xjeit et prendre la partie imaginaire par la suite, on trouve :

Exemple 3 : Antirésonance mécanique (3) Soit en utilisant la matrice impédance déplacement [Z(i)] avec on trouve :

Exemple 3 : Antirésonance mécanique (4) Si on prend pour simplifier et pour mieux voir les choses =0, on aura : La fréquence d’antirésonance est la fréquence qui annule X1 : Les fréquences de résonance sont les fréquences qui annulent le dénominateur de X1 et de X2 (’ et ’’) et qui sont solutions du dénominateur, c’est-à-dire de l’équation :

Exemple 3 : Antirésonance mécanique (5) Si on écrit et On peut donc écrire la fréquence d’antirésonance (ant) et les fréquences de résonances (’ et ’’) fonction du rapport M1/M2. On peut mettre X1 et X2 sous la forme : Ces deux derniers points sont valable même en présence d’un amortissement  différent de zéro. Dans le cas où M1=M2, nous obtenons l’équation bicarrée suivante m24-3km2+k2=0 dont les racines sont

Exemple 3 : Antirésonance mécanique (6) Les quantités X1 et X2 quand il n’y a pas d’amortissement sont des quantités réelles. On peut faire une étude de leur signe : On a 4 cas : +<<’ M1 et M2 oscillent en phase avec la force excitatrice F(t) ’<<0 M1 et M2 oscillent en opposition de phase avec F 0<<’’ M1 est en phase et M2 en opposition de phase avec F >’’, M1 est en opposition de phase et M2 en phase avec F  0 ’=0,6180 ’’=1,6180  Signe du dénominateur (2k-m2 )(k-m2)-k2 + - Signe de k-m2 Signe de X1 Signe de X2

Exemple 4 : Application java de l’antirésonance mécanique et des résonances d’un système couplé amorti et forcé (1) nous allons voir une application Java montrant notre système. Cette application résout le problème entier, c’est-à-dire avec l’amortissement . Chose que nous n’avons pas pu faire facilement de manière théorique. On utilisera dans cette animation les valeurs suivantes : M1=10kg, k1=k2=4104N/m. Ce qui nous donne Nous allons avec cette animation faire des opérations et voir des phénomènes impossible à visualiser autrement. Nous allons surtout : a- Chercher les fréquences de résonance et la fréquence d’antirésonance en fonction du rapport M2/M1 b- Vérifier l’influence de l’amortissement sur l’acuité des résonances. c- Observer le passage du régime transitoire au régime permanent. d- Vérifier que lors de la résonance du système supérieur, x1 et x2 sont en phase et que pour l’autre résonance, ils sont en opposition de phase.