Mat-5110 : Introduction aux vecteurs Martin Francoeur Conseiller en évaluation martin.francoeur@grics.qc.ca Document original réalisé par Claude Boucher

Présentation du programme Mat 5101 : Optimisation I Mat 5102 : Statistique III (corrélation) Mat 5105 : Coniques Mat 5106 : Fonctions réelles et équat. Mat 5107 : Fonctions exp et log Mat 5108 : Fonctions trigo Mat 5109 : Géométrie IV Mat 5110 : Introduction aux vecteurs Mat 5111 : Complément et synthèse II Document original réalisé par Claude Boucher

Pourquoi les vecteurs en mathématique au secondaire? Notion mathématique utilisée en physique Façon de réinvestir les démonstrations Document original réalisé par Claude Boucher

Document original réalisé par Claude Boucher Définitions Scalaire: quantité définie par un nombre réel. Vecteur: quantité ayant une grandeur, une direction et un sens. Document original réalisé par Claude Boucher

Comment nomme-t-on les vecteurs? Lettre minuscule surmontée d’une flèche a Point de départ (origine) de la flèche et point de départ (extrémité) de la flèche AB Document original réalisé par Claude Boucher

Comment nomme-t-on les vecteurs? Vecteur algébrique: par ses composantes Composantes horizontale et verticale v=(3,4) Les composantes correspondent aux coordonnées de l’extrémité du vecteur lorsque l’origine du vecteur coïncide avec l’origine du plan cartésien. Document original réalisé par Claude Boucher

Document original réalisé par Claude Boucher Direction et sens Toutes les flèches parallèles ont la même direction. Une même direction peut se prendre dans les deux sens. Document original réalisé par Claude Boucher

Document original réalisé par Claude Boucher Vecteurs colinéaires Vecteurs colinéaires : vecteurs qui ont la même direction. Deux vecteurs qui n’ont pas la même direction sont dits : non-colinéaires ou linéairement indépendants. Document original réalisé par Claude Boucher

Orientation d’un vecteur géométrique Avec la rose des vents… Document original réalisé par Claude Boucher

Orientation d’un vecteur géométrique Angle d’orientation : angle que la flèche forme avec l’horizontal dans le sens anti-horaire. Détermine à la fois la direction et le sens. Document original réalisé par Claude Boucher

Orientation d’une vecteur algébrique Vecteur algébrique: les composantes donne l’orientation du vecteur. Pour connaître l’angle d’orientation d’un vecteur algébrique, on utilise la trigonométrie. Document original réalisé par Claude Boucher

Document original réalisé par Claude Boucher Norme d’un vecteur Longueur du vecteur Notation : ||v|| Vecteur géométrique On mesure avec une règle Vecteur algébrique Distance entre l’origine et l’extrémité du vecteur Document original réalisé par Claude Boucher

Document original réalisé par Claude Boucher Vecteurs opposés Deux vecteurs de même norme, de même direction et de sens contraire v est toujours opposé à –v. AB est opposé à BA. m=(2,4) est opposé à n=(-2,-4). Document original réalisé par Claude Boucher

Vecteur nul et vecteur unitaire Vecteur dont la longueur est 0. On le note 0. Le vecteur nul a toutes les orientations. Vecteur dont la longueur est 1 dans une orientation donnée. Vecteurs orthogonaux Vecteurs dont les directions sont perpendiculaires. Document original réalisé par Claude Boucher

Angle entre deux vecteurs Lorsque les origines de deux vecteurs coïncident. La plupart du temps noté  Utilisation de la loi des sinus et des cosinus Document original réalisé par Claude Boucher

Document original réalisé par Claude Boucher Addition de vecteurs Méthode du parallélogramme Méthode du triangle Addition des composantes Le vecteur somme s’appelle la résultante Pour la soustraction de vecteurs, on additionne le vecteur opposé Document original réalisé par Claude Boucher

Document original réalisé par Claude Boucher Résultante Norme de la résultante Loi des cosinus Orientation de la résultante Mesure de l’angle formé par la résultante et un des deux vecteurs Document original réalisé par Claude Boucher

Document original réalisé par Claude Boucher Exercices 1 et 2 : Document exercices complémentaires. Document original réalisé par Claude Boucher

Document original réalisé par Claude Boucher Relation de Chasles AB + BC + CD = AD AB + BC + CA = AA = 0 AB – CB = AB + BC = AC Document original réalisé par Claude Boucher

Document original réalisé par Claude Boucher Exercice 3 : Document exercices complémentaires. Document original réalisé par Claude Boucher

Multiplication d’un vecteur par un scalaire Le produit d’un vecteur par un scalaire est un vecteur. Le vecteur final a la même direction que le vecteur initial. Même sens si le scalaire est positif. Sens contraire si le scalaire est négatif. Document original réalisé par Claude Boucher

Document original réalisé par Claude Boucher Combinaison linéaire w = 3u + 4v Si u et v sont colinéaires, w aura aussi la même direction. Si u et v sont non-colinéaires, w aura une direction différente. Document original réalisé par Claude Boucher

Document original réalisé par Claude Boucher Base vectorielle Deux vecteurs non-nuls linéairement indépendants forment une base vectorielle. À partir de ces deux vecteurs, on peut les combiner et obtenir tout autre vecteur du plan. La recherche des coefficients d’une combinaison linéaire ne portera que sur les vecteurs décrits par leurs composantes. Document original réalisé par Claude Boucher

Document original réalisé par Claude Boucher Exercice 5 Document exercices complémentaires. Document original réalisé par Claude Boucher

Base vectorielle orthonormée Vecteurs orthogonaux et de norme 1. i = (1,0) et j = (0,1) Document original réalisé par Claude Boucher

Base vectorielle et combinaison linéaire Tout vecteur est décomposable en une somme de deux autres vecteurs qui, eux-mêmes, peuvent être décomposés en un produit d’un vecteur par un scalaire. Document original réalisé par Claude Boucher

Multiplication scalaire de 2 vecteurs Produit de la longueur orientée de la projection orthogonale du premier vecteur sur le deuxième par la norme du deuxième vecteur. Le produit scalaire de deux vecteurs est un scalaire. Notation : u  v Document original réalisé par Claude Boucher

Multiplication scalaire Produit scalaire de vecteurs orthogonaux : 0 Produit scalaire de vecteurs géométriques u  v = ||u|| ||v|| cos  Produit scalaire de vecteurs algébriques u=(a,b) et v=(c,d) u  v = ac+bd Document original réalisé par Claude Boucher

Propriétés de l’addition de vecteurs La somme de deux vecteurs est un vecteur. Commutativité : u + v = v + u Associativité : (u + v) + w = u + (v + w) Existence de l’élément neutre : u + 0 = u Existence de l’opposé : u + -u = 0 Document original réalisé par Claude Boucher

Propriétés de la multiplication d’un vecteur par un scalaire Le produit d’un vecteur par un scalaire est toujours un vecteur. Associativité : k1(k2u) = (k1k2)u Existence d’un scalaire neutre : 1u = u Distributivité sur l’addition de vecteurs k(u + v) = ku + kv Distributivité sur l’addition de scalaires k1u + k2u = (k1 + k2)u Document original réalisé par Claude Boucher

Propriétés de la multiplication scalaire de deux vecteurs La produit scalaire de 2 vecteurs est un scalaire Commutativité : u  v = v  u Associativité des scalaires : k1u  k2v = (k1k2)(u  v) Distributivité sur une somme vectorielle : u  (v + w) = (u  v ) + (u  w) Document original réalisé par Claude Boucher

Un peu de pratique maintenant! Document exercices complémentaires. Vous pouvez faire les exercices 6, 8, 9, 11. Document original réalisé par Claude Boucher

Démonstrations à l’aide des vecteurs Énoncer la loi de Chasles et l’appliquer à la vérification d’énoncés à l’aide des vecteurs. Construire ou compléter une démonstration. Déterminer si un énoncé, formulé à l’aide des vecteurs, est vrai ou faux. La réponse doit être justifiée … Document original réalisé par Claude Boucher

Document original réalisé par Claude Boucher Exercices 14 et 15 Document exercices complémentaires. Document original réalisé par Claude Boucher

Résoudre des problèmes Utiliser les vecteurs pour résoudre des problèmes. Justifier les étapes de sa démarche. Document original réalisé par Claude Boucher

Document original réalisé par Claude Boucher Exercices 18 et 22 Document exercices complémentaires. Document original réalisé par Claude Boucher