Citation

Organisation  Dans un premier temps, nous présenterons la résolution mathématique du problème des congruences simultanées avec des différents Méthodes, d’abord dans la situation la plus simple où les modules sont premiers entre eux deux à deux, puis dans un cadre général.  Dans un seconde temps, nous établirons une résolution informatique du problème des congruences simultanées dans des différents langages (C++, JAVA, JAVA SCRIPT).

Sommaire PARTIE MATHEMATIQUEPARTIE INFORMATIQUE  I) BREF INTRODUCTION  II) DEMONSTRATION DU THEOREME  III) QUELQUES APPLICATIONS  IV) ASTUCES ET METHODES  V) COMPARAISON DES DIFFERENTS METHODES  VI) CAS PARTICULIER  I) Base de Java  II) Algorithme  III) Langage Java  IV)Exécution Des Exemple à partir du Langage Java  V) Exécution Des Exemple à partir du Langage C++  VI) Exécution Des Exemple à partir du Langage JavaScript I II

I) Bref Introduction  Par son histoire et sa religion, la chine a toujours mis l’accent sur l’astronomie. Ainsi, dans le but de prévoir des dates ou événements astronomiques, les astronomes chinois ont découverts le théorème des restes chinois. D’après certains textes, on peut évaluer l’apparition du théorème au 3ème siècle.  Le théorème a évolué au cours du temps sous diverses formes et avec l’apparition de nouveaux, dérivés du théorème initial.  Ce théorème, permettant de calculer des systèmes de congruences

Rappelons le Théorème de reste chinois

II)Démonstration du Théorème  Prouvons d’abord l’existence d’une solution. Pour tout 1< i < n, on pose Mi = M/mi On pose x = a1*M1*x1 + a2*M2* x an*Mn*xn Montrons que x constitue une solution du système de congruences  Prouvons ensuite l’unicité de la solution modulo M. Soient x et x ′ deux solutions du système de congruences Montrons que x ≡ x ′ mod M.

Quelques Applications SYSTEMEPROBLEME X ≡ 3 mod 11 X ≡ 6 mod 8 X ≡ -1 mod 15  Combien l'armée de Han Xing comporte-t- elle de soldats si, rangés par 3 colonnes, il reste deux soldats, rangés par 5 colonnes, il reste trois soldats et, rangés par 7 colonnes, il reste deux soldats ?

III) Les Différents Méthodes  Soit le Système : X ≡ 3 mod 11 X ≡ 6 mod 8 X ≡ -1 mod 15 Pour résoudre ce système utilisons les Méthodes A et B

X ≡ 1 mod 11 X ≡ 0 mod 8 X ≡ 0 mod 15 Avec l’identité de Bézout On obtient donc X1 =-120 X ≡ 0 mod 11 X ≡ 1 mod 8 X ≡ 0 mod 15 Avec x 2 = -495 X ≡ 0mod 11 X ≡ 0 mod 8 X ≡ 1 mod 15 AVEC X 3= 616  Finalement on obtient  X = 3 x1 +6 x2 –x3 =  On rajoute a – 3946 des multiples de M= 8*11*15 = 1320  D’où :  X’ = *1320 = Première Méthode : A 14

Seconde Méthode :B X ≡ 3mod 11 X ≡ 6mod 8 En Cherchant T et U tels que : 3+11T= 6+8U OU 11T-8U = 3 On peut résoudre ceci par l algorithme d’Euclide et par Bézout mais ici, on constate que T=U= 1 est une solution  Par le même procède on obtient donc la solution recherche  Avec X= 14 mod 1320

Pour résoudre le problème utilisons la méthode c  Combien l'armée de Han Xing comporte-t-elle de soldats si, rangés par 3 colonnes, il reste deux soldats, rangés par 5 colonnes, il reste trois soldats et, rangés par 7 colonnes, il reste deux soldats ?

Le problème des soldats se réduit donc a : X=2 mod 3 X=3 mod 5 X=2mod 7

Application direct

ZERO METHODE  Règle : « En comptant par trois, il en reste deux » : poser 140. « En comptant par cinq, il en reste trois » : poser 63. « En comptant par sept, il en reste deux » : poser 30.  Faire la somme de ces trois nombres, obtenir 233. Soustraire 210 de ce total, d’où la réponse.  Reponse : 23  En général, pour chaque unité restante d’un décompte par trois, poser 70 ; pour chaque unité restante d’un décompte par 5, poser 21 ; pour chaque unité restante d’un décompte par 7, poser 15. Si [la somme ainsi obtenue] vaut 106 ou plus, ôter 105 pour trouver la réponse

TROISIEME METHODE : C On a donc M=m 1 ×...×m n D’ou M= 3*5*7=105 Mi = M/mi M1=105/3 =35 M2= 105/5 =21 M3 =105/7=15 On sait que Yi Mi ≡ 1 mod m i ou Yi ≡ M i -1 mod m i on a donc d’après Euclide étendue : Y1=U1=2, Y2=U2=1, Y3=U3=1 Finalement on obtient donc : X=(a1M1Y1 + a2M2Y2 + a3M3Y3) modulo 105 X=(2*35*2+ 3*21*1+ 2*15*1) modulo 105 X= 233 modulo 105 X = 23 mod 105

Parmi ces 3 Méthodes laquelle est la plus fiable Quelles chemin faut’il prendre ?

COMPARAISON DES DIFFERENTS METHODES A SAVOIR 3 méthodes Méthode : C Méthode :A Méthode : B

Cas particulier Si les M i ne sont pas premier entre eux ???????

Soit l’exemple suivant : X=8 mod 12 X= 0 mod 4 X=11 mod 15 X= 2 mod 3 X=1 mod 5

PROGRAMMER EN JAVA

PROGRAMMER C++

Programmer en Java Script

Clôture