Construction du nombre au cycle 2 Circonscription de Morlaix Le 14/11/2012 Marianne Sichler

La représentation du nombre à travers l’histoire Que signifie pour vous le mot nombre? 四十 ٢١ : وَاحِد وَعِشْرون Insérer images de nombre en chinois, arabe, hiéroglyphe 四十 40 egyptien : pont =10 arabe 21

Le système de numération: savoir écrire les nombres et pourquoi ils s’écrivent ainsi. Connaître le système de numération c’est: Savoir tirer des informations des codes écrits. Les codes écrits sont composés de chiffres et leur statut se « lit » dans l’écriture: Exemple:« Avec 253 pions, quand j’aurai fini de grouper par 10, il me restera 3 pions sur la table… il est inutile de le faire réellement, ça se « voit », j’en suis certain ». La valeur du groupement se «lit» dans l’écriture: Exemple:« Avec 253 pions, je peux faire 25 paquets de 10 .. Pas la peine de les faire réellement, j’en suis certain». www.ac-reims.fr/.../remediation_en_maths_c3_chaumont.pdf -

Savoir que les nombres possèdent des propriétés qui me permettent de faire du « calcul réfléchi » très rapidement. Exemple: « Pour ajouter 18 il vaut mieux ajouter 20 et retirer 2, parce qu’ajouter 20 c’est ajouter 2 au nombre des dizaines seulement… sans toucher aux autres! ».

Savoir qu’il permet des calculs écrits rapides et efficaces. Exemple « Je sais bien que 5+3 c’est 8, je sais DONC que 50+30 c’est 80 parce que 5diz+3diz c’est 8diz et 8diz ça s’écrit [« 8 »« 0 »] ». C’est donc comprendre pourquoi la disposition en colonne est efficace… L’ensemble de nos techniques opératoires repose sur le système de numération positionnel de base 10

Donc, c’est savoir tirer des informations pertinentes des codes écrits pour résoudre des problèmes numériques et justifier ses réponses… Sans passer par des procédures de comptage..

Le plan Les différents usages du nombre Les grandes étapes de la construction du nombre au cycle 1 Dans les programmes Construction du nombre et techniques opératoires Construction du nombre et calcul mental Des outils pour la classe

1. Le nombre peut être utilisé :   1) comme mémoire (d’une quantité ou d’un rang)  pour Comparer des collections Réaliser une collection ayant autant d’éléments que… Réaliser une collection qui soit le double, le triple de… Compléter une collection pour qu’elle ait autant que… 2) comme possibilité d’anticiper. Déplacements sur piste graduée Réunion de collections Collections disjointes Partages de collections Echanges d’objets de valeur différente (distinction valeur/quantité)

« Dès le début, les nombres sont utilisés dans des situations où ils ont un sens et constituent le moyen le plus efficace pour parvenir au but » .A la maternelle les enfants découvrent et comprennent les fonctions du nombre, en particulier comme représentation de la quantité et moyen de repérer des positions dans une liste ordonnée d’objets. »

2. Les grandes étapes de la construction du nombre : L’apprentissage de la comptine numérique Deux façons de comprendre le nombre : l’ordinal et le cardinal La maitrise des mots nombres Dénombrement et collections témoins Décomposition et constellations Nombres et grandeurs.

2.1 L’apprentissage de la comptine numérique Cet apprentissage ce fait tout au long du cycle 1, il doit être progressif. Il se fait au moment des rituels mais aussi tout au long de la journée. Il faut faire évoluer les modalités tout au long de l ’année

2.2 Deux façons de comprendre le nombre : l’ordinal et le cardinal

2.3 La maitrise des mots nombres Cette maîtrise est liée à la langue dans laquelle on enseigne les mathématiques. Les irrégularités ne sont pas les même d’une langue à l’autre. Cas particuliers pour les filières bilingues .

2.4 Dénombrement et collections témoins Pour s’approprier les nombres les élèves doivent se confronter à diverses représentations des nombres.

2.5 Décomposition et constellations Les représentations sous forme de constellation vont permettre d’approcher les décompositions des nombres Ne pas oublier les constellations de doigts, des recherches récentes montre qu’une certaine habilité des doigts laisse présager une bonne réussite en mathématiques, on peut donc laisser les élèves compter sur leurs doigts!

2.6 Nombres et grandeurs. Pendant cette période de construction du nombre il est important de toujours rattacher un nombre à une grandeur donnée.

A la fin de l ’école maternelle, l’élève est capable de : - comparer des quantités, résoudre des problèmes portant sur les quantités ; - mémoriser la suite des nombres au moins jusqu’à 30 ; - dénombrer une quantité en utilisant la suite orale des nombres connus ; - associer le nom de nombres connus avec leur écriture chiffrée ;

« donner du sens aux mathématiques » Fénichel/Pfaff (ed. Bordas)

3. Le programme: CP/CE1 « La connaissance des nombres et le calcul constituent les objectifs prioritaires du CP et du CE1. » « Conjointement une pratique régulière du calcul mental est indispensable. De premiers automatismes s’installent. L’acquisition des mécanismes en mathématiques est toujours associée à une intelligence de leur signification. »

« Les élèves apprennent la numération décimale inférieure à 1 000 « Les élèves apprennent la numération décimale inférieure à 1 000. Ils dénombrent des collections, connaissent la suite des nombres, comparent et rangent. »

Il ne s’agit pas d’enseigner les nombres mais bien de permettre aux élèves d’en faire quelque chose. Il est important de faire prendre conscience aux élèves de l’utilité des nombres, du pouvoir qu’ils donnent dans la maîtrise de certaines situations. Les nombres doivent devenir des outils efficaces pour résoudre des problèmes mais aussi pour contrôler une réponse et débattre de sa validité.

le passage progressif du comptage au calcul Le passage au cycle 2 va être caractérisé dans le domaine de la construction du concept de nombre par : le fait de donner du sens à chacun des chiffres d’une écriture comme 23 ( boites d’œufs, le 100 ième jour) le passage progressif du comptage au calcul quand on calcule, on ne dispose plus d’objets ; on travaille uniquement avec des écritures symboliques)

Points importants: Bande/tableau numérique Décomposition additives Groupements Les échanges Le compteur L’écriture :difficulté importante

L’utilisation d’une bande numérique et d’un tableau de nombres aide à la compréhension du système de numération Points importants: Bande/tableau numérique Décomposition additives Groupements Les échanges Le compteur L’écriture :difficulté importante

La bande numérique : 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

Elle aussi évolue tout au long du cycle 2

L’utilisation de la bande permet de résoudre des problèmes additifs par déplacement (comptage; surcomptage..) Exemple: Extrait du manuel « maths + » CE1 sed

Choix d’un tableau : Remarque concernant les tableaux de nombres: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 98 99 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 98 99 100 Choix de Brissiaud: Permet de travailler le sens des écritures chiffrées ex: 23 c’est de paquets de 10 (deux lignes ) et 3 Choix de Ermel:Permet de travailler sur les désignations orales des nombres 23 appartient à la famille des 20 ( 20 est « chef de famille » D’après R. Brissiaud D’après Ermel

la question du zéro son statut mathématique : en tant que chiffre il sert à désigner l'absence d'un rang dans un nombre en tant que nombre il est indispensable pour les propriétés de nos opérations sa place dans la classe : il faut une étiquette zéro dans la boîte des chiffres il est quasiment inutile dans une bande numérique

Les décompositions additives : Vont permettre aux élèves de mieux « manipuler » les nombres Importance particulière des décompositions à 10

Une activité pour laquelle cela a un intérêt: Faire des paquets de 10: oui mais pourquoi? Une activité pour laquelle cela a un intérêt: « les fourmillions »: dénombrement d’une collection importante (plus de 1300 objets: nécessité de grouper par 10 et encore par 10)

Objectifs : - Faire percevoir la nécessité de développer une stratégie plus efficace que le dénombrement un à un. - Amener les enfants à organiser une collection, en utilisant les groupements par dix, afin d'obtenir un dénombrement plus fiable (le dénombrement un à un devient aléatoire, voire impossible dès que les enfants ne sont plus dans un domaine numérique familier). - Faire admettre que ce mode de groupement peut se réitérer (récursivité des groupements). - Donner du sens aux mots « unité», «dizaine», «centaine», éventuellement « mille » (savoir en particulier qu'une dizaine, c'est 10 unités et que 10 unités forment une dizaine)..

Faire des échanges: pour comprendre la valeur des chiffres Pour comprendre que le 5 de 51,n’a pas la même valeur que le 5 de 25 Il faut comprendre que 5 dizaines c’est 5 « paquets » de 10

Exemples: activités avec des outils tels que: Des abaques: Les abaques triangulaires sont des abaques à boules identiques où les mâts peuvent recueillir plus de dix boules. Chacun des trois mâts est identifié par les symboles respectifs u, d et c. La quantité de 18 boules présente l’intérêt de pouvoir déposer sur un mât un nombre de boules correspondant à la somme 9 + 9 avant d’effectuer l’échange qui convient. La disposition spatiale triangulaire, évite de retrouver l’ordre usuel centaines,dizaines, unités qui peut masquer une incompréhension des élèves. Il faut éviter une effectuation mécanique des tâches d’échange : le fait que les boules soient identiques oblige à la réflexion.

Activité extraite du manuel « Tous en maths! » CE1

4 Construction du nombre et techniques opératoires Les techniques opératoires reposent sur : Une bonne représentation de la numération de position Savoir regrouper par 10 Faire des échanges

Cas particulier de la soustraction : Technique reposant sur une autre écriture du premier terme : fondée sur la connaissance des principes de la numération. Elle est aussi appelée techniques anglo-saxonne. Technique traditionnelle française ou technique reposant sur l’invariance d’une différence par ajout simultané d’un même nombre aux deux termes de la soustraction : elle s’appuie sur la propriété suivante a – b = (a+c) – (b+c) Technique reposant sur l’équivalence entre soustraction et recherche d’un complément ou addition à trous : elle repose sur le fait que le calcul de 54 – 16=…est équivalent à celui de 16 + …=54

5. Construction du nombre et calcul mental Les procédures de calcul mental s’appuie sur une bonne connaissance de la numération. Cette bonne connaissance se construit aussi à travers la pratique régulière du calcul mental

Des outils pour la classe Le site du « matou matheux » ExercicesNombresCPCE1.pdf Des outils pour « j’apprends les maths » .lakanal.free.fr/ fiches_nombres1a10_CP_aff_NE_lak.pdf

Des références Le nombre au cycle 2 (eduscol) L’acquisition du nombre (puf) par Michel fayol Ermel Brissiaud

Des jeux