Mathieu Brévilliers, Laboratoire MIA, UHA Partition élémentaire d’un ensemble de segments du plan Journées de Géométrie Algorithmique 2007
Mathieu Brévilliers, Laboratoire MIA, UHA Triangulations d’un ensemble de points et de segments du plan Triangulations contraintes et triangulations de Delaunay contraintes Lee et Lin, Generalized Delaunay Triangulation for Planar Graphs, 1986 Chew, Constrained Delaunay Triangulations, 1987
Mathieu Brévilliers, Laboratoire MIA, UHA Plan Partition élémentaire d’un ensemble de sites Algorithme de construction d’une partition élémentaire Partition élémentaire de Delaunay d’un ensemble de sites Illégalité d’une arête d’une partition élémentaire
Mathieu Brévilliers, Laboratoire MIA, UHA Partition élémentaire
Mathieu Brévilliers, Laboratoire MIA, UHA Partition élémentaire
Mathieu Brévilliers, Laboratoire MIA, UHA Partition élémentaire
Mathieu Brévilliers, Laboratoire MIA, UHA Partition élémentaire
Mathieu Brévilliers, Laboratoire MIA, UHA Partition élémentaire
Mathieu Brévilliers, Laboratoire MIA, UHA Partition élémentaire
Mathieu Brévilliers, Laboratoire MIA, UHA Une arête d’une partition élémentaire est adjacente à exactement deux sites de S.
Mathieu Brévilliers, Laboratoire MIA, UHA Une arête d’une partition élémentaire est adjacente à exactement deux sites de S.
Mathieu Brévilliers, Laboratoire MIA, UHA Une arête d’une partition élémentaire est adjacente à exactement deux sites de S.
Mathieu Brévilliers, Laboratoire MIA, UHA Forme des arêtes
Mathieu Brévilliers, Laboratoire MIA, UHA Forme des arêtes
Mathieu Brévilliers, Laboratoire MIA, UHA Forme des arêtes
Mathieu Brévilliers, Laboratoire MIA, UHA Diagramme topologique
Mathieu Brévilliers, Laboratoire MIA, UHA Diagramme topologique
Mathieu Brévilliers, Laboratoire MIA, UHA Diagramme topologique
Mathieu Brévilliers, Laboratoire MIA, UHA Diagramme topologique
Mathieu Brévilliers, Laboratoire MIA, UHA Diagramme topologique
Mathieu Brévilliers, Laboratoire MIA, UHA Diagramme topologique
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Mathieu Brévilliers, Laboratoire MIA, UHA Nombres de faces et d’arêtes 3n – n’ – 3 arêtes 2n – n’ – 2 faces n : nombre de sites n’ : nombre de côtés de conv(S) qui ne sont pas des sites
Mathieu Brévilliers, Laboratoire MIA, UHA Algorithme de construction Dans une triangulation contrainte, les faces dont les sommets sont sur trois sites distincts correspondent aux faces d’une partition élémentaire Adaptation d’un algorithme de construction par balayage d’une triangulation contrainte quelconque Edelsbrunner, Triangulations and Meshes in computational geometry, 2000 L’algorithme construit une partition élémentaire de S en temps O(nlogn) où n est le nombre de sites de S
Mathieu Brévilliers, Laboratoire MIA, UHA Partition élémentaire de Delaunay
Mathieu Brévilliers, Laboratoire MIA, UHA Partition élémentaire de Delaunay
Mathieu Brévilliers, Laboratoire MIA, UHA Existence d’une partition élémentaire de Delaunay
Mathieu Brévilliers, Laboratoire MIA, UHA Existence d’une partition élémentaire de Delaunay
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Mathieu Brévilliers, Laboratoire MIA, UHA Unicité d’une partition élémentaire de Delaunay Si les sites sont en position générale, c’est-à- dire s’il n’existe pas de cercle tangent à plus de trois sites
Mathieu Brévilliers, Laboratoire MIA, UHA Nature des arêtes d’une partition élémentaire de Delaunay
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Mathieu Brévilliers, Laboratoire MIA, UHA Nature des arêtes d’une partition élémentaire de Delaunay
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Mathieu Brévilliers, Laboratoire MIA, UHA La partition élémentaire de Delaunay est duale du diagramme de Voronoï
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Mathieu Brévilliers, Laboratoire MIA, UHA La partition élémentaire de Delaunay est duale du diagramme de Voronoï
Mathieu Brévilliers, Laboratoire MIA, UHA La partition élémentaire de Delaunay est duale du diagramme de Voronoï
Mathieu Brévilliers, Laboratoire MIA, UHA La partition élémentaire de Delaunay est duale du diagramme de Voronoï La partition élémentaire de Delaunay correspond exactement à la « triangulation de Delaunay de segments » qui a été définie par dualité Chew et Kedem, Placing the Largest Similar Copy of a Convex Polygon Among Polygonal Obstacles, 1989
Mathieu Brévilliers, Laboratoire MIA, UHA Illégalité d’une arête d’une triangulation d’un ensemble de points Arête légale:Arête illégale:
Mathieu Brévilliers, Laboratoire MIA, UHA Sous ensemble E de partitions élémentaires de S Les cercles circonscrits aux faces sont tangents aux sites qui définissent les faces.
Mathieu Brévilliers, Laboratoire MIA, UHA Illégalité d’une arête d’une partition élémentaire de E
Mathieu Brévilliers, Laboratoire MIA, UHA Illégalité d’une arête d’une partition élémentaire de E
Mathieu Brévilliers, Laboratoire MIA, UHA Illégalité d’une arête d’une partition élémentaire de E
Mathieu Brévilliers, Laboratoire MIA, UHA Illégalité d’une arête d’une partition élémentaire de E Arête légaleArête illégale
Mathieu Brévilliers, Laboratoire MIA, UHA Les arêtes surfaciques d’une partition élémentaire de E sont légales
Mathieu Brévilliers, Laboratoire MIA, UHA Les arêtes surfaciques d’une partition élémentaire de E sont légales
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Mathieu Brévilliers, Laboratoire MIA, UHA La partition élémentaire de Delaunay est l’unique partition élémentaire de E sans arête illégale
Mathieu Brévilliers, Laboratoire MIA, UHA La partition élémentaire de Delaunay est l’unique partition élémentaire de E sans arête illégale
Mathieu Brévilliers, Laboratoire MIA, UHA La partition élémentaire de Delaunay est l’unique partition élémentaire de E sans arête illégale
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Mathieu Brévilliers, Laboratoire MIA, UHA La partition élémentaire de Delaunay est l’unique partition élémentaire de E sans arête illégale
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Mathieu Brévilliers, Laboratoire MIA, UHA Illégalité d’une arête d’une partition élémentaire quelconque Pour une arête topologique donnée, on calcule la représentation géométrique de l’arête et des deux faces adjacentes telle que les cercles circonscrits aux faces soient tangents aux sites. Une arête topologique est illégale si la représentation géométrique calculée satisfait l’une des deux conditions suivantes :
Mathieu Brévilliers, Laboratoire MIA, UHA Illégalité d’une arête d’une partition élémentaire quelconque 1.L’ordre des sites et des faces autour de l’arête n’est pas le même que dans le diagramme topologique. Représentation géométrique initiale
Mathieu Brévilliers, Laboratoire MIA, UHA Illégalité d’une arête d’une partition élémentaire quelconque 1.L’ordre des sites et des faces autour de l’arête n’est pas le même que dans le diagramme topologique. Représentation géométrique initiale Représentation géométrique calculée
Mathieu Brévilliers, Laboratoire MIA, UHA Illégalité d’une arête d’une partition élémentaire quelconque 1.L’ordre des sites et des faces autour de l’arête n’est pas le même que dans le diagramme topologique. Représentation géométrique initiale Représentation géométrique calculée
Mathieu Brévilliers, Laboratoire MIA, UHA Illégalité d’une arête d’une partition élémentaire quelconque 1.L’ordre des sites et des faces autour de l’arête n’est pas le même que dans le diagramme topologique. Représentation géométrique initiale Représentation géométrique calculée
Mathieu Brévilliers, Laboratoire MIA, UHA Illégalité d’une arête d’une partition élémentaire quelconque 1.L’ordre des sites et des faces autour de l’arête n’est pas le même que dans le diagramme topologique. Représentation géométrique initiale Représentation géométrique calculée
Mathieu Brévilliers, Laboratoire MIA, UHA Illégalité d’une arête d’une partition élémentaire quelconque 2.L’arête est un segment de droite et la zone hachurée du disque coupe le quatrième site Représentation géométrique initiale
Mathieu Brévilliers, Laboratoire MIA, UHA Illégalité d’une arête d’une partition élémentaire quelconque 2.L’arête est un segment de droite et la zone hachurée du disque coupe le quatrième site Représentation géométrique initiale Représentation géométrique calculée
Mathieu Brévilliers, Laboratoire MIA, UHA Illégalité d’une arête d’une partition élémentaire quelconque 2.L’arête est un segment de droite et la zone hachurée du disque coupe le quatrième site Représentation géométrique initiale Représentation géométrique calculée
Mathieu Brévilliers, Laboratoire MIA, UHA Illégalité d’une arête d’une partition élémentaire quelconque 2.L’arête est un segment de droite et la zone hachurée du disque coupe le quatrième site Représentation géométrique initiale Représentation géométrique calculée
Mathieu Brévilliers, Laboratoire MIA, UHA Illégalité d’une arête d’une partition élémentaire quelconque 2.L’arête est un segment de droite et la zone hachurée du disque coupe le quatrième site Représentation géométrique initiale Représentation géométrique calculée
Mathieu Brévilliers, Laboratoire MIA, UHA La partition élémentaire de Delaunay est l’unique partition élémentaire sans arête illégale Preuve Devillers et al., Checking the convexity of polytopes and the planarity of subdivisions, 1998 Algorithme qui vérifie si une partition élémentaire quelconque a la même topologie que la partition élémentaire de Delaunay, en temps O(n). Si on dispose d’un algorithme qui est censé calculer la partition élémentaire de Delaunay, cela permet de vérifier en temps linéaire que la partition élémentaire calculée est bien celle de Delaunay.
Mathieu Brévilliers, Laboratoire MIA, UHA Conclusions et perspectives Généralisation de la notion de triangulation à un ensemble de points et de segments: Partition élémentaire Partition élémentaire de Delaunay Illégalité d’une arête d’une partition élémentaire Algorithme de flip Propriété équivalente à l’équiangularité Extension aux segments non disjoints et à la dimension 3