FONCTION DE PLUSIEURS VARIABLES 4/5/2017 FONCTION DE PLUSIEURS VARIABLES Elaboré par M. NUTH Sothan Fonction de plusieurs variables

I. Notion y x Ex.1: L’aire d’un triangle de base x et de hauteur y est une fonction de deux variables. Le domaine de définition est x > 0 et y > 0. Fonction de plusieurs variables

I. Notion (suite) Ex.2: L’équation de sphère ou , (R=1) est une fonction de deux variables. x y z o Fonction de plusieurs variables

I. Notion (suite) Ex.3 : Le volume d’un parallélépipède rectangle V = xyz est une fonction de trois variables. o z y x Fonction de plusieurs variables

I. Notion (suite) Soit U=f(x, y, z) . Si z=c , alors U=f(x, y, c) est une fonction de deux variables. Si y=b et z=c , alors U=f(x, b, c) est une fonction d’une variables. Ainsi, on peut considérer la fonction U=f(x, y, z) comme une fonction d’une seule variable, de deux variables et de trois variables. L’image géométrique d’une fonction z=f(x, y) est une surface dans l’espace. Fonction de plusieurs variables

I. Notion (suite) A chaque couple (x, y) de  correspond une certaine valeur de z. A tout point N(x, y, 0) , on fait corres- pondre un point M(x, y, z) appartenant au graphe de la fonction et constitu- ant l’extrémité de la perpendiculaire NM menée au plan Oxy. Fonction de plusieurs variables

I. Notion (suite) Si le point N parcourt toutes les positions possibles couvrant la totalité de la région , le point M qui lui lié, décrira dans le cas générale une certaine surface P de l’espace qui surplombe la région . X Z Y M(x, y, z) N(x, y, 0) O P est le toit construit au-dessus de la surface . Fonction de plusieurs variables

I. Notion (suite) Définition1 : On appelle ligne de niveau d’une fonction z=f(x, y) l’ensemble des points du plan Oxy en lesquels cette fonction a une seule et même valeur. On note : f(x, y)=c. Fonction de plusieurs variables

I. Notion (suite) Ex. : Si z=1, on obtient C’est un cercle de rayon R=1. o z=3 y x z=2 z=1 Si z=2, on obtient C’est un cercle de rayon R= Fonction de plusieurs variables

I. Notion (suite) Définition2 : On appelle la surface de niveau d’une fonction U=f(x, y, z) l’ensemble des points des l’espace Oxyz en lesquels cette fonction a une seule et même valeur. On note : f(x, y, z)=c. Fonction de plusieurs variables

II. Continuité : Soit z=f(x, y). L’ensemble des valeurs (x, y) est appelé un point. Ainsi z est une fonction d’un point. Soit x un accroissement de variable x. Soit y un accroissement de variable y. Alors (1) est appelé accroissement partiel de f(x, y) par rapport à la variable x. Fonction de plusieurs variables

II. Continuité (suite) Analogiquement ( 2) est appelé accroissement partiel de f(x, y) par rapport à la variable y. Enfin ( 3) est appelé accroissement total de f(x, y). Remarque : Fonction de plusieurs variables

II. Continuité (suite) Ex. : Calculer l’accroissement de la fonction si x varie de 2 à 2,2 et y varie de 1 à 0,9. On a et et Fonction de plusieurs variables

II. Continuité (suite) Définition1 : On dit qu’une fonction f(x, y) est continue en point (x0, y0) si : 1. Elle est définie en ce point et celui-ci est un point limite du domaine d’existence de cette fonction 2. Aux accroissements infiniment petits des variables x et y correspond un accroissement infiniment petit de la fonction f(x, y) : Fonction de plusieurs variables

II. Continuité (suite) Définition2 : On dit qu’une fonction f(x, y) est continue sur un domaine donné si elle est continue en tout point de ce domaine: Fonction de plusieurs variables

II. Continuité (suite) Ex. : Le domaine de définition: De (5) on obtient: où  est un infiniment petit quant x0 et y0 . On peut dire que la fonction f(x, y) est continue si Fonction de plusieurs variables

III. Dérivées partielles premières: Soit z=f(x, y). On a Définition1 : est une dérivée partielle première par rapport à la variable x de f(x,y). On note : Fonction de plusieurs variables

III. Dérivées partielles premières (suite): Définition2 : est une dérivée partielle première par rapport à la variable x de f(x,y). On note : Fonction de plusieurs variables

III. Dérivées partielles premières (suite): Remarque : Si on calcule y est considérée comme constante. Si on calcule x est considérée comme constante. On peut écrire aussi: Fonction de plusieurs variables

III. Dérivées partielles premières (suite): Si y=constant , alors on obtient x qui représente la section de la surface P par un plan correspondant parallèle au plan Oxz: Analogiquement, si x=constant , alors on obtient y qui représente la section de la surface P par un plan correspondant parallèle au plan Oyz: Fonction de plusieurs variables

III. Dérivées partielles premières (suite): M(x, y, z) y X Z Y O N(x, y, 0) x Y’ X’   Fonction de plusieurs variables

IV. Différentielle totale Soit y=f(x) . On a l’accroissement y=f(x) . On peut écrire: et Soit z=f(x, y) . On a: D’après (1), on a: Fonction de plusieurs variables

IV. Différentielle totale (suite): 4/5/2017 IV. Différentielle totale (suite): où A et B sont constantes et est dite partie linéaire. Donc, il existe les dérivées partielles. En effet, si , alors: Fonction de plusieurs variables

IV. Différentielle totale (suite): On a ainsi, d’après (2): Ou Définition1 : Définition2 : De plus Où  et  sont infiniment petits si x0, y0 Fonction de plusieurs variables

IV. Différentielle totale (suite): Ex.: Calculer la différentielle de la fonction z=xy. On peut considérer z comme l’aire d’un rectangle de coté x et y. Soit x l’accroissement au côté x. Soit y l’accroissement au côté y. Donc Fonction de plusieurs variables

IV. Différentielle totale (suite): 4/5/2017 IV. Différentielle totale (suite): Th.1 : Corollaire: Une fonction donnée ne possède qu’une seule différentielle. Th.2 : La fonction z=f(x,y) est différentiable dans un domaine donné, si elle possède les dérivées partielles continues. Fonction de plusieurs variables

IV. Différentielle totale (suite): Ex.1 : On a Remarque : Soit u=f(x, y, z). Fonction de plusieurs variables

IV. Différentielle totale (suite): Ex.2 : On a Fonction de plusieurs variables

IV. Différentielle totale (suite): Si l’accroissement x et y sont suffisamment petit, alors peut être remplacée par On peut donc écrire: Fonction de plusieurs variables

IV. Différentielle totale (suite): Ex. : On considère un rectangle de côté x=6 et y=8. Quelle sera la variation de la diagonale de ce rectangle si x est augmenté de 0,05 et y est diminué de 0,1 ? La diagonale du rectangle est On a Fonction de plusieurs variables

V. Dérivation des fonctions composées: Si f=f(x, y), x=(u,v) et y= (u,v),alors les dérivées partielles de f par rapport à u et v s’expriment de la manière suivante: Fonction de plusieurs variables

VI. Dérivée d’une fonction suivante d’une direction donnée: Soit u=f(x, y) définie sur . Considérons M(x, y)   et la direction l = (cos , cos ) où  = (l, Ox) et  = (l, Oy) Lorsque M(x, y)    M’(x+∆x, y +∆y) par la direction l la fonction u=f(x, y) varie d’une quantité ∆l u= f(x+ ∆x, y+ ∆y) – f(x, y) (1) Fonction de plusieurs variables

VI. Dérivée d’une fonction suivante d’une direction donnée (suite): qui s’appelle l’accroissement de u=f(x, y) dans la direction l . Si MM’= ∆l est le déplacement du point M(x, y), d’après du triangle MPM’, on a ∆x = ∆l cos  , ∆y = ∆l cos  (2) Par suite ∆l u= f(x+ ∆x, y+ ∆y) – f(x, y) = f(x+∆l cos, y+∆l cos ) – f(x, y) Fonction de plusieurs variables

VI. Dérivée d’une fonction suivante d’une direction donnée (suite): Fonction de plusieurs variables

VI. Dérivée d’une fonction suivante d’une direction donnée (suite): Définition : La dérivée d’une fonction u=f(x, y) dans la direction donnée l est: D’après cette définition, on peut considérer Comme la dérivée de u=f(x, y) dans la direction positives de l’axe Ox. Fonction de plusieurs variables

VI. Dérivée d’une fonction suivante d’une direction donnée (suite): 4/5/2017 VI. Dérivée d’une fonction suivante d’une direction donnée (suite): Et comme la dérivée de u=f(x, y) dans la direction positives de l’axe Oy. La dérivée est la vitesse de variation de la fonction u=f(x, y) dans la direction l . Supposons que u=f(x, y) est dérivable Fonction de plusieurs variables

VI. Dérivée d’une fonction suivante d’une direction donnée (suite): Où 10 et 20 quant x0 et y0. D’après (2), on a: Quant l0 (y0 et x0), on a: Fonction de plusieurs variables

VI. Dérivée d’une fonction suivante d’une direction donnée (suite): Ex. : Calculer l’accroissement de la fonction lorsque M(1, 2) se déplace d’une distance ∆l =0,1 dans la direction l faisant un angle avec la direction positive de l’axe Ox. Quelle est la valeur de la dérivée au point M ? Fonction de plusieurs variables

VI. Dérivée d’une fonction suivante d’une direction donnée (suite): On a: tg=3/4 et 0<</4. D’où par suit: Enfin: Fonction de plusieurs variables

VI. Dérivée d’une fonction suivante d’une direction donnée (suite): Alors: Ainsi, le point M’(x1, y1) : x1 =x+x=1+0,08=1,08 y1 =y+y=2+0,06=2,06 Et l’accroissement de u : lu= (1,082 +2.1,08.2,06-2,062 )-(12 +2.1.2- 22 ) = 1,3724-1=0,3724 Fonction de plusieurs variables

VI. Dérivée d’une fonction suivante d’une direction donnée (suite): 4/5/2017 VI. Dérivée d’une fonction suivante d’une direction donnée (suite): Et Par ailleurs: Et donc: Fonction de plusieurs variables

VI. Dérivée d’une fonction suivante d’une direction donnée (suite): Remarque : La dérivée de la fonction dans la direction à pour l’expression: Fonction de plusieurs variables

VII. Gradient: Définition1 : On dit qu’un champ scalaire est définie dans un domaine  , si  M est donné un certain scalaire u = f (M) (1) Ex. : Le champ de température, c’est-à-dire la distribution de la température dans un corps échauffé, est un champ scalaire. Si M(x, y) dans un plan Oxy, donc le champ scalaire u = f (x, y), (x, y) (2) Fonction de plusieurs variables

VII. Gradient (suite): Définition2 : On dit qu’un champ vectoriel est définie dans un domaine  , si  M est associé un certain vecteur Ex. : Le champ de vitesse, à l’instant donnée, des points d’un courent de fluide … etc. sont des champs vectoriels. Pour le cas d’un champ vectoriel plan (3), on a Fonction de plusieurs variables

VII. Gradient (suite): D’où sont des coordonnées de . De façon analogue, pour le cas d’un champ vectoriel dans l’espace, on obtient Fonction de plusieurs variables

VII. Gradient (suite): Définition3 : L’ensemble des points M pour lesquels le champ scalaire (1) conserve une valeur constante f (M) = const. est appelé surface (ou ligne) de niveau du champ scalaire. Définition4 : Soit u=f(x, y) (8) un champ scalaire plan dérivable. Alors le vecteur est appelé gradient de ce champ. Fonction de plusieurs variables

VII. Gradient (suite): On peut écrire: sont vecteurs unitaires suivants Ox et Oy. De même, dans l’espace u=f(x, y, z) (8’) à pour le gradient: Ainsi, le champ scalaire engendre un champ vectoriel, appelé champ de gradients. Fonction de plusieurs variables

VII. Gradient (suite): Définition5 : On appelle dérivée du champ scalaire (8’) dans une direction donnée l l’expression: sont les cosinus directeurs du vecteur l . Fonction de plusieurs variables

VII. Gradient (suite): Th. : La dérivée d’un champ scalaire dans une direction donnée est égale à projection du gradient de ce champ sur cette direction: Fonction de plusieurs variables

VII. Gradient (suite): Fonction de plusieurs variables

VII. Gradient (suite): Démonstration : Désignons le vecteur unitaire de la direction l par : D’après (10), on a: Fonction de plusieurs variables

VII. Gradient (suite): Corollaire : Le gradient d’un champ scalaire en un point donné est égal en grandeur et en direction à la vitesse maximale de variation du champ en ce point. En effet, d’après (11), on a: Et de plus cos=1. Donc la direction doit coïncider avec la direction de Fonction de plusieurs variables

VII. Gradient (suite): Alors: Remarque : Le gradient du champ ne dépend pas du choix d’un système de coordonnées rectangulaires Oxyz. Fonction de plusieurs variables

VII. Gradient (suite): Ex.: Déterminer la grandeur et la direction du gradient du champ, au point M0 (2,1,0), On a: Fonction de plusieurs variables

VII. Gradient (suite): Par suite: Donc: Fonction de plusieurs variables

VII. Gradient (suite): On a: Définition1 : Le point M0 en lequel est appelé point singulier . Dans le cas contraire, M est dit non singulier. Th.2 : En tout point non singulier d’un champ salaire plan le gradient du champ est dirigé suivant la normale de la ligne de niveau passant par ce point, dans le sens de croissance du champ. Fonction de plusieurs variables

VIII. Dérivée partielle successive: Soit: z=f(x, y) . Ses dérivées: Sont fonctions de x et y . Des dérivées du second ordre: Fonction de plusieurs variables

VIII. Dérivée partielle successive (suite): En continuant, on peut calculer les dérivées partielles du troisième ou plusieurs ordre. Ex. : On a: Alors: Fonction de plusieurs variables

IX. Condition nécessaire de différentielle totale: Si u=f(x, y) est différentiable, alors sa différentielle totale est de la forme: On a: Fonction de plusieurs variables

IX. Condition nécessaire de différentielle totale: A l’inverse, soit: Dans quelle condition pour que (3) soit différentielle totale ? Th. : Pour que l’expression (3) soit différentielle totale dans G d’une fonction u=f(x, y), il faut que dans G soit: Fonction de plusieurs variables

IX. Condition nécessaire de différentielle totale (suite): Démonstration : Supposons que la différentielle total de u=f(x, y) est: On a: Fonction de plusieurs variables

IX. Condition nécessaire de différentielle totale (suite): Corollaire : Si la condition (4) n’est pas réalisée, l’expression (3) n’est pas dans le domaine G une différentielle totale d’une fonction. Ex. : L’expression: Sont-elles les différentielles totales de certaines fonctions. Fonction de plusieurs variables

X. Maximum et minimum d’une fonction de deux variables: Définition1 : On appelle maximum (strict) d’une fonction f(x, y) une telle valeur f(x1, y1) tel que: f(x1, y1) > f(x, y) , ( f(x, y) ) , prise aux points de voisinage de ( x1, y1 ) . Définition2 : On appelle minimum (strict) d’une fonction f(x, y) une telle valeur f(x2, y2) tel que: f(x2, y2) < f(x, y) , ( f(x, y) ) , prise aux points de voisinage de ( x2, y2 ) . Fonction de plusieurs variables

X. Maximum et minimum d’une fonction de deux variables (suite): Th.1 (CN) : La fonction dérivable f(x, y) admet un extrémum en point M0 (x0 , y0) , si ou il n’existe pas. Remarque : 1. Le point M0 (x0 , y0) où ou il n’existe pas s’appelle point critique de cette fonction. 2. Th.1 n’est que la condition nécessaire. Fonction de plusieurs variables

X. Maximum et minimum d’une fonction de deux variables (suite): Th.2 (CS) : Soient : 1. Si >0  extrémum et si A<0 (ou C<0)  max si A>0 (ou C>0)  min 2. Si <0  il n’existe pas extrémum 3. Si =0  on ne peut pas dire. Fonction de plusieurs variables

Exemples: Ex.1 : Soit: Trouver l’extrémum ? On a: M1 (1,2), M2 (2,1), M3 (-1,-2), M4 (-2,-1) Fonction de plusieurs variables

4/5/2017 Exemples (suite): On a: M1 (1,2) : A=6, B=12, C=6, <0 n’existe pas l’extrémum. M2 (2,1): A=12, B=6, C=12, >0  Zmin=-28 M3 (-1,-2) : A=-6, B=-12, C=-6, <0  n’existe pas l’extrémum. M4 (-2,-1): A=-12, B=-6, C=-12, >0 Zmax=28 Fonction de plusieurs variables

XI. Extrémums avec contrainte: Soit z=f(x, y) définie sur D. On cherche un extremum de z=f(x, y) sur la surface donnée, c.à.d. qu’on cherche un extremum liée par une contrainte de la forme Φ(x, y) = 0. En point M(a, b) on aura : f(a, b)=K où K est constant. Φ(a, b) = 0. La relation de proportionnalité entre dérivées partielles de f(x, y) et de Φ(x, y) : Fonction de plusieurs variables

XI. Extrémums avec contrainte (suite): , où 𝜆 est const. c.à.d. 𝜆 est appelé le multiplicateur de Lagrange. Fonction de plusieurs variables

XI. Extrémums avec contrainte (suite): Les relation (1), (2) et Φ(x, y)=0 permettent alors de déterminer a, b et 𝜆 . En posant : la recherche des extrémums avec contrainte Φ(x, y)=0 revient à chercher les extrémums libres de la fonction F(x, y). Fonction de plusieurs variables

4/5/2017 Exemples: Ex.2: Déterminer les extrémums de la fonction définie par f(x, y) = xy qui se trouve sur le cercle de centre O et de rayon 1. Posons où Les points critiques de F(x, y) sont données par le système : Fonction de plusieurs variables

4/5/2017 Exemples (suite): Et en plus : On trouve : f(A1)= f(A2)=1/2 ⇒ A1 et A2 sont max de f . f(A3)= f(A4)= -1/2 ⇒ A3 et A4 sont min de f . Fonction de plusieurs variables

XII. Surface quadratique: 4/5/2017 XII. Surface quadratique: 1. Ellipsoïde: x y z o Fonction de plusieurs variables

XII. Surface quadratique (suite): 4/5/2017 XII. Surface quadratique (suite): x y z 2. Paraboloïde elliptique: Fonction de plusieurs variables

XII. Surface quadratique (suite): 4/5/2017 XII. Surface quadratique (suite): 3. Cône elliptique: y x z Fonction de plusieurs variables

XII. Surface quadratique (suite): 4/5/2017 XII. Surface quadratique (suite): 4. Hyperboloïde à une nappe: z x y Fonction de plusieurs variables

XII. Surface quadratique (suite): y z 4/5/2017 XII. Surface quadratique (suite): 5. Hyperboloïde à deux nappes: Fonction de plusieurs variables

XII. Surface quadratique (suite): 4/5/2017 XII. Surface quadratique (suite): 6. Paraboloïde hyperbolique: y z x Fonction de plusieurs variables

XII. Surface quadratique (suite): 4/5/2017 XII. Surface quadratique (suite): 7. Cylindre elliptique: y z x Fonction de plusieurs variables