ASI 3 Méthodes numériques pour l’ingénieur Calcul des valeurs propres

Illustration : un système mécanique à deux degrés de liberté f(t) k1 k2 x1(t) x2(t) Seconde loi de Newton Écriture matricielle

Fréquences de résonance Le comportement des deux ressorts est découplé - si l’on admet que les deux valeurs propres sont positives, il existe deux pulsations propres caractérisant le système

Résonances (T. Von Karman, the wind and beyond,1963) 1831, près de Manchester, des miltaires passent un pont au pas les avions qui vibrent et s’écrasent immeubles et tremblements de terre Ariane : moteur et structure pont de Tacoma 1,6 km, pointe de la technologie 7 novembre 1940 : vents de 67 km/h, il se désagrège

Amplitude de la réponse d ’un système oscillant % schatzman p 133 a = 0:0.01:2.5; omega =1; e = .1; k = 1./sqrt((omega^2-a.^2).^2+e^2*a.^2); figure(1) subplot(2,1,1) h = plot(a,k) set(h,'LineWidth',3)xlabel('fréquence excitatrice \alpha') ylabel('Module de l''amplitude de la réponse')

Définition illustration li est une valeur propre de A, vi est un vecteur propre de A. Direction propre

Cercles de Gerschogrin Théorème (cercle de Gerschogorin): Soit A une matrice carrée, soit R le cercle du plan complexe : Alors toutes les valeurs propres de A sont dans un des cercles R

Démonstration Toute valeur propre appartient à un cercle, donc à l’intersection de tous les cercles

Supposons que l’on connaisse une valeur propre Idée : approximation successives sur la valeur propre Méthode de la séquence.

intuition Hypothèse la matrice A admet n vecteurs propres vi linéairement indépendants

intuition Hypothèse la matrice A admet n vecteurs propres vi linéairement indépendants

Puissance itérée Théorème : Si A est une matrice carrée, non singulière (régulière)

Comment calculer la plus petite valeur propre ? Exemple de question à l’examen

Comment calculer la plus petite valeur propre ? Exemple de question à l’examen

Comment calculer la plus petite valeur propre ? Exemple de question à l’examen Et si on remplace A par B=A-aI ou a est un réel ?

Calcul de toutes les valeurs propres : la méthode de déflation ? Cas simple : A est symétrique Cas général : A est quelconque, la méthode de Duncan et Collard

Propriétés des valeurs propres Définition : deux matrices A et B sont similaires s’il existe une matrice Q non singulière telle que : Théorème : Si A et B sont des matrices similaires et l est une valeur propre de A associée au vecteur propre x (non nul), Alors l est aussi une valeur propre de B avec le vecteur Qx Démonstration Théorème (Shur) : Soit A une matrice carrée, Alors il existe une matrice U non singulière telle que : avec T une matrice triangulaire supérieure dont la diagonale est composée des valeurs propres de A. Démonstration : voir Théodore et Lascaux

Matrices équivalentes Théorème : Soit A une matrice carrée symétrique, Alors il existe une matrice Q orthogonale telle que : avec D une matrice diagonale composée des valeurs propres de A; et Q composée des vecteurs propres de A qui sont orthogonaux. Démonstration :

Principe de la méthode QR les valeurs propres d’une matrice triangulaire sont sur sa diagonale il existe un transformation orthogonale telle que T=Q’AQ alors T et A sont équivalentes (elles ont les même valeurs propres) et T est une matrice triangulaire Comment construire Q ?

La méthode QR Il est si facile le résoudre un système « triangulaire » ! Q « facilement »  inversible et R triangulaire Définition : on appelle matrice de Householder du vecteur normé u une matrice H de la forme suivante Propriété : une matrice de Householder est symétrique et orthogonale HTH=I Les transformations orthogonales « conservent » la norme

QR et valeurs propres initialisation Théorème : si A est une matrice inversible, de valeurs propres réelles différentes la suite converge vers une matrice triangulaire supérieure dont la diagonale est constituée des valeurs propres de A Démonstration :toutes les matrices de la suite ont les mêmes vp Une fois qu’on a les valeurs propres, les vecteurs propres se trouvent facilement.

Méthode de Householder 1. On utilise l’algorithme de Householder pour construire une matrice T tris diagonale ayant les mêmes valeur propres que A 2. On pose T(0) = T On décompose T(0) = QR et on construit T(1) = RQ et on itère : (Q,R) = decomposeQR(T(k)) T(k+1) = R*Q Alors la suite diag(T(k)) converge vers les valeurs propres de A. Burben pp 565

Matrices semblables (qui ont les mêmes valeurs propres)

SVD : décomposition en valeurs singulières = Matlab : deux programmes équivalents : svd(A).^2 eig(A'*A)

Conclusion on connaît le vecteur propre : calculer la valeur propre on connaît la valeur propre : calculer le vecteur propre calculer un vecteur et la valeur propre associé la plus grande : puissance itérée la plus petite : puissance inverse la plus proche de k : puissance modifiée calculer toutes les valeurs propres d’un coup A est symétrique : méthode de Jacobi cas général : méthode QR