158- Smith II.8. L’abaque de Smith Outil de calcul graphique permettant la représentation des grandeurs complexes vues sur une ligne de transmission

II.8. L’abaque de Smith II.8.a. Rappels Im T j 1 Re O T’ Impédance réduite 1 Re O T’

II.8. L’abaque de Smith Im Tout est concentré sur 1 1 Re O Im Onde progressive OP O Im Cercle maximum Onde stationnaire OS 1 Re O Onde pseudo stationnaire OPS Valeurs intermédiaires

161- Smith II.8. L’abaque de Smith Impédance réduite :

II.8.b. Construction en impédance 162- Smith II.8. L’abaque de Smith II.8.b. Construction en impédance Sans pertes : Représentation possible en polaire du coefficient de réflexion en un point de la ligne

Représentation polaire 163- Smith II.8. L’abaque de Smith M x O Représentation polaire

Représentation cartésienne 164- Smith II.8. L’abaque de Smith Im M q Re O p Représentation cartésienne

On pose l’impédance réduite sous la forme : 165- Smith II.8. L’abaque de Smith Im O M Re q p On pose l’impédance réduite sous la forme :

II.8. L’abaque de Smith On arrive à : Cercles de centre (r/(1+r),0) et de rayon 1/(1+r) Cercle r=0 correspond à une impédance purement imaginaire Cercle r=1 correspond à Zx=Zc Cercle r=infini correspond au point de partie réelle 1

II.8. L’abaque de Smith 1 0,6 2 0,3 Valeur de u 5 0,2 0,5 1 2 Axe p=1 0,6 2 0,3 Valeur de u 5 Axe des réels 0,2 0,5 1 2 Valeur de r - 5 - 0,3 - 2 - 0,6 - 1

II.8.c. Utilisation de l’abaque Si on connaît l’impédance 168- Smith II.8. L’abaque de Smith II.8.c. Utilisation de l’abaque Si on connaît l’impédance 1 0,6 2 Calcul de l’impédance réduite 0,3 5 Exemple : zx=0.5-j0.6 0,2 0,5 1 2 zx - 5 - 0,3 - 2 - 0,6 - 1

Déduction du coefficient de réflexion 169- Smith II.8. L’abaque de Smith Déduction du coefficient de réflexion 1 0,6 2 0,3 5 0,2 0,5 1 2 zx - 5 - 0,3 - 2 - 0,6 - 1

II.8. L’abaque de Smith On trouve alors : Rx = 0.48 e-j108° On peut vérifier : Rx = -0.15 - j.0.46

Si la ligne est à pertes négligeables 171- Smith II.8. L’abaque de Smith Si la ligne est à pertes négligeables Les impédances réduites le long de la ligne décrivent un cercle de rayon |Ro|

172- Smith II.8. L’abaque de Smith Le déplacement autour de l’abaque est gradué en fraction de longueur d’onde Tour complet : l/2 Demi-tour : l/4

II.8.d. Exemple d’exploitation de l’abaque 173- Smith II.8. L’abaque de Smith II.8.d. Exemple d’exploitation de l’abaque Zi R Zr Zc=50 W ei Ligne 50 W fermée sur une impédance Zr=25 +j75 W

Calcul de l ’impédance réduite (normalisation par rapport à Zc) : 174- Smith II.8. L’abaque de Smith Calcul de l ’impédance réduite (normalisation par rapport à Zc) : r=0.5 zr=25/50+j.75/50 zr=0.5+1.5j u=1.5

175- Smith II.8. L’abaque de Smith Détermination directe du coefficient de réflexion au niveau de la charge : Lecture de y r=0.5 R=0.75 ej64° u=1.5 Lecture de |Ro|

II.8. L’abaque de Smith Zr Zi Rx1 Zc=50 W ei Zx1 l/4 On va maintenant chercher à déterminer le coefficient de réflexion et l ’impédance ramenée en un point à l/4 de la charge

177- Smith II.8. L’abaque de Smith Pour déterminer le nouveau point sur l’abaque, on part du point de la charge, et on parcourt 0.25l vers le générateur (revient ici à prendre l’opposé par rapport au centre) Impédance de la charge

178- Smith II.8. L’abaque de Smith On trouve alors directement le nouveau coefficient de réflexion : Rx1=0.75 e-j116° De même on trouve la nouvelle impédance réduite : zx1 = 0.2 - 0.6j D’où une impédance ramenée: Zx1 = 10 - 30j

II.8. L’abaque de Smith Zr 0.1l Zi Rx2 Zc=50 W ei Zx2 l/4 Si maintenant on cherche à déterminer le coefficient de réflexion et l ’impédance ramenée d’un point en revenant de 0.1l vers la charge

Déplacement de 0.1 l vers la charge Impédance à l/4 de la charge 180- Smith II.8. L’abaque de Smith Point précédent à 0.088l vers la charge déplacement jusqu’au point à 0.188l vers la charge Impédance de la charge Déplacement de 0.1 l vers la charge Impédance à l/4 de la charge Rq : on est toujours sur un cercle de rayon |Ro|

181- Smith II.8. L’abaque de Smith On trouve alors directement le nouveau coefficient de réflexion : Rx2=0.75 e-j45° De même on trouve la nouvelle impédance réduite : zx2 = 0.9 - 2.1j D’où une impédance ramenée: Zx2 = 45 - 105j

II.8. L’abaque de Smith II.8.e. Autres grandeurs On va détailler les autres données que l’on peut extraire de la représentation sur l’abaque

Représentation des tensions et courants : 183- Smith II.8. L’abaque de Smith Représentation des tensions et courants : Zi R Zr Zc=50 W ei Tension :

On parcourt alors la ligne en décrivant le cercle à |R|=cste 184- Smith II.8. L’abaque de Smith Si on connaît l’impédance de la charge, on place son point sur l’abaque Impédance de la charge On parcourt alors la ligne en décrivant le cercle à |R|=cste

185- Smith II.8. L’abaque de Smith On peut suivre alors le long de la ligne l’évolution de passant par des valeurs min et max Impédance de la charge min max 1+|R| 1-|R|

II.8. L’abaque de Smith Détermination du courant Impédance de la charge On connaît l’impédance de la charge, on place son point sur l’abaque et on prend le point diamétralement opposé On parcourt alors la ligne en décrivant le cercle à |R|=cste

187- Smith II.8. L’abaque de Smith On peut suivre alors le long de la ligne l’évolution de passant par des valeurs min et max Impédance de la charge 1+|R| 1-|R| v et i toujours en quadrature

II.8. L’abaque de Smith Représentation des admittances : Si on veut travailler en admittance et non plus en impédance admittance normalisée On a alors

yx est le symétrique de zx par rapport au centre de l ’abaque 189- Smith II.8. L’abaque de Smith Si on compare : Ajout de p à y yx est le symétrique de zx par rapport au centre de l ’abaque

Admittance de la charge 190- Smith II.8. L’abaque de Smith Impédance de la charge Admittance de la charge

Le rapport d’ondes stationnaires ou VSWR ou SWR 191- Smith II.8. L’abaque de Smith Autres grandeurs : R.O.S. : Le rapport d’ondes stationnaires ou VSWR ou SWR Erreur de traduction sur l’abaque en français correspondant à un abus de langage désignant par T.O.S. (taux d’ondes stationnaires) ce qui est en réalité le R.O.S. À l’origine, TOS=100Vr/Vi

Coefficient de réflexion en dB : Return loss 192- Smith II.8. L’abaque de Smith ROS dB=20 log ROS Coefficient de réflexion en dB : Return loss valeur négative correspondant au rapport entre la puissance envoyée sur une charge et la puissance réfléchie ROS

II.8. L’abaque de Smith Pertes d’adaptation en dB : Reflected loss valeur négative correspondant au rapport entre la puissance arrivant au niveau de la charge et la puissance transmise Coefficient de réflexion en puissance : Atténuation en dB :

II.8. L’abaque de Smith A avoir en tête, les ordres de grandeurs : 1 ROS |R| Return loss (dB) Puissance transmise (%) Puissance réfléchie (%) 1 - infini 100 1.5 0.2 -14 96 4 2 0.33 -10 90 10 3 0.5 -6 75 25