Mécanique des structures Chapitre 5 Mécanique des structures En arrière-plan: tour Eiffel, 1889.

Équilibre d’un arc en pierre (2) En fait, la maîtrise de la fabrication de l’acier est un fait historiquement relativement récent (milieu du XIXème siècle). Pour ce qui concerne le bois, il n’est pas toujours disponible, surtout dans des dimensions appropriées (les troncs des arbres de grande longueur sont rares et chers). En plus, le moment fléchissant est la caractéristique de la sollicitation qui provoque les plus fortes contraintes dans le matériau : il est relativement facile atteindre les limites de la résistance à la rupture pour une poutre en bois. Donc, anciennement il ne restait plus que la pierre et les briques en argile comme matériau de construction. Mais ces deux matériaux ont une résistance à la traction faible, non fiable et en plus à la surface de contact entre deux pierres la résistance à la traction est rigoureusement nulle. Le problème qui s’est présenté aux anciens a donc été celui de couvrir des portées importantes (> 34m) avec la pierre ou les briques.

Équilibre d’un arc en pierre (3) Les égyptiens et les grecs n’avaient pas trouvé la solution à ce problème, ce qui conditionna fortement leur architecture: les temples égyptiens ou grecs ont des colonnes placées à des distances faibles, car les poutres sont en pierre. Ayant une résistance à la traction petite, pour éviter leur rupture il faut un faible moment fléchissant et donc des portées limitées (M augmente avec le carré de la portée ! ). Ceci n’évitait pas quelques problèmes ! En figure: Parthénon (Vème siècle av. J. C.) et Temple de Karnak à Louxor (salle hypostyle, 1375 av. J. C.).. Poutre fissurée par rupture en traction.

Équilibre d’un arc en pierre (4) La solution fut trouvée par les étrusques: c’est l’arc ! L’arc est un dispositif capable de transformer une flexion en effort normal de compression. La pierre et les briques étant des matériaux bien résistant à la compression, on peut avec l’arc couvrir des portées plus importantes qu’avec une poutre en pierre ou même en bois, et surtout on peut supporter des charges beaucoup plus fortes. En plus, c’est une solution architecturale plutôt économique: elle peut utiliser des pierres de petite taille, ou des briques, beaucoup plus à bon marché (parce que moins rares et de coût de production moins grand) que les pierres taillées, ou même des troncs d’arbre, de grandes dimensions (qui en plus ont un coût de transport important). En figure: Porta all’Arco, Volterra (Vème siècle av. J. C.)

Équilibre d’un arc en pierre (5) Mais comment et à quel prix un arc transforme une situation de flexion en une situation de compression? A savoir, quel est son principe de fonctionnement? Considérons un arc circulaire en pierre de taille; il est constitué par plusieurs blocs (claveaux ou voussoirs pour les voûtes) modelés selon la forme de l’arc et pour simplifier considérons qu’il n’y a pas de frottement entre un bloc et l’autre. Alors la force de contact entre deux blocs de l’arc est une force orthogonale à la surface de contact. Si cette surface de contact est orthogonale à l’arc, les forces de contact entre les blocs suivent la ligne moyenne de l’arc. Or, en général, la force de contact difficilement sera appliquée en correspondance de la ligne moyenne, elle aura une certaine excentricité, mais si celle-ci est inférieure à b/6, où b est l’épaisseur de l’arc, la section n’est pas partialisée.

Équilibre d’un arc en pierre (6) Voyons donc tout ça sur une figure et pour simplifier encore, considérons que les forces extérieures appliquées à chaque bloc se réduisent à une seule force verticale. En commençant du bloc central, la clef de voûte, on décompose la force en deux forces orthogonales aux surfaces de contact du bloc: ce sont les forces que la clef transmet au reste de l’arc. Ensuite, on passe aux deux blocs à côté de la clef et on trouve la force de contact sur le bloc suivant comme résultante de la force précédente et de la force directement appliquée au bloc. En procédant ainsi, on trouve toutes les forces de contact entre les blocs. L’arc constitue donc une espèce de guidage de la force à travers une ligne donnée. Clef de voûte Sommier Voussoir

Équilibre d’un arc en pierre (7) Or, cette déviation de la force à travers la ligne de l’arc se fait au prix d’une force horizontale, la poussée de l’arc, qui se retrouve en bas. La présence de cette force se comprends facilement si on ne regard qu’une moitié de l’arc: la composante horizontale de la force de contact transmise par la clef de voûte doit être équilibrée en bas de l’arc par une force égale et contraire. Donc l’arc est une structure avec poussée horizontale. Cette force horizontale doit être équilibrée à la base de l’arc par une autre force. Une façon simple d’annuler cette force est celle d’utiliser un tirant qui lie les deux extrémités de l’arc. Mais ce n’est pas la seule façon d’annuler la poussée…

Équilibre d’un arc en pierre (8) En fait, cette poussée s’équilibre automatiquement s’il y a d’autres arcs identiques à côté; dans ce cas, il faut mettre un tirant seulement aux arcs qui se trouvent aux extrémités. Une autre façon est celle d’épauler l’arc par des contreforts, de sorte à ce que la résultante des forces tombe à l’intérieur de la base du contrefort.

Équilibre d’un arc en pierre (9) La poussée horizontale dépend de la géométrie de l’arc et des forces appliquées. En particulier, la poussée horizontale diminue avec la hauteur de l’arc : à parité de portée, les arcs plus hauts poussent moins des arcs bas. L’équilibre de la poussée horizontale est fondamental : un écartement des extrémités de l’arc dû à la poussée fait inexorablement écrouler l’arc. En fait, dans ce cas la clef de voûte, qui est l’élément qui garantit l’équilibre de l’arc. Si elle se déplace, l’arc se désagrège et s’effondre.

Équilibre d’un arc en pierre (10) Un problème important est la conception de l’arc : il faut faire en sorte que les forces de contact entre les blocs passent à l’intérieur de la section de contact, ou mieux encore dans le tiers central, pour garantir l’équilibre. Beaucoup de méthodes ont été proposées dans le temps par différents auteurs (Coulomb, Bossut, Mascheroni etc.). Une règle grossière, déjà introduite par Leonardo da Vinci c’est que la corde des demi arcs extérieurs ne doit pas toucher l’arc intérieur. Leonardo avait étudié de façon empirique l’arc, qui avait défini comme: Arco non è altro che una fortezza causata da due debolezze (arc ce n’est qu’une force causée par deux faiblesses). Les deux faiblesses de Leonardo ce sont les deux demi arcs, qui seulement ensemble sont capables de garantir l’équilibre et cela par leur mutuelle opposition.

Le béton armé et le béton précontraint (1) A part l’arc, il y a une autre façon d’utiliser en flexion un matériaux non résistant à la traction : c’est le béton armé. Le béton est une pierre artificielle, constituée de ciment, eau, sable et gravier. Les avantages du béton sont multiples : c’est un matériau bon marché, de réalisation facile, de bonne limite à la rupture, résistant bien au feu et qui protège l’acier contre la corrosion. De plus, le béton est préparé en phase fluide et peut être coulé dans des coffrages auxquels on peut donner les formes les plus variées, ce qui permet des prouesses architecturales impossibles avec les autres matériaux. En figure: Sidney Opera House (1973) et Chiesa di San Giovanni Battista (Firenze, 1964).

Le béton armé et le béton précontraint (2) Le seul problème du béton est que sa résistance à la traction est pratiquement nulle. La solution, inventée en France à la fin du XIX éme siècle, est le béton armé : il s’agit d’insérer dans la coulée des barres d’acier là où la flexion de la poutre va produire des tractions. Une fois que le béton a fait prise, béton et acier forment un tout unique. Ainsi, le béton prend en charge les contraintes de compression et l’acier celles de traction. zone en compression p s dans le béton force dans les barres barres d’acier M(z)

Le béton armé et le béton précontraint (3) Une autre idée pour utiliser le béton comme matériau de construction est le béton précontraint. Si le béton ne peut pas supporter les contraintes de traction engendrées par la flexion, on « précomprime » le béton, de sorte à ce que la superposition de flexion et « précompression » permette d’annuler les tractions sur la section. Cette « précompression » s’obtient en tirant avec des vérins hydrauliques des câbles d’acier à haute résistance qui passent dans des tubes noyés dans le béton. Une fois les câbles tirés, ils sont ancrés à la poutre, ce qui permet de transférer au béton la traction de l’acier sous forme de compression. p + - - - N + = Câbles de précontrainte M(z)

Le béton armé et le béton précontraint (4) L’avantage du béton armé précontraint par rapport au béton armé normal est qu’il permet de couvrir de plus grandes portées (> 100 m) et de supporter de plus fortes charges. Il est ainsi utilisé essentiellement dans la construction de ponts, viaducs, couvertures de grande portée (stades, gares, palais du sport, etc.). En figure: Pont de Maracaibo (R. Morandi, 1962).

Chapitre 5 5. Bibliographie En librairie… …et sur Internet En arrière-plan: page du Codice Atlantico de Leonrdo da Vinci avec l’étude de la stabilité des colonnes.

En librairie… J. E. Gordon: Structures, or why things don’t fall down. 1978. (livre indispensable pour s’amuser à apprendre la mécanique des structures, plein d’anecdotes et d’humour anglais; probablement il existe une traduction française). E. Benvenuto: La scienza delle costruzioni e il suo sviluppo storico. Sansoni, 1981 (en italien). S. P. Timoshenko: Résistance des matériaux, vol 1 et 2. 1968. E. Benvenuto: Introduction to the history of structural mechanics. Springer, 1991. J. E. Gordon: Structures et matériaux : l'explication mécanique des formes. Ed. Belin, 1996.