Elaboré par M. NUTH Sothan Série numérique Elaboré par M. NUTH Sothan

I. Définition Soit la suite a1 , a2 , a3 , ... ,an , .... On note {an }. L’expression : a1 + a2 + a3 + ... + an + ....= (1) s’appelle série numérique, où a1 , a2 , a3 , ... ,an , .... sont des termes de série et est an un terme général. Les sommes : S1 = a1 , S2 = a1 + a2 , Sn = a1 + a2 + a3 + ... + an . s’appellent sommes partielles d’une série (1).

I. Définition... Déf. : La série (1) est dite convergente si où S est la somme de série (1). R. : Si {Sn} est une suite convergente, alors la série (1) est dite convergente. Ex.1 : Montrer que la série est convergente. Ex.2 : Etudier la convergence la série : Ex.3 : Etudier la convergence la série :

II. Propriété de la convergence Th.1 : est convergente, ssi est convergente. Th.2 : Si est convergente et sa somme est égale à , alors est aussi convergente et sa somme est égale à c .

II. Propriété de la convergence... Th.3 : Si et sont convergentes admettant les sommes S et  respectivement, alors est aussi convergente et sa somme est égale à S. Th.4 (CN) : Si est convergente, alors R.: Th4 n’est qu’une condition nécessaire. Ex.4 :

III. Série à terme non-négatif Th.5 : Pour que soit convergente, il faut et il suffit que la suite de la somme partielle {Sn} soit bornée. Th.6 (Règle de comparaison 1) : Soit et tel que 0 ≤ an ≤ bn , n  N. Alors : 1) Si est convergente, alors est aussi convergente 2) Si est divergente, alors est aussi divergente

III. Série à terme non-négatif… Th.7 (Règle de comparaison 2) : Soit et tel que an  bn , an , bn ≥ 0, n  N et Alors : et sont conv. ou div. simultanément. Ex.5 : a) b)

III. Série à terme non-négatif… Th.8 (Règle de D’Alambert) : Soit , an ≥ 0, n  N et , alors : Si  < 1, est convergente Si  > 1 est divergentes. R.: On ne peut pas dire si  = 1.

III. Série à terme non-négatif… Ex.6 : a) b) c) d) f) g) h) i) j)

III. Série à terme non-négatif… Th.9 (Règle de Cauchy) : Soit , an ≥ 0, n  N et , alors : Si  < 1, est convergente Si  > 1 est divergentes. R.: On ne peut pas dire si  = 1.

III. Série à terme non-négatif… Ex.7 : a) b) c)

III. Série à terme non-négatif… Th.10 (Règle d’intégrale) : Soit , où f (n) est une valeur de f(x) positive et décroissante sur [1, +[. Alors : Si est conv.  est aussi conv. Si est div.  est aussi div.

III. Série à terme non-négatif… Ex.8 : a) b) c)

IV. Série alternée La série , où an > 0 (1) est une série alternée. Th.1 (Règle de Leibniz) : Si les valeurs absolues des termes de (1) sont monotones décroissantes : a1 > a2 > a3 > …. > an > ….. et , alors (1) est conv.

IV. Série alternée… Considérons : , (1) où an peut être positif ou négatif. Et , (2) Th.2: Si (2) est conv. , alors (1) est conv. absolument. Ex.8 : a) b)

IV. Série alternée… Th.3 (Règle de Raabe): La série (1) est conv. si L > 1. Th.4 (Règle de Gauss): Où pour n > N.

IV. Série de puissante Une série : a1 x + a2 x2 + a3 x3 + …. + an xn + …= (1) où an est un coefficient et x est une variable, s’appelle série de puissante. On peut poser Sn(x) = a1 x + a2 x2 + a3 x3 + …. + an xn et S(x) = L’ensemble de valeur x où la série (1) est convergente s’appelle domaine de convergence.

IV. Série de puissante… Considérons : f(x) = a0 + a1 x + a2 x2 + a3 x3 + …. + an xn +…. (2) Où le domaine de convergence est de (R, R). Alors, on dit que f(x) se développe en série de puissante sur (R, R). Th.3 : Si f(x) se développe en série de puissante (2) sur (R, R), alors elle est différentiable sur cet intervalle et f’(x) = a1 + 2a2 x + 3a3 x2 + 4a4 x3 + …. + nan xn-1 +….

Institut de Technologie du Cambodge IV. Série de puissante… Th.4 : Si f(x) se développe en série de puissante (2) sur (R, R), alors elle est intégrable sur cet intervalle et Série

IV. Série de puissante… Th.4 : Si f(x) se développe en série de puissante (2) sur (R, R), alors cet développement est unique et Alors, (2) devient : La série (3) s’appelle série Maclaurin.

IV. Série de puissante… En général : Où La série (4) s’appelle série de Taylor.

IV. Série de puissante… Th.5 : Pour que la série Maclaurin (5) soit convergente sur (R, R) et possède la somme égale à f(x), il faut et il suffit que Où Ex.1 : a) f(x)= ex b) f(x)=sin x c) f(x)=cos x d)