Page 1 This document is the property of the EUCLID 3MAV Consortium ; no part of it shall be reproduced or transmitted without the express prior written authorisation of its members, and its contents shall not be disclosed. CNFRS 25/02/2005 Utilisation de la méthode multipôle rapide pour les calculs de SER d’objets de grande taille Guillaume SYLVAND EADS CCR – DCR/EX/HP - Toulouse

Page 2 This document is the property of the EUCLID 3MAV Consortium ; no part of it shall be reproduced or transmitted without the express prior written authorisation of its members, and its contents shall not be disclosed. CNFRS 25/02/2005 Problème électromagnétique Equations de Maxwell dans le domaine fréquentiel Equations intégrales discrétisées par des éléments finis de frontière. Applications : compatibilité électromagnétique, conception d’antenne, furtivite, etc.

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Page 4 This document is the property of the EUCLID 3MAV Consortium ; no part of it shall be reproduced or transmitted without the express prior written authorisation of its members, and its contents shall not be disclosed. CNFRS 25/02/2005 Méthode d’éléments finis Maillage de frontière en triangles Eléments finis de Raviart-Thomas (les inconnues sont portées par les arêtes) Système linéaire a résoudre : complexe, symétrique, plein. Les méthodes directes sont trop coûteuses lorsque le nombre d’inconnues n croît : O(n 3 ) operations. Solution : Utiliser un solveur itératif en conjonction avec un produit matrice-vecteur rapide

Page 5 This document is the property of the EUCLID 3MAV Consortium ; no part of it shall be reproduced or transmitted without the express prior written authorisation of its members, and its contents shall not be disclosed. CNFRS 25/02/2005 La méthode FMM La méthode multipôle rapide (Rokhlin et Greengard, 1985). En France : thèse de Darve (98). Une nouvelle manière de calculer des produits matrice-vecteur de manière rapide mais approchée. Ne s’utilise qu’en conjonction avec un solveur itératif (GMRES, QMR). Rapide : le temps CPU croît comme n.log(n) au lieu de n 2 pour un produit matrice-vecteur classique. Devient rentable a partir de quelques milliers d’inconnues. Approché : la FMM introduit un écart relatif de l’ordre de par rapport à un produit matrice-vecteur exact.

Page 6 This document is the property of the EUCLID 3MAV Consortium ; no part of it shall be reproduced or transmitted without the express prior written authorisation of its members, and its contents shall not be disclosed. CNFRS 25/02/2005 Décomposition du noyau de Green

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Page 8 This document is the property of the EUCLID 3MAV Consortium ; no part of it shall be reproduced or transmitted without the express prior written authorisation of its members, and its contents shall not be disclosed. CNFRS 25/02/2005 La méthode mono-niveau Basée sur un découpage 3D de l’objet Interactions entre boîtes voisines : traitées classiquement Entre boîtes non-voisines : avec la décomposition de du noyau de Green FMM 1 niveau : O(n 3/2 )

Page 9 This document is the property of the EUCLID 3MAV Consortium ; no part of it shall be reproduced or transmitted without the express prior written authorisation of its members, and its contents shall not be disclosed. CNFRS 25/02/2005 La méthode multi-niveau Approche “divide and conquer” à la quicksort ou FFT pour obtenir un algo en n.log(n) Base sur un découpage 3D récursif de l’objet

Page 10 This document is the property of the EUCLID 3MAV Consortium ; no part of it shall be reproduced or transmitted without the express prior written authorisation of its members, and its contents shall not be disclosed. CNFRS 25/02/2005 La méthode multi-niveau Crée une structure d’arbre (octree) avec ces différents découpages A chaque niveau, on a une FMM mono-niveau. La FMM multi-niveau = faire travailler conjointement ces différentes FMM mono-niveau pour obtenir l’algorithme le plus efficace.

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Page 12 This document is the property of the EUCLID 3MAV Consortium ; no part of it shall be reproduced or transmitted without the express prior written authorisation of its members, and its contents shall not be disclosed. CNFRS 25/02/2005 Objet 1 : Voiture C5 (Source PSA) On calcule les courants surfaciques et le champ proche générés par une antenne placée sur le toit d’une voiture de type Citroën C5. Complexité : Degrés de liberté : Sommets : Éléments : Maillage en lambda/6. Matériau : objet parfaitement conducteur placé dans le vide. L’antenne est un fil portant un générateur à 1750 MHz. Un plan de sol parfaitement conducteur est placé sous le véhicule.

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Page 15 This document is the property of the EUCLID 3MAV Consortium ; no part of it shall be reproduced or transmitted without the express prior written authorisation of its members, and its contents shall not be disclosed. CNFRS 25/02/2005 Performances Environnement matériel : 4 lames bi-Opteron 250 (2.4 GHz, 1 Mb cache), 4 Gb RAM, 70 Go Disque Code Itératif multipôle (8 processeurs) : Solveur GMRES, 100 itérations, préconditionneur SPAI, convergence à 0.01 Temps réel : 27 minutes Calcul du champ proche : 107 minutes Solveur direct sur une Origin 3800, 64 processeurs : 4 jours.

Page 16 This document is the property of the EUCLID 3MAV Consortium ; no part of it shall be reproduced or transmitted without the express prior written authorisation of its members, and its contents shall not be disclosed. CNFRS 25/02/2005 Objet 2 : Cavité cobra On calcule la SER monostatique d’une cavité représentant une entrée d’air. Complexité : Degrés de liberté : Sommets : Éléments : Maillage en lambda/8. Matériau : objet parfaitement conducteur placé dans le vide. On considère 902 seconds membres (theta=0 à 90 par pas de 0.2, polar theta et phi)

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Page 19 This document is the property of the EUCLID 3MAV Consortium ; no part of it shall be reproduced or transmitted without the express prior written authorisation of its members, and its contents shall not be disclosed. CNFRS 25/02/2005 Performances Environnement matériel : 4 PC bi-pentium 4 (2 GHz), 2 Gb RAM, 30 Go Disque Code Itératif multipôle (8 processeurs) : Solveur BlockGCR, 120 itérations, préconditionneur SPAI, convergence à Temps total : 15 heures Intérêt de ce calcul : C’est la « pire » configuration possible pour un solveur itératif FMM : Beaucoup de RHS (pas terrible pour solveur itératif) Cavité (implique beaucoup d’itérations pour converger) Et pourtant le code FMM converge sans difficulté !

Page 20 This document is the property of the EUCLID 3MAV Consortium ; no part of it shall be reproduced or transmitted without the express prior written authorisation of its members, and its contents shall not be disclosed. CNFRS 25/02/2005 Objet 3 : Coated cône sphère On calcule la SER monostatique d’un cône sphère. Complexité : Degrés de liberté : Sommets : Éléments : Maillage en lambda/10 (pour le milieu d’indice le plus élevé) Matériau : objet parfaitement conducteur + couche de diélectrique absorbant (epsilon=15+1.8i mu=1) placé dans le vide. On considère 362 seconds membres (theta=0 à 180 par pas de 1, polar theta et phi) à 3GHz

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Page 28 This document is the property of the EUCLID 3MAV Consortium ; no part of it shall be reproduced or transmitted without the express prior written authorisation of its members, and its contents shall not be disclosed. CNFRS 25/02/2005 Conclusions La FMM a été implémentée dans le logiciel ASERIS, et un effort significatif est réalisé pour amener cette solution a l’étape industrielle Les problèmes comportant des fils et des diélectriques absorbant sont traités. Des solveurs (block, flexible, GMRES) et des précondionneurs (SPAI) adaptés ont été développés. On résout des problèmes de complexité “industrielle” a plusieurs millions d’inconnues

Page 29 This document is the property of the EUCLID 3MAV Consortium ; no part of it shall be reproduced or transmitted without the express prior written authorisation of its members, and its contents shall not be disclosed. CNFRS 25/02/2005 Perspectives La FMM est une méthode puissante qui accélère une méthode reconnue (méthode des moments) Code parallélisé permettant de traiter des cas de grande taille (plusieurs millions d’éléments) sur machine parallèle et cluster de PC (mémoire distribuée) Recherche et développement continuent autour de ces méthodes Effort sur la validation et l’industrialisation de la méthode pour toutes les applications (EMC, furtivité, etc.)