Application du filtrage particulaire au recalage de navigation K. DAHIA Doctorant DGA A. PHAM DINH Directeur de thèse LMC-IMAG Grenoble Laboratoire d’accueil : ONERA Encadrants : J. P. Guibert (DPRS) et C. Musso (DTIM)

Plan de la présentation I - le Kalman-Particulaire Kernel Filter (KPKF) La borne de Cramer Rao II - Modélisation des équations d’erreurs inertielles Application au recalage altimétrique Résultats Conclusion

Partie I Le Kalman Particle Kernel Filter

Le KPKF Décomposition la loi de densité conditionnelle en noyau Gaussien (RPF) est un noyau Gaussien la taille de la fenêtre du noyau : La matrice de covariance des particules :

l’étape d ’initialisation : Le KPKF l’étape d ’initialisation : On suppose qu’a l’instant k, on a : de norme de l’ordre

Le KPKF 0 si n’est pas près de Linéarisation de autour de : A l’étape de correction : 0 si n’est pas près de Linéarisation de autour de :

Le KPKF Correction de Kalman de norme de l’ordre de norme de l’ordre

n’est plus de norme de l’ordre Le KPKF A l’étape de prédiction : 0 si n’est pas près de Linéarisation de autour de : n’est plus de norme de l’ordre « resampling »

Le KPKF de norme de l’ordre Resampling : Partiel : On approche Par la mixture Critère utilisé : MISE ( Mean Integrated Square Error ) ------------------------------------------------------------------------ Total : S.I.R si les poids sont dispersés: de norme de l’ordre

Resampling partiel : On a la loi de densité suivante : On l’approche par :

Resampling partiel : Si on tire les suivant : Variance ? Si on choisit la densité : on a :

Resampling partiel : Solutions : On cherche qui minimise la MISE (la variance et le biais ) : Sous la contrainte : avec Solutions :

Le KPKF l’entropie Seuil de norme de l’ordre de : (correction / prédiction) avec le EKF pas de resampling partiel > de norme de l’ordre de : resampling partiel l’entropie Seuil : resampling total Mais en pratique en laisse m cycles de calcul, sans faire de resampling

Le KPKF Originalité du KPKF : Combinaison du EKF (pas d’approximation MC) avec le RPF (multimodalité, non linéarité ) Algorithme récursif sans redistribution systématique (plus précis)

Dans le cas ou la dynamique est linéaire : La Borne de Cramer Rao PCRB Dans le cas ou la dynamique est linéaire : perte de l’info due a la dynamique Tel que : L’info due à la variation de H l’intérêt : Évaluation des performances d’un filtre. Borne inférieure de la matrice de covariance et limite de précision de n’importe quel estimateur.

Partie II Modélisation des équations d’erreurs inertielles

L’ellipsoïde terrestre Définition des grandeurs b Ellipsoïde terrestre Axe polaire La terre est représentée par un ellipsoide. Cet ellipsoide est défini par : a Axe équatorial L’excentricité Le rayon de courbure dans le plan méridien : La grande normale : a et b sont le demi-grand axe et le demi-petit axe, respectivement de l’ellipsoïde Le modèle WGS 84 (World Geodetic System 1984) fournit les données les plus à jour de ces paramètres.

Les différents trièdres Le trièdre mobile (b) : Ce trièdre est lié a la structure du véhicule. Dans le cas d’une centrale inertielle à composants liés ce trièdre est en général matérialisé par l’orientation des capteurs (accéléromètres et gyromètres) Le Trièdre Géographique Local (TGL, n) : Le TGL est le repère de navigation; son origine est située en O, projection de M sur l’ellipsoïde et ses trois axes sont dirigés respectivement vers le nord, vers l’est et la verticale descendante. Il se déplace à la surface de l’ellipsoide en même temps que le mobile,. Le trièdre inertiel (i) :      Ce repère est centré sur la terre, ses axes ayant une direction fixe par rapport aux étoiles. Le trièdre terrestre (e) : Déduit du précédent par la vitesse de rotation de la terre.

Les différents trièdres Trièdre mobile (lié à l’avion) Trièdre Terrestre Trièdre Géographique Local (TGL) Trièdre inertiel

Les équations de la navigation Les coordonnées géographiques du mobile : latitude longitude l’altitude

Les équations de la navigation dans le TGL R : vecteur de position du mobile par rapport à la terre. V : vitesse de déplacement du mobile par rapport à la terre. A : matrice d’angle d’attitude : l’accélération spécifique. : la vitesse angulaire de rotation du repère de navigation par rapport à la terre. : la vitesse de rotation de la terre. : la gravité. : la vitesse de rotation absolue du corps mesurée par les gyromètres.

Les équations de la navigation dans le TGL La vitesse angulaire de rotation du TGL par rapport à la terre et la vitesse absolue de rotation de la terre s’expriment dans le TGL de la façon suivante : avec

Erreurs de navigation inertielles Les erreurs de navigation inertielle proviennent : des erreurs de capteurs (accéléromètres et gyromètres) du modèle de la pesanteur couplage entre l’erreur de position et de vitesse (phénomène de Schuler) les erreurs d’alignement

Erreurs de navigation inertielles (l’approche en phi) On établit les équations d’erreurs inertielles qui représentent l’évolution des erreurs de navigation d’une centrale inertielle. Ces équations indiquent la manière dont les erreurs de mesure accélérométriques et gyrométriques se transforment en erreurs de position, de vitesse et d’attitude Les erreurs de position et de vitesse sont définies comme suit : et les erreurs de mesure :

Erreurs de navigation inertielles (l’approche en phi) Equation d’erreur d’angle d’attitude: On différencie l’équation suivante : On obtient alors l’équation d’erreur d’angle d’attitude : avec représente l’erreur de mesure des gyromètres telle que Equation d’erreur de position : On a :

Erreurs de navigation inertielles (l’approche en phi) Equation d’erreur de vitesse : On différencie l’équation suivante : On obtient alors l’équation d’erreur de vitesse : représente l’erreur de mesure des accéléromètres telle que ( pulsation de Schuler )

Erreurs de navigation inertielles (l’approche en phi) Ces équations sont écrites selon l’approche en phi et dépendent des 9 variables et constituent un système d’équations différentielles couplées. Via un changement de variable, on obtient un autre système d’équations différentielles plus simple.

Simulations des erreurs de capteur erreur accélérométrique : : bruit coloré (Markov 1er Ordre) : bruit blanc Gaussien : bruit blanc Gaussien : facteur d’échelle accélérométrique erreur gyrométrique : : facteur d’échelle gyrométrique : la période de corrélation du bruit coloré

Les équations du filtre On estime un vecteur d’état à 15 variables d’état, les 9 variables cinématiques, ainsi que les 6 biais accélérométrique et gyrométriques. Le vecteur d’état à estimé est :

Les équations du filtre La mise des équation sous forme d’état :

Principe de la méthode altimétrique Position réelle Position inertielle Hauteur sol Terrain réel Terrain numérisé Niveau de référence

L’équation d’observation avec : : mesure du radio altimètre : l’erreur de mesure : mesures inertielles

Contexte applicatif : recalage altimétrique Algorithmes existants Maximum de vraisemblance (maillage) (vitesses assez bien connues et zone initiale d’incertitude assez précise) puis Kalman (EKF), et la Rao-Blackwellized Particle Filter. Apport du KPKF : conditions d’emploi plus générales Vitesses initiales moins bien connues Zones d’incertitudes + importantes (6 km en x, y par ex) Estimation conjointe des positions et vitesses Intérêt Survol + long de zones plates Utilisation d’une centrale inertielle moins performante

Bcp de divergences pour des grandes zones d’incertitudes ! The Rao-Blackwellized Particle Filter (Per-Johan Nordlund, Niclas Bergman) On écrit notre modèle sous la forme : Bcp de divergences pour des grandes zones d’incertitudes !

50 tirages MC KPKF : 2% de divergences RB : 20 % de divergences Les conditions initiales sont : Nombre de mesures : 400 Période de mesures dt : 0.7 Sec Wt est un bruit blanc gaussien Bruit de mesure du radio altimètre : Biais accélérométrique : Biais gyrométrique : Vitesse horizontal : 250 m/s Incertitude initiale en x : Incertitude initiale en y : Incertitude initiale en z : Incertitude initiale en vx : Incertitude initiale en vY : Incertitude initiale en vz : Incertitude initiale en  : Incertitude initiale en  : Incertitude initiale en  : Nombre de particules : N = 1500 pour le KPKF 50 tirages MC KPKF : 2% de divergences RB : 20 % de divergences

simulation des erreurs inertielles

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Conclusions Le KPKF réactualise l’ensemble des paramètres positions et vitesses; il prend en compte le caractère multimodal associé aux ambiguïtés de position de l’avion dans le plan horizontal, ce qui n’est pas vrai pour les filtres de recalage classique du type Kalman.    Le nombre de particules requis par l’algorithme n’augmente que peu avec la dimension de l’espace d’état (de dimension 15 dans notre cas). Le KPKF converge plus rapidement que le RPF, la courbe d’écart type du KPKF atteint plus rapidement la PCRB et présente moins de divergences. Incertitude initiale beaucoup plus grande qu’avec la Rao Blackwellised Particle Filter. La mise en œuvre du KPKF est simple et rapide. Cette simplicité algorithmique permet de traiter facilement d’autres problèmes plus complexes. Le KPKF peut être appliqué dans un cadre plus général (non-linéarité de la dynamique/mesure pour toutes les composantes de l’état)