Fabienne BUSSAC EQUATIONS (1) 1. Définition Une équation est une égalité dans laquelle un nombre inconnu est désigné par une lettre (souvent x). Exemples : Fabienne BUSSAC 8x – 9 = 15 4x + 17 = 2 – x sont des équations. x² – 4x – 5 = 0 Résoudre l’équation, c’est trouver toutes les valeurs numériques que l’on peut mettre à la place de la lettre et pour lesquelles l’égalité est vérifiée.

Fabienne BUSSAC 2. VÉRIFICAtion S’il n’y a des x que dans un seul membre : Pour vérifier si un nombre est solution de cette équation, on remplace, dans ce membre, tous les x par le nombre donné, puis on calcule. Le nombre est solution si le résultat du calcul est égal à l’autre membre. Fabienne BUSSAC Exemple 1 : Le nombre 2 est-il solution de l’équation 8x – 9 = 15 ? On remplace x par 2 dans le membre 8x – 9, puis on calcule. Attention ! 8x signifie 8 × x 8 × 2 – 9 = 16 – 9 = 7 8 × 2 – 9 ≠ 15 donc 2 n’est pas une solution de l’équation 8x – 9 = 15.

Fabienne BUSSAC Exemple 2 : Les nombres 5, 2 et – 1 sont-ils solutions de l’équation x² – 4x – 5 = 0 ? On remplace x par 5 dans le membre x² – 4x – 5, puis on calcule. Fabienne BUSSAC 5² – 4 × 5 – 5 = 25 – 20 – 5 = 0 5² – 4 × 5 – 5 = 0, donc 5 est une solution de l’équation x² – 4x – 5 = 0.

On remplace x par 2 dans le membre x² – 4x – 5, puis on calcule. 2² – 4 × 2 – 5 = 4 – 8 – 5 = – 9 2² – 4 × 2 – 5 ≠ 0, donc 2 n’est pas une solution de l’équation x² – 4x – 5 = 0. Fabienne BUSSAC On remplace x par – 1 dans le membre x² – 4x – 5, puis on calcule. (– 1)² – 4 × (– 1) – 5 = 1 + 4 – 5 = 0 (– 1)² – 4 × (– 1) – 5 = 0, donc (– 1) est une solution de l’équation x² – 4x – 5 = 0.

Fabienne BUSSAC S’il y a des x dans les deux membres : Pour vérifier si un nombre est solution de cette équation, on remplace, dans chaque membre, tous les x par le nombre donné, puis on calcule séparément. Le nombre est solution si les résultats des deux calculs sont égaux. Exemple : Les nombres 0 et – 3 sont-ils solutions de l’équation 4x + 17 = 2 – x? Fabienne BUSSAC On remplace x par 0 dans chaque membre, puis on calcule séparément. Membre de gauche : 4 × 0 +17 = 17 Membre de droite : 2 – 0 = 2 4 × 0 + 17 ≠ 2 – 0 donc 0 n’est pas une solution de l’équation 4x + 17 = 2 – x.

On remplace x par – 3 dans chaque membre, puis on calcule séparément. Membre de gauche : 4 × (– 3) +17 = – 12 + 17 = 5 Membre de droite : 2 – (– 3) = 2 + 3 = 5 Fabienne BUSSAC 4 × (– 3) + 17 = 2 – (– 3) donc (– 3) est une solution de l’équation 4x + 17 = 2 – x.

Fabienne BUSSAC 3. PROPRIETES Propriété 1 : On ne change pas une égalité lorsqu’on ajoute ou on soustrait un même nombre aux deux membres de cette égalité. Fabienne BUSSAC SI : ALORS : SI : ALORS :

Propriété 2 : On ne change pas une égalité lorsqu’on multiplie ou on divise par un même nombre les deux membres de cette égalité. SI : ALORS : Fabienne BUSSAC ×2 ×2 SI : ALORS : 3 3

Fabienne BUSSAC 4. RÉSOLUTION D’UNE ÉQUATION ax + b = c Exemple 1 : On ajoute 9 dans chaque membre. 8x – 9 = 15 + 9 + 9 On réduit. 8x = 24 On divise chaque membre par 8. Fabienne BUSSAC 8x = 24 8 8 On réduit. x = 3 On n’oublie pas de vérifier en calculant : 8 × 3 – 9 = 24 – 9 = 15 Donc 3 est la solution de l’équation 8x – 9 = 15.

Fabienne BUSSAC Exemple 2 : 6x + 3 = 7 6x + 3 = 7 – 3 – 3 6x = 4 On soustrait 3 dans chaque membre. 6x + 3 = 7 – 3 – 3 On réduit. 6x = 4 On divise chaque membre par 6. 6x = 4 Fabienne BUSSAC 6 6 On réduit. x = On n’oublie pas de vérifier en calculant : 6 × + 3 = 4 + 3 = 7 Donc est la solution de l’équation 6x + 3 = 7.