Rappel... Valeurs propres et vecteurs propres. Définitions; Propriétés; Équations aux différences; Équation caractéristique; Matrices similaires; Applications aux systèmes dynamiques.

Aujourd’hui Diagonalisation. Transformations linéaires.

11. Diagonalisation et transformations linéaires Dans certains cas, on peut décomposer une matrice selon A = PDP-1, D étant une matrice diagonale. Cette décomposition contient de l’information à propos des valeurs propres et des vecteurs propres.

Diagonalisation  Calcul des puissances d’une matrice. Pourquoi diagonaliser?  Calcul des puissances d’une matrice.

Diagonalisation (suite) On dit qu’une matrice A est diagonalisable si A est similaire à une matrice diagonale, i.e. A = PDP-1, pour une matrice inversible P et une matrice diagonale D.

Théorème de la diagonalisation Une matrice A n  n est diagonalisable si et seulement si A possède n vecteurs propres linéairement indépendants.

Théorème de la diagonalisation (suite) Si A = PDP-1, où D est une matrice diagonale, alors les éléments de la diagonale de D sont les valeurs propres de A et les colonnes de P sont les vecteurs propres correspondants.

Base de vecteurs propres Le théorème précédent implique que A n  n est diagonalisable si on a assez de vecteurs propres pour former une base de Rn.

Méthode pour diagonaliser une matrice 1) Trouver les valeurs propres de A, n  n. 2) Trouver les vecteurs propres de A. Il en faut n qui soient linéairement indépendants. 3) Construire P à partir des vecteurs propres. 4) Construire D à partir des valeurs propres.

Théorème: diagonalisation et valeurs propres distinctes Si une matrice A n  n possède n valeurs propres distinctes, alors A est diagonalisable.

Matrice n’ayant pas n valeurs propres distinctes Soit une matrice A n  n ayant comme valeurs propres distinctes l1,...,lp. a. Pour 1  k  p, la dimension de l’espace propre de lk est inférieure ou égale à la multiplicité de la valeur propre lk.

Matrice n’ayant pas n valeurs propres distinctes (suite) Soit une matrice A n  n ayant comme valeurs propres distinctes l1,...,lp. b. La matrice A est diagonalisable si et seulement si la somme des dimensions des espaces propres distincts est égale à n, et ceci arrive si et seulement si la dimension de l’espace propre de chaque lk est égale à la multiplicité de lk.

Matrice n’ayant pas n valeurs propres distinctes (fin) Soit une matrice A n  n ayant comme valeurs propres distinctes l1,...,lp. c. Si A est diagonalisable et Bk est une base pour l’espace vectoriel correspondant à lk pour chaque k, alors l’union de tous les vecteurs appartenant aux ensembles B1,...,Bp forment une base de vecteurs propres pour Rn.

Vecteurs propres et transformation linéaire Nous allons maintenant explorer la relation entre la décomposition matricielle A = PDP-1 et les transformations linéaires. x Ax  u  Du

Matrice d’une transformation linéaire Vn-dim  Wm-dim T: transformation linéaire de V vers W V: base B, vecteurs de coordonnées [x]B  Rn. W: base C, vecteurs de coordonnées [T(x)]C  Rm.

V W T x T(x) Rm [x]B Rn [T(x)]C

Calcul de la matrice À cause de la linéarité, on peut écrire [T(x)]C = M[x] B où M = [[T(b1)]C [T(b2)]C … [T(bn)]C ]

Matrice de la transformation T selon les bases B et C V W T x T(x) Rm [x]B Rn  M [T(x)]C

Transformation linéaire de V dans V: matrice B de T. x T(x) Rn [x]B Rn  [T]B [T(x)]B

Représentation par une matrice diagonale Supposons que A = PDP-1, où D est une matrice diagonale n  n. Si B est la base de Rn formée des colonnes de P, alors D est la matrice B de la transformation linéaire x  Ax.

Prochain cours... Systèmes dynamiques: discrets; continus.