Les mouvements sur la Sphère

Définitions: le Grand-Cercle = intersection d’un plan passant par le centre de la sphère

Définitions: le Grand-Cercle = intersection d’un plan passant par le centre de la sphère

Définitions: le Petit-Cercle = intersection d’un cône de révolution dont l’apex est situé au centre de la sphère...

Définitions: le Petit-Cercle ... et/ou d’un plan ne passant pas par le centre de la sphère

Définitions: le Petit-Cercle ... et/ou d’un plan ne passant pas par le centre de la sphère

Définitions: le Repère Géocentrique La position de tout point P dans le repère géocentrique est définie par: - r: distance au centre de la Terre rayon moyen de la Terre: 6371 km. - l: la latitude = angle entre le vecteur position du   point et le plan équatorial. - f: la longitude = angle que fait le grand-cercle passant par P et le pôle nord avec un grand-cercle arbitraire passant par les pôles N et S. Pôle Nord (r,l,F) -90° ou 270° 90° (E) 0° f: compté de 0° (méridien de Greenwich) à 360° vers l’Est l: compté de 0° (Equateur) à +90° vers le nord, et à – 90° vers le sud N.B.: q est la colatitude, comptée de 0° (pôle nord) à 180° (pôle sud)

Quelques outils

Trigonométrie Sphérique

Trigonométrie Sphérique

Trigonométrie Sphérique Nota: la somme a + b + g est toujours supérieure à 180°

Trigonométrie Sphérique Formule des sinus:

Trigonométrie Sphérique Formule des cosinus:

Trigonométrie Sphérique Aire du triangle sphérique e Soit par les angles au sommet: Soit par les longueurs des côtés: Nota: l’aire e est un angle solide qui s’exprime en stéradian. La surface dans le système métrique S s’obtient par S = e.r2, où r est le rayon de la sphère.

Trigonométrie Sphérique - Applications 1. Quelle est la distance entre Paris (48° 51’ N, 2° 21’ E) et San Francisco (37° 46’ N, 122° 25’W) ? 2. Quel cap doit prendre un avion après le décollage de Paris pour se rendre à San Francisco ? 3. Ce cap reste-t-il constant tout le long du voyage ?

Trigonométrie Sphérique - Applications Paris: l1 = 48° 51’ N, F1 = 2° 21’ E San Francisco: l2 = 37° 46’ N, F2 = 122° 25’ W

Trigonométrie Sphérique - Applications Paris: l1 = 48° 51’ N, F1 = 2° 21’ E San Francisco: l2 = 37° 46’ N, F2 = 122° 25’ W

Trigonométrie Sphérique - Applications Paris: l1 = 48° 51’ N, F1 = 2° 21’ E San Francisco: l2 = 37° 46’ N, F2 = 122° 25’ W

Trigonométrie Sphérique - Applications Paris: l1 = 48° 51’ N, F1 = 2° 21’ E San Francisco: l2 = 37° 46’ N, F2 = 122° 25’ W

d = 80.6° ≈ 8960 km d Trigonométrie Sphérique - Applications Paris: l1 = 48° 51’ N, F1 = 2° 21’ E San Francisco: l2 = 37° 46’ N, F2 = 122° 25’ W d = 80.6° ≈ 8960 km d Formule des cosinus:

Trigonométrie Sphérique - Applications Paris: l1 = 48° 51’ N, F1 = 2° 21’ E San Francisco: l2 = 37° 46’ N, F2 = 122° 25’ W d = 80.6° ≈ 8960 km d Az Az = 41.2° (W) Formule des sinus:

Chemin le plus court = arc de grand-cercle = Orthodromie Chemin à cap constant = chemin le plus long = Loxodromie http://fr.wikipedia.org/wiki/Orthodromie

Orthodromie http://www.sciences.univ-nantes.fr/sites/genevieve_tulloue/Meca/RefTerre/Orthodromie1.html

Loxodromie http://www.sciences.univ-nantes.fr/sites/genevieve_tulloue/Meca/RefTerre/Orthodromie1.html

Produit Scalaire r

Produit Scalaire Vecteur position a r

Produit Scalaire Vecteur position a Vecteur position b r

r Produit Scalaire Vecteur position a Vecteur position b Produit scalaire a.b d’où:

Produit Vectoriel Vecteur position a Vecteur position b Produit vectoriel a L b (ou a x b)

B A Déplacement sur la sphère Comment décrire un mouvement d’un point A à un point B sur une sphère ? B A

?? B A Déplacement sur la sphère Ce mouvement peut-il être rectiligne ? ?? B A

B B A A Tout déplacement sur une sphère est une rotation En aucune manière... il s’agit d’une rotation.

B A Tout déplacement sur une sphère est une rotation Pôle d’Euler Angle d’Euler B A C’est une rotation eulérienne, du nom de Leonhard Euler (1707-1783), mathématicien suisse.

B ?? A Tout déplacement sur une sphère est une rotation Pôle d’Euler Angle d’Euler B ?? Remarques: la rotation d’Euler est une rotation finie elle décrit le mouvement le plus court de A à B elle ne permet pas de décrire la trajectoire de A à B (pour cela, il faut des paramètres de rotation finie intermédiaires...). A

Cosinus directeurs a = angle avec l’axe X b = angle avec l’axe Y g = angle avec l’axe Z

Cosinus directeurs a = angle avec l’axe X b = angle avec l’axe Y g = angle avec l’axe Z

Cosinus directeurs a = angle avec l’axe X b = angle avec l’axe Y g = angle avec l’axe Z

Changement de repère Rotation du repère (X,Y,Z) => (X’,Y’,Z’)

O x y z x’ l11 l12 l13 Changement de repère Rotation du repère (X,Y,Z) => (X’,Y’,Z’) l11 = cosinus directeur de l’axe X’ avec l’axe X l12 =                 "                  "                "         Y l13 =                 "                  "                "         Z lij=cosaij O x y z x’ l11 l12 l13 Que l’on peut réécrire:

O x y z x’ l11 l12 l13 y’ l21 l22 l23 Changement de repère Rotation du repère (X,Y,Z) => (X’,Y’,Z’) l11 = cosinus directeur de l’axe X’ avec l’axe X l12 =                 "                  "                "         Y l13 =                 "                  "                "         Z l21 = cosinus directeur de l’axe Y’ avec l’axe X l22 =                 "                  "                "         Y l23 =                 "                  "                "         Z lij=cosaij O x y z x’ l11 l12 l13 y’ l21 l22 l23 Que l’on peut réécrire:

Changement de repère Rotation du repère (X,Y,Z) => (X’,Y’,Z’) l11 = cosinus directeur de l’axe X’ avec l’axe X l12 =                 "                  "                "         Y l13 =                 "                  "                "         Z l21 = cosinus directeur de l’axe Y’ avec l’axe X l22 =                 "                  "                "         Y l23 =                 "                  "                "         Z l31 = cosinus directeur de l’axe Z’ avec l’axe X l32 =                 "                  "                "         Y l33 =                 "                  "                "         Z lij=cosaij O x y z x’ l11 l12 l13 y’ l21 l22 l23 z’ l31 l32 l33 Que l’on peut réécrire:

Changement de repère Rotation du repère (X,Y,Z) => (X’,Y’,Z’) l11 = cosinus directeur de l’axe X’ avec l’axe X l12 =                 "                  "                "         Y l13 =                 "                  "                "         Z l21 = cosinus directeur de l’axe Y’ avec l’axe X l22 =                 "                  "                "         Y l23 =                 "                  "                "         Z l31 = cosinus directeur de l’axe Z’ avec l’axe X l32 =                 "                  "                "         Y l33 =                 "                  "                "         Z Rotation du repère (X,Y,Z) => (X’,Y’,Z’) O x y z x’ l11 l12 l13 y’ l21 l22 l23 z’ l31 l32 l33 Que l’on peut réécrire: C’est la matrice de transformation [TM]

Changement de repère Le point P, de coordonnées (x,y,z) dans l’ancien repère (X,Y,Z) aura pour coordonnées (x’,y’,z’) dans le nouveau repère (X’,Y’,Z’): ou: ou: P(x’,y’,z’) = [TM] * P(x,y,z)

Changement de repère On retrouve les coordonnées d’origine (x,y,z) de P dans l’ancien repère (X,Y,Z) à partir des coordonnées (x’,y’,z’) dans le nouveau repère (X’,Y’,Z’) à l’aide de la matrice transposée: et: P(x,y,z) = [TM]T * P(x’,y’,z’) À noter:

Rotation 2D

Rotation 3D Rajoutons une 3ème dimension, sans changer la rotation de P à P’

Rotation 3D – règle du trièdre direct Rajoutons une 3ème dimension, sans changer la rotation de P à P’

Rotation 3D Rajoutons une 3ème dimension, sans changer la rotation de P à P’ Rz(q) est donc la matrice de rotation autour de l’axe Z

Rotation 3D à 3 dimensions, les matrices de rotations suivantes correspondent à des rotations autour des axes X,Y et Z (respectivement) : Rx(q) tourne l'axe Y vers l'axe Z, Ry(q) tourne l'axe Z vers l'axe X et Rz(q) tourne l'axe X vers l'axe Y.

Rotation Eulérienne Le tenseur (ou matrice) de rotation eulérienne se calcule en 3 étapes q

P(x’,y’,z’) = [TM] * P(x,y,z) Rotation Eulérienne Le tenseur (ou matrice) de rotation eulérienne se calcule en 3 étapes - étape 1: Etablir un nouveau repère (X’,Y’,Z’) avec: Z’ aligné sur le Pôle d’Euler X’ sur le même méridien et orthogonal à Z’ Y’ formant un trièdre direct avec (X’,Z’) Dans ce repère, le point P a pour coordonnées: q ou: P(x’,y’,z’) = [TM] * P(x,y,z)

P’(x",y",z") = Rz(q) * [TM] * P(x,y,z) Rotation Eulérienne Le tenseur (ou matrice) de rotation eulérienne se calcule en 3 étapes - étape 2: Effectuer la "rotation 2D" autour de Z’ en utilisant Rz(q): q ou: P’(x",y",z") = Rz(q) * [TM] * P(x,y,z) à ce stade, le point P’ a pour coordonnées dans le repère (X’,Y’,Z’):

P’(x’’’,y’’’,z’’’) = [TM]T * Rz(q) * [TM] * P(x,y,z) Rotation Eulérienne Le tenseur (ou matrice) de rotation eulérienne se calcule en 3 étapes - étape 3: Revenir au repère Géocentrique (X,Y,Z) en multipliant P’(x",y",z") par la matrice de transformation transposée: q Soit: P’(x’’’,y’’’,z’’’) = [TM]T * Rz(q) * [TM] * P(x,y,z)

Rotation Eulérienne Le tenseur (ou matrice) de rotation eulérienne est le produit de 3 tenseurs: [TM]T Rz(q) [TM]

125 Ma Rotation Eulérienne Ce sont ces rotations qui sont à la base des reconstructions dans le passé... 125 Ma ... le stade suivant étant de déterminer les paramètres de rotation ... !!