Cours LFI-2 (Master Académique) Machines de Turing (partie 1) Cours LFI-2 (Master Académique) 2007/2008

Plan I- Introduction II- Principe d’un machine de Turing III- Définition Formelle VII- Calcul d’une MT VI- Configuration d’une MT II- Principe d’un machine de Turing IV- Exemples de MT VIII- Graphe des configurations d’une MT V- Représentation de MT IX- Utilisation X- Machines de Turing et ordinateurs

Introduction

Introduction Qui est Turing ? A quoi sert sa machine?

Qui est Turing ? Nom: Turing Prénom:Alan Mathison Nationalité: Anglais Introduction Qui est Turing ? Nom: Turing Prénom:Alan Mathison Nationalité: Anglais Date de naissance: 23 juin 1912 à Londres Date de décès : 1954

Spécialité ? Profession? Philosophe Logicien Mathématicien Introduction Spécialité ? Philosophe Logicien Mathématicien Spécialiste en cryptologie Profession? Professeur à (Cambridge, Princeton Manchester).

Introduction Travaux ? (1) En 1936 (à l’âge de 24 ans) , Turing inventa des machines algorithmiques abstraites, « machines à penser », appelées aujourd'hui machines de Turing et préfigurant la construction des ordinateurs. Les machines de Turing, elles étaient censées interpréter des instructions logiques (affectations, tests, branchements) et capables de dégager les catégories de problèmes résolubles

Introduction Travaux ? (2) En 1943 Turing mit ses compétences aux services de l'armée britannique lors de la seconde guerre mondiale: Il a conçu, avec Max Newman le Colossus 1, ordinateur capable de déchiffrer les codes de la célèbre machine allemande Enigma, d'origine hollandaise et utilisée pour la transmission des messages secrets. La conception du Colossus resta top secret jusqu'en 1975.

Introduction Travaux ? (3) Dès 1950: la concrétisation d'un calculateur électronique à lampes (le transistor, inventé en 1947, n'a pas assez de puissance). Turing contribuera aussi à la mise en place du premier puissant ordinateur : le Mark 1, qui vit le jour à Harvard (U.S.A.). Pour plus d’informations sur Turing, voir les site: www.turing.org.uk/turing

Introduction Qui est Turing ? A quoi sert sa machine?

A quoi sert la machine de Turing ? Introduction A quoi sert la machine de Turing ? Peut on trouver une machine qui est basée sur le plus petit ensemble possible d’opérations élémentaires suffisamment générales pour que le maximum de calculs puissent se ramener à des combinaisons de ces opérations ?

A quoi sert la machine de Turing ? Introduction A quoi sert la machine de Turing ? Les machines de Turing constituent un modèle de calcul de très bas niveau. Dans ce modèle on ne dispose que: - d’une seule instruction (GOTO) en dehors des lectures et écritures et - d’une structure de données : les mots

Principe de la machine de Turing

Il existe plusieurs variantes des Machines de Turing . Principe d’un machine de Turing Il existe plusieurs variantes des Machines de Turing . Elles sont tous équivalentes du point de vue de l’expressivité par la thèse de Church, Mais elles ne sont pas équivalentes du point de vue de la complexité. On donne une définition ici qui sera ensuite modifiée pour présenter d’autres définitions de machines de Turing.

Une machine de Turing se compose de: Principe d’un machine de Turing Une machine de Turing se compose de: 1- Un ruban infini à gauche, divisé en case (cellule). Chaque case peut contenir un symbole de l’alphabet du ruban 2- Une tête de lecture/écriture qui peut se déplacer le long du ruban et qui pointe à chaque instant une case du ruban. 3- Une partie de contrôle qui est constituée d’un ensemble fini d’états possibles parmi lesquels on distingue un état initial et d’une fonction de transitions qui régissent les calculs de la machine.

Principe d’un machine de Turing

Schéma d’une machine de Turing Principe d’un machine de Turing Ruban Tête de lecture/écriture Contrôle Schéma d’une machine de Turing

Chaque case du ruban contient un symbole de l’alphabet du ruban Principe d’un machine de Turing Ruban Ruban a b $ c  Chaque case du ruban contient un symbole de l’alphabet du ruban Le symbole $ marque le début du ruban: -On ne peut pas se déplacer à gauche de $ - pas d’autre symbole $ sur le ruban Le caractère  désigne le caractère blanc Donc le vocabulaire du ruban contient au moins les deux caractères $ 

Tête de lecture/écriture Ruban a b $ c  Principe d’un machine de Turing Tête de lecture/écriture Ruban a b $ c  A Chaque instant la tête de L/E pointe une case du ruban Une tête de L/E peut faire les actions suivantes: Se déplacer d’une case vers la droite Se déplacer d’une case vers la gauche Écrire un symbole dans la case Ne pas se déplacer A l’état initial la tête de L/E pointe de premier symbole du ruban

Tête de lecture/écriture Principe d’un machine de Turing Tête de lecture/écriture État initial a b $ c  a b $ c  Dépl. droite a b $ c  Dépl. droite a b $  Écriture a b $  Dépl. gauche

Une machine de Turing se compose de: Principe d’un machine de Turing Une machine de Turing se compose de: 1- Un ruban infini à gauche, divisé en case (cellule). Chaque case peut contenir un symbole de l’alphabet du ruban 2- Une tête de lecture/écriture qui peut se déplacer le long du ruban et qui pointe à chaque instant une case du ruban. 3- Une partie de contrôle qui est constituée d’un ensemble fini d’états possibles parmi lesquels on distingue un état initial et d’une fonction de transitions qui régissent les calculs de la machine.

Système de Contrôle (les états) Principe d’un machine de Turing Système de Contrôle (les états) Le contrôle de la machine est constitué d’un ensemble fini d’états {q0, . . . , qn} Contrôle {q0, . . . , qn} À chaque instant, la machine se trouve dans un de ces états. qi{q0, . . . , qn} qi Au départ, la machine se trouve dans l’état q0 qu’on appelle état initial. q0

Système de Contrôle (la fonction de transition) Principe d’un machine de Turing Système de Contrôle (la fonction de transition) C’est une fonction partielle qui, pour chaque état de la machine et pour chaque symbole sous la tête de L/E , précise (si elle est définie) : - L’état suivant de la machine. - L’action que doit faire la tête de L/E ( déplacement à gauche, à droite, pas de déplacement, écriture)

Système de Contrôle (la fonction de transition) Principe d’un machine de Turing Système de Contrôle (la fonction de transition) (q0, a) (Dépl.droite, passer à l’état q1) (q0, b) (Dépl.droite, passer à l’état q2) (q1, c) (écrire F, passer à l’état q1)

Principe d’un machine de Turing Système de Contrôle Le calcul d’une machine de Turing est formé d’une suite d’étapes de calcul qui sont effectuées par la machine. Chaque étape consiste à changer l’état de contrôle, écrire un symbole sous la tête de lecture et déplacer la tête de lecture. Les étapes de calcul possibles sont décrites par les transitions de la machine. Les transitions constituent en quelque sorte le programme de la machine.

Définition Formelle

Une Machine de Turing est un tuple (, Q, q0, ) Définition formelle Définition Une Machine de Turing est un tuple (, Q, q0, )  est un alphabet fini (vocabulaire du ruban) tel que {, $}  (où : le blanc et $:début du ruban). Q est un ensemble fini d’états q0  Q est l’état initial  fonction de transition : Q ×   × {, ,,H} × Q telle que: on ne se déplace jamais à gauche du marqueur de début $ et on ne peut pas l’effacer.

Condition d’application Définition formelle La fonction de transition est souvent donnée par un ensemble de quintuples de la forme: ( q, a, b, dépl., q’) Q ×   × {, ,,H} × Q ( q, a, b, dépl., q’) Condition d’application Action

si la machine est dans l’état q0 Définition formelle Exemple: (q0, a, b, , q1) S’interprète par: si la machine est dans l’état q0 et la tête de L/E pointe le caractère a alors remplacer a par b, se déplacer d’une case à droite et passer à l’état q1

Exemples de transitions: Définition formelle Exemples de transitions: (q ,S, S, ,q’) : déplacement à droite et changement d'état. (q ,S, S’,  , q ): déplacement à droite, remplacement de S par S' et pas de changement d'état. (q ,S, S’, , q' ): déplacement à gauche, remplacement de S par S' et changement d'état. (q ,S, S’, , q' ) : pas de déplacement, remplacement de S par S' et changement d'état. (q ,S, S' ,H, q’) : Arrêt, après remplacement de S par S' et changement d'état.

Exemples de MT

 définie par les quintuplets (q0,$,$,  ,q1) Exemples de MT Exemple-1 M= (, Q, q0, )  = {0, 1, X, Y,$,#} Q = {q0, q1, q2, q3, q4,q5}  définie par les quintuplets (q0,$,$,  ,q1) (q1, 0, X,  , q2), (q1, Y, Y,  , q4), (q2, 0, 0,  , q2), (q2, 1, Y,  , q3), (q2, Y, Y,  , q2), (q3, 0, 0,  , q3), (q3, X, X,  , q1), (q3, Y, Y,  , q3), (q4, Y, Y,  , q4), (q4, #, #, H , q5)

$ # Exemples de MT (q0,$,$,  ,q1) (q1, 0, X,  , q2), (q1, Y, Y,  , q4), (q2, 0, 0,  , q2), (q2, 1, Y,  , q3), (q2, Y, Y,  , q2), (q3, 0, 0,  , q3), (q3, X, X,  , q1), (q3, Y, Y,  , q3), (q4, Y, Y,  , q4), (q4, #, #, H , q5) q0 1 $ #

$ # Exemples de MT (q0,$,$,  ,q1) (q1, 0, X,  , q2), (q1, Y, Y,  , q4), (q2, 0, 0,  , q2), (q2, 1, Y,  , q3), (q2, Y, Y,  , q2), (q3, 0, 0,  , q3), (q3, X, X,  , q1), (q3, Y, Y,  , q3), (q4, Y, Y,  , q4), (q4, #, #, H , q5) 1 $ # q1

$ # Exemples de MT (q0,$,$,  ,q1) (q1, 0, X,  , q2), (q1, Y, Y,  , q4), (q2, 0, 0,  , q2), (q2, 1, Y,  , q3), (q2, Y, Y,  , q2), (q3, 0, 0,  , q3), (q3, X, X,  , q1), (q3, Y, Y,  , q3), (q4, Y, Y,  , q4), (q4, #, #, H , q5) X 1 $ # q2

$ # Exemples de MT (q0,$,$,  ,q1) (q1, 0, X,  , q2), (q1, Y, Y,  , q4), (q2, 0, 0,  , q2), (q2, 1, Y,  , q3), (q2, Y, Y,  , q2), (q3, 0, 0,  , q3), (q3, X, X,  , q1), (q3, Y, Y,  , q3), (q4, Y, Y,  , q4), (q4, #, #, H , q5) X 1 $ # q2

$ # Exemples de MT (q0,$,$,  ,q1) (q1, 0, X,  , q2), (q1, Y, Y,  , q4), (q2, 0, 0,  , q2), (q2, 1, Y,  , q3), (q2, Y, Y,  , q2), (q3, 0, 0,  , q3), (q3, X, X,  , q1), (q3, Y, Y,  , q3), (q4, Y, Y,  , q4), (q4, #, #, H , q5) X 1 $ # q2

$ # Exemples de MT (q0,$,$,  ,q1) (q1, 0, X,  , q2), (q1, Y, Y,  , q4), (q2, 0, 0,  , q2), (q2, 1, Y,  , q3), (q2, Y, Y,  , q2), (q3, 0, 0,  , q3), (q3, X, X,  , q1), (q3, Y, Y,  , q3), (q4, Y, Y,  , q4), (q4, #, #, H , q5) X Y 1 $ # q3

$ # Exemples de MT (q0,$,$,  ,q1) (q1, 0, X,  , q2), (q1, Y, Y,  , q4), (q2, 0, 0,  , q2), (q2, 1, Y,  , q3), (q2, Y, Y,  , q2), (q3, 0, 0,  , q3), (q3, X, X,  , q1), (q3, Y, Y,  , q3), (q4, Y, Y,  , q4), (q4, #, #, H , q5) X Y 1 $ # q3

$ # Exemples de MT (q0,$,$,  ,q1) (q1, 0, X,  , q2), (q1, Y, Y,  , q4), (q2, 0, 0,  , q2), (q2, 1, Y,  , q3), (q2, Y, Y,  , q2), (q3, 0, 0,  , q3), (q3, X, X,  , q1), (q3, Y, Y,  , q3), (q4, Y, Y,  , q4), (q4, #, #, H , q5) X Y 1 $ # q3

$ # Exemples de MT (q0,$,$,  ,q1) (q1, 0, X,  , q2), (q1, Y, Y,  , q4), (q2, 0, 0,  , q2), (q2, 1, Y,  , q3), (q2, Y, Y,  , q2), (q3, 0, 0,  , q3), (q3, X, X,  , q1), (q3, Y, Y,  , q3), (q4, Y, Y,  , q4), (q4, #, #, H , q5) X Y 1 $ # q1

$ # Exemples de MT (q0,$,$,  ,q1) (q1, 0, X,  , q2), (q1, Y, Y,  , q4), (q2, 0, 0,  , q2), (q2, 1, Y,  , q3), (q2, Y, Y,  , q2), (q3, 0, 0,  , q3), (q3, X, X,  , q1), (q3, Y, Y,  , q3), (q4, Y, Y,  , q4), (q4, #, #, H , q5) X Y 1 $ # q2

$ # Exemples de MT (q0,$,$,  ,q1) (q1, 0, X,  , q2), (q1, Y, Y,  , q4), (q2, 0, 0,  , q2), (q2, 1, Y,  , q3), (q2, Y, Y,  , q2), (q3, 0, 0,  , q3), (q3, X, X,  , q1), (q3, Y, Y,  , q3), (q4, Y, Y,  , q4), (q4, #, #, H , q5) X Y 1 $ # q2

$ # Exemples de MT (q0,$,$,  ,q1) (q1, 0, X,  , q2), (q1, Y, Y,  , q4), (q2, 0, 0,  , q2), (q2, 1, Y,  , q3), (q2, Y, Y,  , q2), (q3, 0, 0,  , q3), (q3, X, X,  , q1), (q3, Y, Y,  , q3), (q4, Y, Y,  , q4), (q4, #, #, H , q5) X Y 1 $ # q2

$ # Exemples de MT (q0,$,$,  ,q1) (q1, 0, X,  , q2), (q1, Y, Y,  , q4), (q2, 0, 0,  , q2), (q2, 1, Y,  , q3), (q2, Y, Y,  , q2), (q3, 0, 0,  , q3), (q3, X, X,  , q1), (q3, Y, Y,  , q3), (q4, Y, Y,  , q4), (q4, #, #, H , q5) X Y 1 $ # q3

$ # Exemples de MT (q0,$,$,  ,q1) (q1, 0, X,  , q2), (q1, Y, Y,  , q4), (q2, 0, 0,  , q2), (q2, 1, Y,  , q3), (q2, Y, Y,  , q2), (q3, 0, 0,  , q3), (q3, X, X,  , q1), (q3, Y, Y,  , q3), (q4, Y, Y,  , q4), (q4, #, #, H , q5) , X Y 1 $ # q3

$ # Exemples de MT (q0,$,$,  ,q1) (q1, 0, X,  , q2), (q1, Y, Y,  , q4), (q2, 0, 0,  , q2), (q2, 1, Y,  , q3), (q2, Y, Y,  , q2), (q3, 0, 0,  , q3), (q3, X, X,  , q1), (q3, Y, Y,  , q3), (q4, Y, Y,  , q4), (q4, #, #,  , q5) , (q5, #, #,H, q5) X Y 1 $ # q3

$ # Exemples de MT (q0,$,$,  ,q1) (q1, 0, X,  , q2), (q1, Y, Y,  , q4), (q2, 0, 0,  , q2), (q2, 1, Y,  , q3), (q2, Y, Y,  , q2), (q3, 0, 0,  , q3), (q3, X, X,  , q1), (q3, Y, Y,  , q3), (q4, Y, Y,  , q4), (q4, #, #,  , q5) , (q5, #, #,H, q5) X Y 1 $ # q1

$ # Exemples de MT (q0,$,$,  ,q1) (q1, 0, X,  , q2), (q1, Y, Y,  , q4), (q2, 0, 0,  , q2), (q2, 1, Y,  , q3), (q2, Y, Y,  , q2), (q3, 0, 0,  , q3), (q3, X, X,  , q1), (q3, Y, Y,  , q3), (q4, Y, Y,  , q4), (q4, #, #, H , q5) X Y 1 $ # q2

$ # Exemples de MT (q0,$,$,  ,q1) (q1, 0, X,  , q2), (q1, Y, Y,  , q4), (q2, 0, 0,  , q2), (q2, 1, Y,  , q3), (q2, Y, Y,  , q2), (q3, 0, 0,  , q3), (q3, X, X,  , q1), (q3, Y, Y,  , q3), (q4, Y, Y,  , q4), (q4, #, #, H , q5) , X Y 1 $ # q2

$ # Exemples de MT (q0,$,$,  ,q1) (q1, 0, X,  , q2), (q1, Y, Y,  , q4), (q2, 0, 0,  , q2), (q2, 1, Y,  , q3), (q2, Y, Y,  , q2), (q3, 0, 0,  , q3), (q3, X, X,  , q1), (q3, Y, Y,  , q3), (q4, Y, Y,  , q4), (q4, #, #, H , q5) X Y 1 $ # q2

$ # Exemples de MT (q0,$,$,  ,q1) (q1, 0, X,  , q2), (q1, Y, Y,  , q4), (q2, 0, 0,  , q2), (q2, 1, Y,  , q3), (q2, Y, Y,  , q2), (q3, 0, 0,  , q3), (q3, X, X,  , q1), (q3, Y, Y,  , q3), (q4, Y, Y,  , q4), (q4, #, #, H , q5) X Y $ # q3

$ # Exemples de MT (q0,$,$,  ,q1) (q1, 0, X,  , q2), (q1, Y, Y,  , q4), (q2, 0, 0,  , q2), (q2, 1, Y,  , q3), (q2, Y, Y,  , q2), (q3, 0, 0,  , q3), (q3, X, X,  , q1), (q3, Y, Y,  , q3), (q4, Y, Y,  , q4), (q4, #, #, H , q5) X Y $ # q3

$ # Exemples de MT (q0,$,$,  ,q1) (q1, 0, X,  , q2), (q1, Y, Y,  , q4), (q2, 0, 0,  , q2), (q2, 1, Y,  , q3), (q2, Y, Y,  , q2), (q3, 0, 0,  , q3), (q3, X, X,  , q1), (q3, Y, Y,  , q3), (q4, Y, Y,  , q4), (q4, #, #, H , q5) X Y $ # q3

$ # Exemples de MT (q0,$,$,  ,q1) (q1, 0, X,  , q2), (q1, Y, Y,  , q4), (q2, 0, 0,  , q2), (q2, 1, Y,  , q3), (q2, Y, Y,  , q2), (q3, 0, 0,  , q3), (q3, X, X,  , q1), (q3, Y, Y,  , q3), (q4, Y, Y,  , q4), (q4, #, #, H , q5) X Y $ # q1

$ # Exemples de MT (q0,$,$,  ,q1) (q1, 0, X,  , q2), (q1, Y, Y,  , q4), (q2, 0, 0,  , q2), (q2, 1, Y,  , q3), (q2, Y, Y,  , q2), (q3, 0, 0,  , q3), (q3, X, X,  , q1), (q3, Y, Y,  , q3), (q4, Y, Y,  , q4), (q4, #, #, H , q5) X Y $ # q4

$ # Exemples de MT (q0,$,$,  ,q1) (q1, 0, X,  , q2), (q1, Y, Y,  , q4), (q2, 0, 0,  , q2), (q2, 1, Y,  , q3), (q2, Y, Y,  , q2), (q3, 0, 0,  , q3), (q3, X, X,  , q1), (q3, Y, Y,  , q3), (q4, Y, Y,  , q4), (q4, #, #, H , q5) , X Y $ # q4

$ # Exemples de MT (q0,$,$,  ,q1) (q1, 0, X,  , q2), (q1, Y, Y,  , q4), (q2, 0, 0,  , q2), (q2, 1, Y,  , q3), (q2, Y, Y,  , q2), (q3, 0, 0,  , q3), (q3, X, X,  , q1), (q3, Y, Y,  , q3), (q4, Y, Y,  , q4), (q4, #, #, H , q5) X Y $ # q4

$ # Exemples de MT (q0,$,$,  ,q1) (q1, 0, X,  , q2), (q1, Y, Y,  , q4), (q2, 0, 0,  , q2), (q2, 1, Y,  , q3), (q2, Y, Y,  , q2), (q3, 0, 0,  , q3), (q3, X, X,  , q1), (q3, Y, Y,  , q3), (q4, Y, Y,  , q4), (q4, #, #, H , q5) X Y $ # q5

État initial de la machine Exemples de MT État initial de la machine q0 1 $ # État final de la machine X Y $ # q5 La machine remplace 0n1n par Xn Yn

 définie par les quintuplets (q0,$,$,  ,q1) Exemples de MT Exemple-2 M= (, Q, q0, )  = {0, 1, $,#} Q = {q0, q1, q2, q3}  définie par les quintuplets (q0,$,$,  ,q1) (q1, 0, #,  , q1), (q1, 1, #,  , q1), (q1, #, #,  , q2), (q2, #, #,  , q2), (q2, $,$, H , q3),

Exemples de MT (q0,$,$,  ,q1) (q1, 0, #,  , q1), ( q1, 1, #,  , q1), (q1, #, #,  , q2), (q2, #, #,  , q2), (q2, $,$, H , q3), 1 $ # q0 (q0,$,$,  ,q1) 1 $ # q1 (q1, 0, #,  , q1), (q1, 1, #,  , q1), # $ q1 (q1, #, #,  , q2), # $ q2 (q2, #, #,  , q2), (q2, $,$, H , q3), # $ q3

État initial de la machine Exemples de MT État initial de la machine 1 $ # q0 État final de la machine # $ q3 La machine efface (remplace par des caractères blancs) toutes chaîne de caractères formée sur {0,1}

 définie par les quintuplets (q0,$,$,  ,q1) Exemples de MT Exemple-3 M= (, Q, q0, )  = {0, 1, $,#} Q = {q0, q1, q2, q3}  définie par les quintuplets (q0,$,$,  ,q1) (q1, 0, 1,  , q1), (q1, 1, 0,  , q1), (q1, #, #,  , q2), (q2, 0, 0,  , q2), (q2, 1, 1,  , q2), (q2, $,$, H , q3),

Exemples de MT (q0,$,$,  ,q1) (q1, 0, 1,  , q1), (q1, 1, 0,  , q1), (q1, #, #,  , q2), (q2, 0, 0,  , q2), (q2, 1, 1,  , q2), (q2, $,$, H , q3), 1 $ # q0 (q0,$,$,  ,q1) 1 $ # q1 (q1, 0, 1,  , q1), (q1, 1, 0,  , q1), 1 $ # q1 (q1, #, #,  , q2), 1 $ # q2 (q2, 0, 0,  , q2), (q2, 1, 1,  , q2), (q2, $,$, H , q3), 1 $ # q3

Représentation de MT

La fonction de transition d’une MT peut être donnée par: Représentation de MT La fonction de transition d’une MT peut être donnée par: L’ensemble des quintuplets de la fonction de transition Une table de transitions T de dimension nxn (où n est le nombre des états de la MT) : Chaque élément T(i,j) est un ensemble de triplets de la forme(a,b,A) et désigne le quintuplet (qi,a,b,A,qj) Un graphe orienté: les sommets représentent les états de la MT , et les ars sont annotés par des triplets. Un arc de qi vers qj noté par (a,b,A) désigne le quintuplet (qi,a,b,A,qj)

Représentation de MT (q0,$,$,  ,q1) (q1, 0, 1,  , q1), (q1, 1, 0,  , q1), (q1, #, #,  , q2), (q2, 0, 0,  , q2), (q2, 1, 1,  , q2), (q2, $,$, H , q3), q0 q1 q2 q3 ($,$, ) (0, 1, ) (1, 0, ) (#, #, ) (0, 0, ) (1, 1, ) ($,$, H) q0 q1 q2 q3

Représentation de MT (q0,$,$,  ,q1) (q1, 0, 1,  , q1), (q1, 1, 0,  , q1), (q1, #, #,  , q2), (q2, 0, 0,  , q2), (q2, 1, 1,  , q2), (q2, $,$, H , q3), (0, 1, ) (1, 0, ) (0, 0, ) (1, 1, ) ($,$, H) ($,$, ) (#, #, ) q0 q1 q2 q3

Configuration d’une MT

1. L’état de contrôle qui est un élément de Q, Configuration Une configuration d’une machine de Turing est l’état global de la machine à un instant donné. Elle comprend: 1. L’état de contrôle qui est un élément de Q, 2. Le contenu de la bande 3. La position de la tête de lecture sur la bande.

Configuration abBAbabb q bBAaAB Si la machine se trouve dans un état q, la configuration est écrite uqv où u est le contenu de la bande (strictement) à gauche de la tête de lecture v est le contenu de la bande à droite de la tête de lecture ( la tête de L/E pointe le 1er symbole de v

Configuration initiale Au départ, la bande contient la donnée initiale et la tête de lecture se trouve sur la première position de la bande. La configuration initiale s’écrit donc q0w Où q0 est l’état initial w est la donnée initiale.

q0$0110100 $ q10110100 $ 1001011q1 $ 100101q21 Configuration q0 q1 1 $ $ # q0 q0$0110100 1 $ # q1 $ q10110100 1 $ # q1 $ 1001011q1 $ 100101q21 1 $ # q2

Calcul d’une MT

Un calcul d’une machine de Turing se décompose en étapes. Une étape d’un calcul consiste à passer d’une configuration à une autre configuration en appliquant une des transitions Une étape de calcul comprend les trois actions suivantes : 1. Changer l’état de contrôle, 2. Ecrire un symbole à la place du symbole sous la tête de lecture 3. Déplacer la tête de lecture d’une position vers la gauche ou la droite.

C’ est obtenu en appliquant une transition à la configuration C Calcul Etape de Calcul Une étape de calcul est une paire de configuration (C, C') notée C > C' telle que : C’ est obtenu en appliquant une transition à la configuration C (q0,$,$,  ,q1) q0$0110100 $ q10110100 C C’ C > C'

Un calcul est une suite de configurations successives Définition Un calcul est une suite de configurations successives C0 > C1 >... > Ck.

Graphe des configurations

Un chemin dans ce graphe est donc un calcul de la machine M. Graphe des configurations Définition Le graphe des configurations d’une machine de Turing M est le graphe où: - l’ensemble des sommets est l’ensemble de toutes les configurations de M - les arêtes sont les paires (C,C') de configurations telles que C > C'. Un chemin dans ce graphe est donc un calcul de la machine M.

Utilisation des MT

Il y a deux modes d'utilisation des machines de Turing: Utiliser une machine comme accepteur Utiliser une machine comme un calculateur

Dans le mode accepteur: Utilisation MT comme accepteur Dans le mode accepteur: On fournit un mot d'entrée à la machine et celle-ci répond par oui ou par non. Quand la machine répond oui, on dit que le machine accepte le mot. La machine définit alors l'ensemble des mots qui sont acceptés. Par convention, on dit que la machine accepte un mot w s'il existe au moins un calcul acceptant avec w comme entrée, c'est-à-dire qui commence avec la configuration q0w. L'élément important de cette définition est qu'un seul calcul acceptant suffit pour que la machine accepte même si d'autres calculs bloquent ou n'atteignent jamais une configuration acceptante

Dans le mode calculateur: Utilisation MT comme calculateur Dans le mode calculateur: On fournit un mot d'entrée à la machine et celle-ci retourne un ou plusieurs mots de sortie. Quand la machine ne donne toujours qu'un seul mot de sortie, elle calcule une fonction qui associe le mot de sortie au mot d'entrée. Les mots de sortie sont par convention les contenus de la bande des dernières configurations des calculs acceptants. On met donc le mot d'entrée sur la bande, la machine effectue un calcul jusqu'à ce qu'elle atteigne un état final et le contenu de la bande constitue alors un des mots de sortie. Comme il peut y avoir plusieurs calculs acceptants, il peut y avoir plusieurs mots de sortie. Dans le cas d'une machine déterministe, il y a au plus un seul calcul acceptant et donc au plus un seul mot de sortie.

Utilisation TURING a montré qu’on peut combiner plusieurs machines simples pour obtenir une machine capable d’effectuer tous les calculs que l’on sait décrire explicitement.

Machines de Turing et ordinateurs

Les machines de Turing sont une abstraction des ordinateurs Machines de Turing et ordinateurs Les machines de Turing sont une abstraction des ordinateurs La partie de contrôle représente le microprocesseur. Ceci prend en compte que les microprocesseurs possèdent un nombre déterminé de registres d’une taille fixe et que le nombre de configurations possibles est fini. La bande représente la mémoire de l’ordinateur. Ceci comprend la mémoire centrale ainsi que les mémoires externes telles les disques durs. La tête de lecture représente le bus qui relie le microprocesseur à la mémoire.

Différences entre MT et Ordinateur Machines de Turing et ordinateurs Différences entre MT et Ordinateur Contrairement à un ordinateur, la mémoire d’une machine de Turing est infinie. Ceci prend en compte qu’on peut ajouter des disques durs à un ordinateur de façon (presque) illimitée. l’ordinateur peut accéder à la mémoire de manière directe alors que la tête de lecture de la machine de Turing se déplace que d’une position à chaque opération.

Fin

Cours LFI-2 (Master Académique) Machines de Turing (partie 2) Cours LFI-2 (Master Académique) 2007/2008

Plan Autres définitions des MT Quelques types de MT MT à ruban Bi-infini MT à ruban bidimensionnel MT à rubans multiples ……..