Modélisation des maladies transmissibles Séminaire sur les maladies transmissibles Journée DES du 3 octobre 2011 Caroline Savalle Nicolas Griffon

22 Solutions concrètes : prédire l’évolution de l’épidémie, l’efficacité des actions envisagés… Définition Modéliser, c’est convertir un problème concret, issu du monde réel, en termes de nature mathématiques Pour lui appliquer les outils, les techniques et les théories mathématiques… Et trouver des solutions concrètes ! Nécessité d’alimenter le modèle : Observations Hypothèses

Différents types de modèles 33 Modèles compartimentaux Un modèle trop simple est faux, un modèle trop compliqué n’est pas exploitable Différents types de modèles Naissance τ: immunité temporaire ν γ : vaccination β α x Susceptibles y Infectés z Retirés δ2 δ3 δ1 Mort

Le modèle SIR β α x Susceptibles y Infectés z Retirés α le taux d’infection Β le taux de retrait

Situation épidémique Théorème de seuil Une épidémie suppose une augmentation du nombre de personnes infectées : Théorème de seuil

Taux de reproduction C’est le nombre de cas secondaires directement infectés par une unique personne infectieuse, placée dans une population totalement susceptible à la maladie.

Enrayer une épidémie Augmenter β : Diminuer α : Diminuer x(t) 77 X en cas de maladie émergente = N Enrayer une épidémie Augmenter β : Traiter les cas Diminuer α : Port de masque Lavage des mains Diminuer x(t) Vacciner la population :

Couverture vaccinale d’enrayement Exemples empiriques Maladie R0 Couverture vaccinale d’enrayement Grippe 1,5-2,5 33%-60% SRAS 2-3 50%-67% Rougeole 15-20 93%-95% Variole 4-5 75%-80% Chikungunya 3-5 67%-80% Ebola 3-4 67%-75%

Intervalle intergénérationnel Durée D entre la survenue d’un cas index et la survenue des cas fils Estimation de l’incidence : D D D D

Intervalle intergénérationnel (jours) Exemples empiriques Maladie R0 Intervalle intergénérationnel (jours) Grippe 1,5-2,5 2-4 Rougeole 15-20 15 SRAS 2-3 10 Variole 4-5 20 Chikungunya 3-5 10-15 Ebola 3-4 8-10

EXEMPLES

Exemple 1 : Bernouilli et la variole Tenter de savoir si l'inoculation de la maladie présente plus d'avantages que de risques pour la population sujette à cette épidémie.

Étape 1 : retenir les hypothèses « Quant au risque annuel d’être attaqué par la petite vérole, pour ceux qui ne l’ont pas eue, j’ai cru ne pouvoir satisfaire aux notions générales que nous avons sur cette maladie, qu’en la supposant d’un huitième, ce rapport de 1 sur 8 étant supposé constant » « Disons encore un mot sur le risque de la petite vérole pour ceux qui en sont attaqués : la plupart l’ont fait d’un septième ; je l’ai un peu diminué, en le faisant d’un huitième » ...

Étape 2 : mettre en équations Modèle SIR avec mortalité

Étape 3 : résoudre les équations Laissons faire les mathématiciens...

Étape 4 : analyser les résultats et la validité de la modélisation Impact de l’éradication de la maladie : 4 années d'espérance de vie supplémentaires « … je me suis attaché surtout, à exposer dans une même Table les deux états de l’humanité, l’un tel qu’il est effectivement, et l’autre tel qu’il serait si on pouvait affranchir de la petite vérole tout le genre humain. J’ai pensé que le parallèle de ces deux états en expliquerait mieux la différence et le contraste, que ne ferait le plus ample commentaire… » Plaidoyer pour la variolisation Risque individuel et bénéfice collectif

Exemple 2 : Ross et le paludisme 2 camps s’affrontent : Éradiquer les moustiques  éradiquer le palu Éradiquer les moustiques  éradiquer le palu R Ross modélise le paludisme pour étayer sa théorie

Étape 1 : formulation d'hypothèses Modèle SI double

Étape 2 : mise en équation

Étape 4 : conclusions Théorème du moustique de Ross : Réduction de la population de moustiques pour combattre le paludisme Éradication des moustiques non nécessaire Diminuer le R0 R0 dépend de beaucoup d'autres facteurs que le nombre de moustique Lutte anti-vectorielle et disparition du paludisme dans certaines régions

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22222222 Leroy A. Un exemple de modélisation. Bulletin vert de l’APMEP n°459 Bibliographie http://lertim.timone.univ- mrs.fr/Ecoles/infoSante/2007/supports_ppt/lundi%2016%20juill et/Flahault_Corte_0707.pdf http://mbb.univ-montp2.fr/MBB/uploads/sallet.pdf Boelle PY. La modélisation des épidémies de maladies émergentes : les exemples du chikungunya et de la pandémie grippale. Responsabilité & Environnement. 2008(07);51:49-55 Dartois Y. Modélisation des épidémies. IREM « Un exemple de modélisation » par Annette Leroy