Rappel et Suite du 1 er Cours. Tables de Mortalité.

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1 Rappel et Suite du 1 er Cours

2 Tables de Mortalité

3 c’est-à- dire, parmi les N(t) survivants, ceux qui n’ont pas encore eu la variole. Enfin m(t) représente le taux annuel de décès par d’autres causes que la variole au sein des deux populations

4 on se propose de calculer x(t).

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7 La seconde équation est obtenue à l’aide d’un raisonnement analogue.

8 Maintenant en fractionnant l’année, on Obtient: C’est-à-dire,

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10 En considérant que x(t) et N(t) dérivables et qu’on a de petites accroissement le dernier système devient: x′(t)=-a x(t)-m(t) x(t) N ′(t)=-b x(t)-m(t) N(t) avec a=1/8 et b= 1/64.

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13 Étape 4 : analyser les résultats: La partie proprement mathématique est maintenant terminée. Il reste à examiner les résultats et analyser la pertinence de la modélisation.

14 Usage des Equations différentielles en Modélisation 1er Modèle de Croissance: Hypothèse: `A chaque instant, la croissance de la population est proportionnelle à son effectif i.e. /= (hypothèse Malthusienne,"Thomas Robert MALTHUS, 1766−1834"). La désintégration atomique est un cas de (décroissance) régi par la même équation mais avec <0.

15 2eme modèle de croissance: Hypothèse: `A chaque instant, la croissance de la population est “proportionnelle” `a son effectif, mais inhibée par des ressources limitées i.e. /=(−) ("hypothèse de Verhulst,Pierre F. VERHULST 1804−1849") Il est clair que sera un point d’équilibre, car la dérivée de est nulle quand =

16 Questions Quelles équations modélisent le problème ? Nos équations ont-elles une solution ? Si oui, cette solution est-elle unique ? Pouvons-nous en calculer la ou les solutions? Sinon pouvons-nous calculer une forme approximative de la solution ? Nos résultats sont-ils conformes aux observations ? Si non, changeons les équations et recommençons !

17 Modélisation du transfert de la chaleur dans une tige

18 1 Introduction Le transfert de chaleur, l’écoulement d’un fluide en milieu poreux ou encore la diffusion moléculaire dans un solide sont tous gouvernés par la même équation aux d´dérivées partielles

19 Examinons une portion cylindrique d’une tige isolée thermiquement. Nous allons voir comment la température du cylindre ci-dessous varie quand il reçoit (ou perd) de la chaleur provenant du reste de la tige.

20 Figure 1: Schématisation du transfert de chaleur.

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22 ça veut dire que: le flux de chaleur est proportionnel à la dérivée de la température par rapport à sa position suivant l’axe x.

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27 Conclusion Nous avons vu que le phénomène de transfert de chaleur dans une tige satisfait l’équation de la chaleur. Inversement l’équation de la chaleur modélise un phénomène de diffusivité.

28 Cours 2 Modélisation Mathématiques Modélisation mathématique. En rapport avec des équations différentielles

29 Seau percé et datation au carbone 14 Pour un seau percé, est-il possible de savoir s’il a contenu de l’eau et a fortiori quand! Pour les restes de matière organique, la désintégration du carbone radioactif C14 permet-il de dater (approximativement) l’origine de cette matière. Dans la seconde situation, nous pouvons remonter dans le passé, alors que dans la première, c’est impossible! Pourquoi?

30 Seau percé

31 Datation au carbone 14

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33 Où est la différence?

34 Quel critère permet de savoir, sans la calculer, s’il existe une solution et si elle est unique?

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36 Seau percé et datation carbone

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