l ‘ ordre dans le désordre Les Fractales: l ‘ ordre dans le désordre

Fiche de présentation: Introduction aux fractales I Les formules mathématiques à savoir II Ensembles Julia et Mandelbrot III La dimension fractale et la courbe de Koch IV Les fractales et la nature V Fractales et Caos

Introduction aux fractales: C’est grâce au français Benoit Mandelbrot que sont nées les fractales en 1962. Diplomé de l’école polytechnique, il débute comme chercheur chez IBM puis est nommé professeur d’économie à Harvad, au moment de sa découverte. C’est en observant les variations des prix sur le marché qu’ils se rend compte que la nature des courbes de celles-ci est la même à court terme qu’à long terme. Il en déduit l’idée de “self similarité” géométrique. On retrouve chaque partie comme étant une image réduite d’un tout. C’est donc une forme à dimensions fractionnaires: d’où le mot fractale, venant du latin “fractus” qui désigne un objet fracturé. Une fractale est un objet qui présente des répétitions d’une même forme à différentes échelles et qui est toujours une copie de la forme originelle. Les fractales permettent de caractériser des objets ayant une forme très irrégulière comme la côte bretonne par exemple. Les formules mathématiques des nombres complexes et de récurrence s’appliquent très bien à de tels objets. Pour avoir une idée plus concrète sur ce que sont des objets fractales il suffit d’observer la nature. Ainsi la répartition des galaxies et des étoiles dans l’univers, les brocolis et les choux-fleurs présentent ces caractéristiques. Les fractales sont également en relation avec le chaos.

Formules mathmatiques Géométrie fractale Pour créer des fractales, à l'aide d'un ordinateur, on utilise une transformation affine linéaire, qui modifie la taille , la position et l'orientation spatiale d'une figue géométrique, tout en conservant les droites, telle que: r, s et h sont des constantes que l'on définit, A et B sont des angles en degrés définis respectivement par rapport à l'axe des abscisses et à l'axe des ordonnées. La méthode établie par Barnsley pour construire des fractales utilise cette transformation. Pour construire le triangle de Sierpenski par exemple, à partir d'un triangle initial, on effectue trois transformations affines, puis on superpose les trois triangles obtenus , ce qui constitue la figure de base à partir de laquelle on va construire le triangle de Sierpenski.

transformations r s h k A B 1ère 0,5 2ème 3ème 0,25

L'algorithme employé a: On utilise ensuite l'ordinateur en employant la méthode démontrée par Barnsley: On choisit un pont initial sur un des trois triangles construits, et a partir de celui-ci on applique plusieurs fois les transformations affines établies pour générer la figure 1, dans un ordre pris au hasard. Sur la plan se dessine alors l'orbite de l'itération ainsi générée, qui a une structure fractale(dans le cas présent il s'agit du triangle de Sierpenski.) L'algorithme employé a: Pour initialisation: un point qu'on fixe de départ Pour boucle: le point suivant est l'image par la transformation choisie du point qui vient d'être construit( par la même transformation ou par une autre) Pour condition d'arrêt: on atteint un nombre d'itérations fixé par l'utilisateur. On peut également construire une feuille présentant une forme fractale. Pour ceci, on applique 4 transformations affines sur un rectangle:

A partir des quatre rectangles obtenus, qui forment notre figure de base, on recommence l'algorithme utilisé précédemment, avec les 4 transformations présentées ci-dessus, mais en tenant en compte cette fois ci la probabilité de visite de chaque région spatiale, qui est proportionnelle à aire de celle-ci. Tranformations r s h k A B 1ère 0,16 0,0 2ème 0,3 0,37 0,44 135 -40 3ème 0,34 1,6 45 4ème 0,85 -1,5

P1=0,005, P2=0,0975; P3=0,0975; P4=0,8

Ensembles Julia et Mandelbrot: Deux mathématiciens du début du XXème siècle, Gaston Julia et Pierre Fatou inaugurent les itérations avec les nombres complexes. Ils utilisent des fonctions récurssives comme: Z n+1=Zn²+C aves C une constante complexe. Ils démontrent que si on prend un nombre, qu’on l’élève au carré et on rajoute une constante et on fait de même pour tous les résultats obtenus on obtient alors des séquences de nombres complexes dont les caractéristiques dépendent des nombres Zo et C choisies. Une fonction peut diverger vers l’infini ou sinon converger (la plupart du temps vers une valeur fixe). Ce fut Fatou qui démontra en 1906 que l’itération tend vers l’infini lorsqu’elle est appliquée, pour chaque valeur de c, sur tous les points du plan complexe sauf pour un ensemble de points bien précis. Pour ceux-ci il y a une répétition de la même séquence de nombresaprès un certain nombre d’itérations.

L’ensemble de Julia: On itère la même fonction Zn+1= (Zn)² + c en prenant un c fixé et en faisant varier la valeur du Z initial. L’ensemble est formé par les points “prisonniers” c’est à dire ceux dont l’orbite converge. Ainsi à l’aide d’un logiciel on arrive grâce aux couleurs a séparé les foncions qui convergent et qui forment donc l’ensemble Julia de celles qui diverges. Pour localiser ces points “prisonniers” on recherche dans le pan la frontière à partir de laquelle pour un nombre C choisi l’orbite ne tend plus vers l’infini. Les ensembles de Julia varient selon la valeur C choisie comme on peut le voir dans le logiciel ci-joint. La forme qui apparait est bien celle d’une fractales puiqu’à différentes échelles la figure reste la même. Il existe deux types d’ensembles de Julia: -ceux qui présentent une figure formée d’une seule pièce -ceux dont la figure est formée par une infinité de points plus ou moin isolés.

Ensemble Julia

L’ensemble Mandelbrot: Pour construire cet ensemble on prend comme valeur fixe Zo=0 et on fait varier certaines valeurs de c. Celles-ci correspondent aux valeurs qui conduisent à des ensembles de Julia dont l’aire est constitué d’une seule pièce Pour repérer ces valeurs de c, Mandelbrot à utilisé un théorème démontré par Julia et Fatou en 1919: Toutes les valeurs de c pour lesquelles l’ensemble de Julia à une aire qui correspond à une seule pièce ont la propriété commune de produire des orbites qui convergent lorsqu’on applique l’itération Zo=0. Si l’itération appliquée sur Zo=0 produit des orbites qui divergent vers l’infini alors l’ensemble de Julia sera formé d’une infinité de points plus ou moins isolés.. Ceci donne lieu à un unique ensemble de Mandelbrot. Tout en ayant les caractéristiques d’une fractales il y a de nouveaux traits qui apparaissent à chaque amplification. On peut dire alors qu’il s’agit d’une fractale non linéaire. De belles figures se créent lorsqu’on fait varier la couleur selon les valeurs de C.

Ensemble Mandelbrot

La courbe de Koch et dimension fractale Pour les fractales, il est impossible de mesurer une longitude ou un périmètre précis, étant donné que les itérations à partir desquelles sont construites les figures peuvent se reproduire de façon infinie: Ainsi, ce qui permet de caractériser une fractale, de distinguer les fractales les unes des autres, est leur dimension de Haussdorf. Soit N, le nombre de sections obtenues lorsque nous divisons un objet, L la longueur de l'objet initial et l celle des sections identiques obtenues après la division:

Où df est la dimension de Haussdorff Pour dessiner la courbe de Koch, on prend un triangle équilatéral comme figure initiale, puis au milieu de chaque côté on rajoute un triangle équilatéral dont le côté est trois fois plus petit que le côté initial. On répète ceci plusieurs fois et on obtient la figue suivante: Chaque côté du triangle, mesurant L, est découpé en 3 segments de longueur l=L/3 , on obtient N= 4 segments de même longueur.

La dimension fractale peut donc ne pas être un nombre entier( alors que dans la géométrie euclidienne les dimensions sont toujours entières), elle nous donne une idée de l'extension de l'objet dans l'espace. La courbe de Koch occupe un espace supérieur à une droite mais inférieur à un plan. Les côtes terrestres, assimilées à des fractales, ont une dimension de Haussdorf comprise entre 1,15 et 1,35 Le triangle de Sierpenski On divise un triangle équilatéral de côté l, en quatre triangles équilatéraux de côté l=L/2. On conserve le triangle central et on répète ceci dans les trois autres triangles. On a ainsi N=3

Le tapis de Sierpenski On divise un carré de coté L, en neuf carrés de côté l=L/3. On garde les huit carrés qui sont autours du carré du milieu, puis on recommence le même processus sur chacun de ses carrés. On a donc N=8 Après de nombreuses répétitions, on obtient les triangles et tapis de Sierpenski suivants:

Les fractales et la nature: Si l’idée que l’on a sur les fractales est encore un peu flou, il faut alors s’aider d’images et d’objets concrets. Heureusement la nature en contient beaucoup que se soit la forme des feuilles, des arbres, des fruits ou même des côtes de nos continents, à partir des nouvelles théories sur la dimension fractale et des applications de Mandelbrot et Julia pour fabriquer des objets fractales, on a réussi a reproduire des formes de la nature. Pour cela un scientifique, Aristid Lindenmayer, met en place une technique pour former des structures complexes comme la fougère, les flocons de neige ou des bronches de poumons, à partir des “L-systèmes”. Ces L- systèmes sont des ensembles de règles et de symboles modélisants un processus de croissance. Chaque règles permettent de construire une chaine de symboles modifiés à chaque étape de la modélisation. un exemple: si on échange chaque lettre A par une lettre B et chaque lettre B par les lettres AB voici le modèle que l’on obtient: première étape: A deuxième étape: B troisième étape: AB

Un autre exemple en suivant toujors le même modèle serait: forme d’origine: AB (2) deuxième étape: BAB (3) trosième étape: ABBAB (5) quatrième étape: BABABBAB (8) dernière étape: ABBABBABABBAB (13) On obtient alors une chaîne dite de Fibonnacci (1,1,2,3,5,8,13,21,…) Certains systèmes ont une capacité d’auto-organisation sur des structures macroscopiques complexes. Elles sont caractérisés par une forte sensibilité aux variations exterieures mais elles ont la possibilité de s’adapter. Grâces a ces nouvelles techniques on peut maintenant étudier le développement d’un embryon à différentes étapes Les automates cellulaires. Découverts par John Von Neumann et Stanislas Ulam, ils servent le plus souvent à représenter la reproduction de certains systèmes biologiques. Ces automates cellulaires peuvent évoluer vers différentes structures, parmi lesquelles on trouve celles qui sont chaotiques (sans limite dans le temps) Un espace à deux dimensions est divisé en cellules. Celles-ci sont considérées comme des entités individuelles, susceptibles de changer d'états selon des règles qui dépendent de la configuration des états des autres cellules voisines. Ainsi, le principe de la construction de ces automates cellulaires est le suivant: on choisit un ensemble de cellules, chacune d'elles se trouvant dans un état caractérisé par un numéro. Une fois qu'on a choisi un état initial pour l'ensemble du système, on étudie comment celui-ci évolue au cours du temps. Les règles qui établissent le changement d'état de chaque cellule tiennent en compte la situation de celle-ci et de ses voisins les plus proches. Exemple: Un automate unidimensionnel est formé par des cellules qui peuvent être occupées par un organisme vivant( elles sont notées par le numéro 1), ou peuvent être vides ( numéro 0). Prenons la distribution suivante:

On répète le même processus plusieurs fois et on obtient: 1 Règle d'évolution: Chaque organisme peut survivre à l'étape suivante si et seulement si il n'est pas entouré des deux côtés par des organismes vivants. Dans un endroit qui est vide apparaît un organisme vivant si au moins un de ses voisins est un organisme vivant. On répète le même processus plusieurs fois et on obtient: 1 On peut répéter ceci plusieurs fois, grâce à l'ordinateur. Après 100 étapes, on obtient la figure suivante: Les espaces vides sont en noirs, ceux où il y a un organisme vivant sont en blancs. Si on suppose qu'il y a initialement un seul organisme vivant situé sur une cellule centrale, on obtient une figure qui est très proche du tapis de Sierpenski Avec la règle que nous avons déterminée, nous obtenons des structures complexes, autosimilaires avec une dimension fractale.

La figure a est celle que nous obtenons avec l’automate présenté auparavant. Si nous avions placé un seul organisme vivant dans une cellule centrale, nous aurions la figure b, proche du triangle de Sierpenski. Des règles d’évolution différentes conduisent aux figures c et d, dont la structure n’est plus fractale.

Si on considère un nombre plus important d'états possibles pour les cellules et différentes règles d'évolution, les automates cellulaires représente la formation d'ondes chimiques, la croissance d'un flocon de neige, etc. Lorsqu'on introduit des éléments aléatoires dans les règles qui dictent leur comportement, ils deviennent des models adéquats pour des phénomènes tels que la propagation de maladies infectieuses, la distribution de certaines espèces de plantes dans la forêt, etc.

Fractales et Chaos Le chaos est la perte de la capacité à prévoir le futur à long terme. Un système chaotique est imprévisible car il dépend extrêmement des spécificités des conditions initiales à partir desquelles on veut étudier son évolution une légère différence dans les données initiales peut conduire à des résultats très différents. Ceci est mis en évidence par ce que l'on appelle en météréologie "l'effet papillon": Un simple battement d'ailes d'un papillon, modifiant légèrement les conditions dans lesquelles il se produit, peut provoquer un cataclysme. Une perturbation mineur peut donc avoir de grandes répercutions. Toutefois cette image ne correspond pas exactement à la réalité, car il existe des phénomènes limitant l'influence du battement sur l'atmosphère;. elle permet seulement de comprendre la sensibilité de certains systèmes aux conditions initiales. Exemple de l'évolution d'une population d'insectes L'itération qui permet d'étudier l'évolution d'une population d'insectes est : Ni+1=aNi-bNi2 On suppose que a=b, constantes, afin de simplifier les calculs, ceci ne modifiant pas le résultat. Ni+1=aNi-aNi2 Ni+1=aNi(1- Ni) En analysant la courbe de l'évolution de la population d'insectes, pour différentes valeurs de a, au cours du temps, on observe que: Si a<1, le taux de naissances est très bas, la population diminue chaque année et finit par disparaître( figure a) Si 1<a<3, il y a un équilibre entre les naissances et les décès. La population se maintient a une valeur constante différente de 0.( figure b)

Si a>3,lorsque a est proche de 3, la population oscille entre 2 valeurs possibles,( figure c) Lorsque a=3,4495 la population oscille entre 4 valeurs possibles( figure d) Ainsi, quand a augmente le même phénomène de duplication se produit à chaque branche et les périodes augmentent( figure e). A partir de a=3,5889 le comportement est chaotique et l'évolution temporelle est très susceptible aux caractéristiques de la population initiale choisie, tandis que dans las autres cas non.( figure f)

Si on réalise un diagramme de bifurcation montrant l'évolution de la population en fonction de a, on remarque que lorsque a est petit il y a une seule branche ( la population est constante), puis lorsque a augmente, on observe deux branches( la population oscille entre deux valeurs), puis a partir d'un certain a apparaît une région chaotique. Toutefois certaines sections, celles que sont en blancs récupèrent un comportement périodique. Si on fait des 26augmentations sur celles ci, on observe le même schéma de bifurcation que celui du diagramme initial. On a ainsi une structure fractale à l'intérieur de cette courbe d'évolution. On prend pour le premier diagramme des valeurs de a comprises entre 2,8 et 4 Le deuxième diagramme est un agrandissement de la bande blanche la plus large du premier diagramme( a est compris entre 3,835 et 3,857). Le troisième diagramme est également un agrandissement du la bande blanche la plus large du deuxième diagramme( a étant compris entre 3,8537 et 3,8542).

Experience: Matériel: deux plaques de verre de 1.5 cm d’ épaisseur et 40×40cm² de superficie dont une est perforée au centre. quatre supports de 30cm environ un liquide visqueux (sauce tomate, miel) un liquide fluide (eau, encre ) Protocole experimental: On superpose les deux plaques de verre en plaçant la plaque perforée au-dessus. Elles sont placées en hauteur grâce aux supports. On maintient les plaques à 0.05 cm de distance. On pose le liquide visqueux sur l’intérieur de la plaque inférieur.On injecte alors le liquide fluide entre les deux plaques à travers la perforation, à l’ aide d’ une seringue. On voit alors apparaítre sur le liquide visqueux des doigts, puis une fractale.

Conclusion: Les fractales ont connu un grand essort depuis peu de temps grâce à l’utilisation des ordinateurs qui a permis de résoudre des algorithmes assez complexes. Bien que l’ordinateur ne donne pas une démonstration mathématique, il permet d’avoir une idée sur le comportement des itérations. Les fractales sont la représentation géométrique de structures qui possèdent une dynamique chaotique. Lorsque le chaos intervient dans l’environnement on trouve des structures fractales (nuage, roches montagneuses; etc). Si on peut penser à première vue que la structure d’une montagne est désordonnée grâce aux fractales on se rend compte que celle-ci présente une auto-similarité, donc un ordre. Les fractales sont d’autant plus à la mode aujourd’hui qu’il existe des concours de création d’images fractales qui font intervenir des itérations récursives très complexes.