Modélisation du tir à l’arc Optimisation d’une branche dans le cadre des milieux curvilignes

Plan Présentation de l'arc et de sa modélisation Démarches et résultats numériques Validation expérimentale

Modélisation du tir à l‘arc – 16/02/04 Présentation du problème Objectif : maximiser l’énergie susceptible d’être transmise à la flèche Caractéristiques à optimiser : la raideur la forme de l’arc sans corde la longueur de la corde L’arc considéré à double courbure est un objet élancé, c’est-à-dire que l’une de ses dimensions est prépondérante devant les autres : on le modélise donc comme un milieu curviligne. La géométrie de l’arc est donnée à chaque instant par le champ des angles φ(s) que font les tangentes en chaque point de l’arc avec l’axe des abscisses. On ne considère que des actions de flexion. Dans un premier temps nous allons rappeler les hypothèses des milieux curvilignes, qui seront ensuite appliquées au problème de la modélisation de l’arc. Ensuite nous expliquons les méthodes pour obtenir le champ des angles φ(s) pour une force appliquée à la flèche donnée. Modélisation du tir à l‘arc – 16/02/04

Description de l’arc

Hypothèses des milieux curvilignes Nous négligeons les déformations des sections Nous effectuons l’hypothèse de Navier Bernoulli Nous considérons le milieu comme inextensible Nous négligeons les déformations des sections ou du moins la contribution de leur défor-mation à l’énergie de déformation élastique totale de l’arc.

La modélisation Nous supposons que la branche est un matériau élastique On ne tient pas compte des masses de la corde et de l’arc On ne considère que des actions de flexion X x(L) L corde y F=0 (L) y(L) ΔL Y F

Calcul de l’énergie potentielle On applique le théorème du minimum de l’énergie potentielle ∆L W(φ) On a essayé de résoudre ce système avec des solveurs « Matlab » qui sont ode45 et bvp4c. Le problème est que le premier solveur ne prend qu’une condition à l’origine. Quant au second, on doit lui donner une approximation de la solution, ce dont nous sommes incapables. Il est également très difficile de mettre les équations sous une forme utilisable par les solveurs, qui ne peuvent les résoudre que sous certaines formes classiques. Nous avons donc décidé d’utiliser un programme Scilab pour contourner ce problème. ΔL

La discrétisation Utilisation de solveurs numériques sans succès Nous devons discrétiser pour minimiser l’énergie Introduction de nouvelles hypothèses : Branche modélisée par une réunion de segments Raideur constante sur chaque segment Pas constant Cependant, le terme yF=0(L) négligé est une constante de l’arc, il ne fait que translater les courbes. Si on privilégie l’allure générale des graphiques, alors l’hypothèse d’omettre ce terme est acceptable. Par contre, d’un essai à l’autre, les valeurs numériques de l’énergie sont peu comparables, car la constante en question dépend de l’arc considéré. Dans l’hypothèse ou ces constantes sont petites devant les énergies calculées (sur le tronçon où le minimum d’énergie potentielle correspond à la solution physiquement acceptable), on peut considérer que les résultats que nous allons obtenir sont comparables, et donc qu’une optimisation grossière sera possible.

On dispose d’un programme… Que l’on adapte à nos besoins Initialisation des variables Pour chaque φinitial Pour une force F variant de 80 à 5 N Calcul des coordonnées des points de discrétisation de l’arc solution Traçage de l’arc Calcul grâce à CostEP du φsolution qui minimise l’Ep Traçage de l’arc sans corde Pour chaque k Programme initial Calcul de l’Ep de cet arc Appelfonc.sci Foncarc.sci CostEP.sci Ecriture dans le fichier Excel Traçage de la courbe de pesée

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Courbe de pesée d’un arc à poulies Critères d’évaluation Courbe de pesée d’un arc à poulies Ep Une éventuelle dérivée nulle ou négative de la fonction F=f(ΔL) Énergie disponible utilisable

L’approximation de la solution : φ0 Optimisation paramètre par paramètre L’approximation de la solution : φ0 On fournit au programme la 1ère valeur d’itération φ0 de la suite (φk) créée par l’algorithme d’optimisation et censée converger vers la solution du problème Vérification que φ0 n’a pas d’influence sur les résultats finaux

Optimisation paramètre par paramètre La raideur Arc mongol Variation de la répartition de la raideur tout en conservant une somme globale fixe sur une branche ayant la forme de celle d’un arc mongol On aboutit à : k = [3 11 13 15 26 9 5 3 5] On retrouve le pic de raideur au milieu de chaque demi branche

Optimisation paramètre par paramètre La longueur de la corde La longueur optimale dépend de la force avec laquelle on tire

Optimisation paramètre par paramètre La forme à l’état naturel : tableau φinitial Nous ne pouvons tester que quelques familles de forme d’arc, par soucis de temps de calcul… Forme à l’état initial optimale obtenue

Variation simultanée de tous les paramètres Démarche obligatoire car chacune des précédentes optimisations dépendait des paramètres fixés Cette méthode n’a pas abouti mais nous a cependant permis de mieux comprendre le fonctionnement du programme

Problèmes de retournement de l’arc Bilan des problèmes rencontrés L’optimisation se révèle irréalisable avec la méthode précédente en terme de temps de calcul Lorsque la force F est trop faible, l’algorithme renvoie un arc non retourné, qui ne correspond pas à la pratique Problèmes de retournement de l’arc

Pourquoi l’arc n’est-il pas retourné ? Minima locaux et globaux de l’Ep Mise en évidence du « problème » 2 façons de placer la corde en obtenant un minimum local d’énergie potentielle : soit entre les deux extrémités des branches vers l’intérieur soit vers l’extérieur (vers le haut) L’algorithme choisit toujours le minimum global 2 tentatives de parade : Limitation du domaine de recherche du tableau φ minimisant l’Ep Majoration du gradient de l’ Ep qu’utilise l’algorithme

Courbe de pesée dans le cas d’un arc non retourné Pourquoi est-ce un problème ? La courbe de pesée est faussée : démarche d’optimisation difficile On ne dispose pas de la forme de l’arc quand la force est nulle Courbe de pesée dans le cas d’un arc non retourné Dans une position intermédiaire où l’arc est presque plat, la corde peut être trop courte pour relier les 2 branches  L’exécution s’interrompt

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Modélisation du tir à l‘arc – 16/02/04 Mise en conformité du modèle avec la réalité φinitial(0) ≠ 0 Nécessité de la poignée Diminution le pas de discrétisation afin d’obtenir une meilleure approximation pour : - Modéliser la poignée - Tenir compte des variations rapides de la courbure en fin de branche Modélisation du tir à l‘arc – 16/02/04

Modélisation du tir à l‘arc – 16/02/04 Mesures expérimentales Mesure de la matrice des φinitial Obtention de la courbe de pesée expérimentale : – On paramètre la machine de traction On retrouve bien le changement de concavité typique de l’arc de type classique Modélisation du tir à l‘arc – 16/02/04

Calcul des raideurs La branche est composée de deux matériaux disposés en lamelles Pour déterminer les k, on utilise la formule Malheureusement, Eb et Efc sont inconnus, et les déterminer conduirait à altérer la branche Donc on obtient des k adimensionnés

Bilan de l’expérience Utilisation de la simulation pour déterminer Eb et Efc Mesure de la matrice φF=0 sur l’arc On paramètre le programme pour qu’il simule cette valeur Avec le φinitial voulu, la solution obtenue ne correspond à la solution physique qu’à partir d’une force F trop grande pour pouvoir poser φF ≈ φF=0

Perspectives Il existe des méthodes d’optimisation plus efficaces Le programme actuel donne des résultats valables à une constante près (yF=0) Il faudrait également trouver un moyen de rendre le programme capable de choisir la solution physiquement acceptable

FIN