Poitier (juin 1999) problème du brevet Bruno DELACOTE ANIM'Math : http://perso.wanadoo.fr/bruno.delacote/ Groupe tableau virtuel http://lamia.lille.iufm.fr/cv/

PROBLEME Poitiers 99 (12 points) L'unité de longueur est le centimètre. La figure ci-contre représente un trapèze rectangle ABCD. On donne : AB = 3 AD = 4 CD = 5 Les droites (AB) et (CD) sont parallèles. Les droites (AC) et (BD) se coupent en O. Première partie 1. Reproduire la figure en vraie grandeur. On pourra commencer la construction au centre d'une feuille de papier millimétré et compléter au fur et à mesure du problème. 2. Démontrer que le triangle BCD est isocèle. 3. Montrer que l'aire en centimètres carrés du trapèze ABCD est égale à16. On rappelle que l'aire d'un trapèze de bases B et b, de hauteur correspondante h, est égale à : ( B + b ) h 4. Montrer que 5. Les droites (AD) et (BC) se coupent en S. Placer le point S. Démontrer que les angles CBD et ABS ont même mesure. Deuxième partie 1. a) En posant SA = x , démontrer que : b) En déduire la distance SA. 2. Déterminer la valeur arrondie à un degré près de la mesure de l'angle ASB . 3. Construire le point B', symétrique du point B par rapport à la droite (AD). Construire le point S', image du point B' par la translation de vecteur AB 4. Tracer le segment [S'D]. On considère maintenant la figure comme une partie d'un patron de la pyramide de base ABCD, de sommet S et de hauteur [SA]. Terminer le patron de cette pyramide en prenant soin de coder sur la figure les segments de même longueur. 5. Calculer le volume de cette pyramide. A 3 B 4 D 5 C OA OC OD OB 2 x 3 x + 4 5

Le triangle BCD est bien isocèle en D car BD = DC L'unité de longueur est le centimètre. La figure ci-contre représente un trapèze rectangle ABCD. On donne : AB = 3 AD = 4 CD = 5 Les droites (AB) et (CD) sont parallèles. 2. Démontrer que le triangle BCD est isocèle. A D C B 3 4 5 Le Triangle ABD est rectangle en A, la relation de Pythagore s ’écrit : BD² = AD² + AB² On substitue puis on calcule BD² = 4² + 3² BD² = 16 + 9 BD² = 25 Le triangle BCD est bien isocèle en D car BD = DC BD = 5cm

Il suffit d ’appliquer la formule donnée : A = ( DC + AB) x AD / 2 3. Montrer que l'aire en centimètres carrés du trapèze ABCD est égale à 16. On rappelle que l'aire d'un trapèze de bases B et b, de hauteur correspondante h, est égale à : ( B + b ) h /2 A D C B 3 4 5 Il suffit d ’appliquer la formule donnée : A = ( DC + AB) x AD / 2 = ( 5 + 3 ) x 4 / 2 = 16 cm²

Finalement ABS = DCB = CBD Les droites (AB) et (CD) sont parallèles. Les droites (AC) et (BD) se coupent en O. OA OC OD OB 4. Montrer que 5. Les droites (AD) et (BC) se coupent en S. Placer le point S. Démontrer que les angles CBD et ABS ont même mesure. A D C B 3 4 5 O Les droites (AB) et (CD) sont parallèles, donc les triangles AOB et DOC sont en situation de Thalès et l’égalité est immédiate. Les angles DCB et ABS sont deux angles correspondants déterminés par deux droites parallèles, donc ils ont même mesure. Le triangle BCD est isocèle en D donc ses angles à la base ont même mesure : DCB = CBD. ( voir question 2) Finalement ABS = DCB = CBD

Deuxième partie 1. a) En posant SA = x , démontrer que : b) En déduire la distance SA. A D C B 3 4 5 O S x 3 x x + 4 5 x + 4 Les droites (AB) et (DC) sont parallèles donc l ’égalité de thalès s ’écrit : SA SB AB SD SC DC = 5x = 3(x + 4) 5x = 3x +12 2x = 12 x= 6 Je choisis 3 Finalement AS = 6cm x x + 4 5

Dans le triangle ASB rectangle en A, on a tan ASB = AB 3 4 5 O S 6 2. Déterminer la valeur arrondie à un degré près de la mesure de l'angle ASB . Dans le triangle ASB rectangle en A, on a tan ASB = AB AS tan ASB = 3/6 tan ASB = 0,5 Finalement la mesure de ASB est proche de 27°

Et calculer le volume de cette pyramide On considère maintenant la figure comme une partie d'un patron de la pyramide de base ABCD, de sommet S et de hauteur [SA]. Terminer le patron de cette pyramide en prenant soin de coder sur la figure les segments de même longueur. Construire le point S', image du point B' par la translation de vecteur BA 4. Tracer le segment [S'D]. Construire le point B', symétrique du point B par rapport à la droite (AD). A D C B 3 4 5 O S 6 Et calculer le volume de cette pyramide S ’ B ’ V = aire de la base x hauteur / 3 = 16 x 6 /3 ( voir question 3) = 32cm3 C’est fini !!!