Cours Ondes – ASINSA 2AT.M 2010 PARTIE 1 : INTRODUCTION AUX PHENOMENES ONDULATOIRES Plan du cours I. Introduction Définitions, vocabulaire, exemples d'ondes II. Ondes acoustiques Equation de propagation, grandeurs acoustiques

ONDE : Phénomène constitué par la propagation d'une perturbation dans un milieu Perturbation : variation locale d'un paramètre caractérisant l'état physique du milieu : pression, champ électrique, champ magnétique, température, contrainte mécanique, vitesse des particules, charge électrique, etc. Une onde ne transporte pas de matière, mais de l'énergie (vent / son) I. INTRODUCTION : Définitions

Elles transportent de l’énergie Elles permettent la transmission d’information Leurs manifestations (perturbations) se déplacent à une vitesse finie qui dépend de leur nature et de celle du milieu de propagation Caractéristiques fondamentales des ondes

4 Exemples d'ondes Ondes élastiques ou mécaniques (support matériel) ondes sur l ’eau corde vibrante son, ultrasons… ondes sismiques Ondes électromagnétiques (pas de support matériel) radio, micro-ondes, IR, lumière visible, UV, rayons X... Ondes corpusculaires - E = hν : Énergie associée à une onde électromagnétique de fréquence ν ) - λ = h/p : Longueur d’onde associée à une particule de quantité de mouvement p)

5 Introduction d ’une perturbation existence d ’une source : excitation rupture des conditions d ’équilibre Mécanisme de couplage Ondes sonores : force de rappel induite par les variations de pression Ondes à la surface d’un liquide : force de rappel induite par les forces de gravité ou de tension superficielle Milieu de propagation peu dissipatif (Peu d’absorption d’énergie) Conditions d’existence

la boule A vient frapper l’extrémité de la tige : énergie mécanique injectée dans la barre métallique (excitation) A Le choc met en mouvement autour de leur position d’équilibre les atomes du matériau constitutif de la barre B Onde de choc B Les liaisons entre atomes (couplage) induisent le transfert de proche en proche de leur mouvement : Propagation d’une onde de choc A l’extrémité de la barre, l’énergie est transférée à la boule B, initialement immobile Exemple 1 : onde de choc

7  Pas de transport de matière à grande distance : mouvement local puis retour à l'équilibre d’énergie  Propagation d’énergie le long du ressort Exemple 2 : Système masses-ressorts

8 Définition : Agent extérieur permettant d’introduire localement une perturbation dans le milieu de propagation La source fournit de l’énergie au système ou au milieu La source

9 Deux grands types d’excitation Impulsionnelle la source est activée pendant une courte durée l ’onde est dite pulsée Entretenue la source fonctionne en permanence. l’onde est dite entretenue cas particulier important : excitation entretenue harmonique (sinusoïdale) La source

10 Milieu à N dimensions (N=1, 2, 3…) nombre de directions permises pour la propagation 1D : tube acoustique, corde vibrante 2D : peau de tambour, surface de l ’eau 3D : son dans une salle de concert, ondes électro- magnétiques, radar, sonar… Le milieu de propagation Le nombre de dimensions N du milieu entraîne une écriture mathématique de l'onde en fonction de : N variables d'espace + 1 variable temporelle

11 Le milieu de propagation Milieu ou système ouvert pas de frontières  les ondes s’éloignent indéfiniment de la source Milieu ou système fermé frontières infranchissables  les ondes sont confinées  pas d ’échange d’énergie avec l ’extérieur Milieu ou système limité frontières franchissables  les ondes sont partiellement réfléchies ou transmises

12 La polarisation de l’onde Définition : direction de la perturbation Perturbation perpendiculaire à l'axe de propagation ≡ polarisation transversale Perturbation parallèle à l'axe de propagation ≡ polarisation longitudinale NB: ici, la polarisation reste forcément constante dans le temps (polarisation rectiligne)

13 Polarisation rectiligne le vecteur polarisation garde une direction constante au cours du temps Polarisation elliptique le vecteur polarisation change de direction au cours du temps en décrivant une ellipse (cet état de polarisation peut être vu comme la superposition de deux états de polarisation rectilignes orthogonaux et déphasés dans le temps) cas particulier : polarisation circulaire Polarisation aléatoire (« onde non polarisée ») le vecteur polarisation change de direction au cours du temps en prenant une direction aléatoire (cas de la lumière naturelle provenant du soleil) Etats de polarisation = f°(temps)

Propagation d’une ola (onde transversale) dans un stade Propagation d’une onde de compression longitudinale (onde acoustique) EXEMPLES : ondes impulsionnelles Propagation d’un ébranlement transversal le long d’une corde Animation courtesy of Dr. Dan Russell, Kettering University

Propagation d’ondes sur l’eau (combinaison d’ondes longitudinale et transversale) Propagation d’une onde de cisaillement transversale (onde élastique) EXEMPLES : ondes entretenues Propagation d’une onde de compression longitudinale (onde acoustique)

16 Traduction mathématique dans un milieu illimité 1D : Ondes progressives Une onde progressive u est une perturbation, de l ’état d ’équilibre d ’un système, qui se déplace sans déformation à vitesse constante V. u(x 2,t 2 ) = u(x 1,t 1 ) x 2 = x 1 + V(t 2 - t 1 ) x 2 - V t 2 = x 1 - V t 1 L’onde progressive peut être vue comme une fonction de x translatée au cours du temps : u(x,t) = f x (x - V t) (directe) 0 0 V Instant t 1 Instant t 2 x1x1 u u x x x2x2

Traduction mathématique dans un milieu illimité 1D : Ondes progressives Une onde progressive u est une perturbation, de l ’état d ’équilibre d ’un système, qui se déplace sans déformation à vitesse constante V. u(x 2,t 2 ) = u(x 1,t 1 ) x 2 = x 1 - V(t 2 - t 1 ) x 2 + V t 2 = x 1 + V t 1 L’onde progressive peut être vue comme une fonction de x translatée au cours du temps : u(x,t) = g x (x + V t) (rétrograde) V 0 Instant t 2 x2x2 u x 0 Instant t 1 u x x1x1

Une onde progressive u est une perturbation, de l ’état d ’équilibre d ’un système, qui se déplace sans déformation à vitesse constante V. u(x 2,t 2 ) = u(x 1,t 1 ) t 2 =t 1 + (x 2 -x 1 )/ V t 2 -x 2 / V = t 1 -x 1 / V L’onde progressive peut être vue comme une fonction du temps retardée : u(x,t) = f t (t - x/V) (directe) ou u(x,t) = g t (t + x/V) (rétrograde) 0 0 V Position x 1 Position x 2 t1t1 u u t t t2 t2 Traduction mathématique dans un milieu illimité 1D : Ondes progressives

Plan du cours II. Ondes acoustiques Equation de propagation, grandeurs acoustiques

Nature de la perturbation : surpression, déplacement d'une tranche d'air domaine audible = fréquence de 20 Hz à 20kHz, (f 20 kHz ultrasons) Mécanisme de couplage Transmission de proche en proche des surpressions ou dépressions locales, grâce à la compressibilité du milieu de propagation Milieu matériel nécessaire à la propagation  le son ne se propage pas dans le vide (Georges Lucas ne le sait pas!) Ondes acoustiques : ce que l’on sait déjà

Sources sonore et audition Source de vibration + structure résonnante Audition des sons

1. Isoler un élément de matière au repos/perturbé dm 2. Etablir les forces en présenceF 3. Ecrire les équation fondamentales de la dynamique ex: ΣF = γ ∙ dm 4. Lien entre la force et le déplacement (couplage)caractéristique du milieu 5. Equation de propagation dérivées partielles de x et t Démarche générale pour établir l'équation de propagation d'une onde mécanique

Exemples de couplage dans différents milieux : Elasticité et Compressibilité Coefficient de compressibilité Module de compression  Module élastique E (d’Young) Surpression locale Variation relative locale de volume Contrainte (traction) Déformation (allongement) Élasticité (solides) Compressibilité (gaz)

Établissement de l'équation de propagation d'une onde acoustique dans une colonne de fluide compressible (gaz)

HYPOTHESES - Gaz traité comme un milieu continu : Une « particule de fluide »  grand nombre de particules microscopiques - Pression p 0 à l’équilibre - Problème unidirectionnel : la surpression introduite par le mouvement du piston est de la forme  p(x,t) x Piston en mouvement (source) Gaz (milieu de propagation) Equation de propagation des ondes acoustiques - Onde unidirectionnelle (1D)

u(x,t) u(x+dx,t) x x+dx dd d  +  (d  )  Variation  d  ) du volume d  de la tranche initialement comprise entre x et x+dx. u(x,t) est le déplacement à l’abscisse x Equation de couplage entre les champs de surpression et de déplacement propagés par l’onde Etape1 : expression du champ de surpression est la dilatation de la tranche de fluide. C’est une des grandeurs propagée par l’onde (Taylor)

On suit le mouvement d’une masse constante dm de gaz, initialement comprise entre deux sections d’abscisse x et x+dx Position à t de la tranche en x au repos : x+u(x,t) Position à t de la tranche en x+dx au repos : x+dx+u(x+dx,t) x x+u(x,t) x+dx x+dx+u(x+dx,t) Force résultante sur la tranche dF 1 dF 2 Etape 2 : Principe fondamental de la dynamique

Approximation acoustique (dilatations négligeables devant 1) amplitude de vibration des particules <<< Principe fondamental de la dynamique appliqué à la masse dm Avec, on a : Équation d’onde donne par développement en série de Taylor :

Equation de propagation appelée aussi équation de D'Alembert Finalement V est la vitesse de propagation Dimension de ? Equation d'onde

30 Etape 5 : Equation d'onde.toto On peut montrer que l'équation de D'Alembert est vérifiée à la fois par : le champ de surpression p, le champ de déplacement u, la vitesse des particules u, la dilatation S. Toutes ces grandeurs peuvent représenter l'onde, elles se propagent à la même vitesse V.

31 Solutions progressives dans un milieu illimité 1D On cherche s ’il existe des solutions de l équation de d ’Alembert sous forme d ’ondes progressives 0 0 v Instant t t ’ > t x x x Or, on sait qu'une onde progressive est de la forme la plus générale : x' x avec Instant On note V la vitesse de propagation de l'onde et

32 Changement de variable Les ondes progressives sont donc solutions de l’équation de d’Alembert, dans laquelle intervient la constante V