Cours de Dynamique Partie 1 Géométrie des masses b Inerties

r 1-5 () r S 1-5-1 O M r r P Kg.m2

1-5-2 S O M () r P A B C z y x M(x,y,z) z O 1-5-3 y x

S O M () r P A B C z y x M(x,y,z) z O 1-5-3 y x D E F

1-6 avec IG= I-md2 1-6-1 1-6-2 coupant le plan z= 0 en (a, b, 0) z () (’) M (x, y, z) (S) H G y (a, b, 0) d’ x d 1-6-2 avec IG= I-md2

F m.ab M(x, y, z) G a b 1-7 b a z M(x, y, z)  (S) O u y x 1-6-3 1-7-1 r () (S) O H u y x On note que r = || OM || . |sin()| et que || OM  u || = || OM || . |sin()| ()

z M(x, y, z) () u (S) O H y x 1-7-2

1-7-3

1-7-4 z M (S) x y z O y x M’ x y -z

z (S) M O y x z O (S) y x M

z z x x y y z z x x y y z z x y x y z z y y x x 1-7-5 Opérateurs et formes géométriques de base z z R R h/2 G G x h/2 x y y z z R r0 h/2 G G h x x h/2 y y z z R a c G G x y x b y z z c y r G R G y a x x b

1-8 HUYGENS GENERALISE A L’OPERATEUR D’INERTIE (Gz) (Gy) (Gx) O x y z b a c c a b

1-8 HUYGENS GENERALISE A L’OPERATEUR D’INERTIE (Gz) (Gy) (Gx) O x y z b a c c a b

Recherche du moment d’inertie par rapport au plan (x, G, y ). 1-9 EXERCICES 1-9-1 Inertie d’un solide obtenu par extrusion, par rapport à son plan de symétrie Calcul du moment d’inertie solide extrudé quelconque, par rapport au plan perpendiculaire à la direction de l’extrusion, et en son centre de gravité y Recherche du moment d’inertie par rapport au plan (x, G, y ). z dz Surface : S z Le moment d’inertie s’écrit : On choisit pour volume de matière élémentaire, une plaque de section S et d’épaisseur dz. G h/2 h/2 Il s’écrit : d’où : x On fait intervenir la masse dans l’expression de avec

On considère un tube de diamètre r et d’épaisseur dr z R 1-9-2 Matrice d'inertie d'un cylindre : - Déterminer le moment d'inertie C du cylindre de rayon R de hauteur h et de masse m par rapport à l'axe (G, z ). dr r On considère un tube de diamètre r et d’épaisseur dr Ce volume de matière élémentaire a pour masse : G h x y Le moment d’inertie IGZ s’écrit : On fait intervenir ma masse dans l’expression de IGZ avec d’où

On considère un tube de diamètre r et d’épaisseur dr z R 1-9-2 Matrice d'inertie d'un cylindre : - Déterminer le moment d'inertie C du cylindre de rayon R de hauteur h et de masse m par rapport à l'axe (G, z ). dr r On considère un tube de diamètre r et d’épaisseur dr Ce volume de matière élémentaire a pour masse : G h x y Le moment d’inertie IGZ s’écrit : On fait intervenir ma masse dans l’expression de IGZ avec d’où

Le moment d’inertie s’écrit : z R 1-9-2 Matrice d'inertie d'un cylindre : (suite) - Déterminer le moment d'inertie C du cylindre de rayon R de hauteur h et de masse m par rapport à l'axe (G, x ). h/2 On détermine d’abord le moment d’inertie par rapport au plan (x, G, y ). G h/2 x y Le moment d’inertie s’écrit : On choisit pour volume de matière élémentaire, le disque de rayon R et d’épaisseur dz.

Le moment d’inertie s’écrit : z R 1-9-2 Matrice d'inertie d'un cylindre : (suite) - Déterminer le moment d'inertie C du cylindre de rayon R de hauteur h et de masse m par rapport à l'axe (G, x ). dz h/2 z On détermine d’abord le moment d’inertie par rapport au plan (x, G, y ). G h/2 x y Le moment d’inertie s’écrit : On choisit pour volume de matière élémentaire, le disque de rayon R et d’épaisseur dz. Il s’écrit : d’où : On fait intervenir ma masse dans l’expression de avec

Or par raison de symétrie de révolution, z R 1-9-2 Matrice d'inertie d'un cylindre : (suite) - Déterminer le moment d'inertie C du cylindre de rayon R de hauteur h et de masse m par rapport à l'axe (G, x ). dz h/2 z G h/2 x y On détermine ensuite On note que Or par raison de symétrie de révolution, d’où

Recherche des moments d’inertie par rapport 1-9-3 Inertie d’un parallélépipède rectangle Application au cas d’un parallélépipède rectangle. En déduire l’opérateur d’inertie exprimé au centre de gravité. z c Recherche des moments d’inertie par rapport aux trois plans parallèles aux axes du repère et passant par G. G y a Pour le plan (x, G, y), on extrude un rectangle de section ab entre –c/2 et +c/2. x b On obtient : Pour le plan (y, G, z), on extrude un rectangle de section bc entre –a/2 et +a/2. On obtient : Pour le plan (z, G, x), on extrude un rectangle de section ca entre –b/2 et +b/2. On obtient :

Recherche des moments d’inertie par rapport 2-62 Inertie d’un parallélépipède rectangle (suite) Application au cas d’un parallélépipède rectangle. En déduire l’opérateur d’inertie exprimé au centre de gravité. z c Recherche des moments d’inertie par rapport aux trois axes passant par G. G y a Pour l’axe (G, x), x b On obtient : Pour l’axe (G, y), On obtient : Pour l’axe (G, z), On obtient :

I(G,S) z c G On en déduit la diagonale de la matrice d’inertie y 1-9-3 Inertie d’un parallélépipède rectangle (suite) Application au cas d’un parallélépipède rectangle. En déduire l’opérateur d’inertie exprimé au centre de gravité. z c On en déduit la diagonale de la matrice d’inertie G y Puis les produits d’inertie : On remarque que les trois plan du repère sont plan de symétrie. Les produits d’inertie sont donc nuls. a x b I(G,S) B0

z 1-9-4 Inertie d'une sphère Déterminer l'opérateur d'inertie d'une sphère de rayon R par rapport à un repère situé en son centre G. R dr On remarque que tous les points situés sur une sphère d’épaisseur dr, de rayon r et centrée en G sont équidistants du centre G. r G x y On cherche donc le moment d’inertie par rapport au point G. avec : On fait intervenir la masse dans l’expression de avec

I(G,S) z R dr r x y On remarque une symétrie sphérique 2-63 Inertie d'une sphère Déterminer l'opérateur d'inertie d'une sphère de rayon R par rapport à un repère situé en son centre G. R dr On remarque une symétrie sphérique r G x y On note les plans de symétrie qui annulent les produits d’inertie I(G,S) B0

1-9-5 Inertie d'une sphère En déduire l'inertie I du solide ci contre constitué de deux sphères identiques de masse M et de rayon R par rapport à l’axe (G1, y ) y x G1 G G2 Le moment d’inertie de la première sphère par rapport à l’axe (G1, y ) On applique Huygens pour déterminer le moment d’inertie de la première sphère par rapport à l’axe (G, y ) Pour l’autre sphère le résultat est le même. On en déduit que pour l’ensemble des deux sphères

Fin