Cours de mathématiques économiques EL Ghali KHAMLICH

Plan du cours A- Algèbre linéaire - Chapitre I Calcul matriciel - Chapitre II Systèmes linaires - Chapitre III Diagonalisation B- Analyse - Chapitre I Modélisation optimisation - Chapitre II Suites numériques EL Ghali KHAMLICH

Chapitre I Calcul matriciel Matrices: 1- Définition : On appelle matrice M de type (n, p); un tableau de nombres réels aij à n lignes et p colonnes. aij désigne le coefficient de la matrice M situé à l ’intersection de la ligne n°i et de la colonne n°j. i : indice des lignes; i = 1,2,3,........,n j : indice des colonnes; j = 1,2,3,....,p On notera par M(n,p) l’ensemble des matrices du type (n,p) à coefficients dans IR (les aij ). EL Ghali KHAMLICH

Remarques: Si n = p : la matrice M est dite matrice carrée d’ordre n. exemple: L’écriture de la matrice carrée d’ordre 3 est: Si n = 1 : la matrice M est dite matrice ligne (ou vecteur ligne) Si p = 1 : la matrice M est dite matrice colonne (ou vecteur colonne) M= EL Ghali KHAMLICH

3- Opérations sur les matrices: 3.1-Transposition d’une matrice: Soit A une matrice de type (n,p). (n lignes et p colonnes) On appelle transposée de la matrice A; la matrice qu’on note tA telle que : tA = EL Ghali KHAMLICH

La matrice transposée est telle que: Remarque: tA est une matrice de type (p,n) (p lignes et n colonnes) c’est à dire: les lignes deviennent colonnes et les colonnes deviennent lignes. Exemple: A= La matrice transposée est telle que: tA= 3.2-Somme des matrices: On appelle somme de deux matrices A et B de même type (n,p); la matrice C = A + B du type (n,p); telle que: si A = (aij) et B = (bij) alors, C = (cij) et pour chaque élément cij, on a, cij = aij + bij , avec i = 1,2,.......,n et j = 1,2,.........,p. EL Ghali KHAMLICH

Soient les deux matrices de type (3,4) suivantes telles que: Exemples: Soient les deux matrices de type (3,4) suivantes telles que: et La matrice C = A + B du même type que A et B (3,4) sera donnée de la façon suivante: EL Ghali KHAMLICH

Soient A, B et C trois matrices du même type (n,p); on a: Propriétés: Soient A, B et C trois matrices du même type (n,p); on a: P1- A + B = B + A et (A + B) + C = A + (B + C) P2- Soit O(n,p)  M(n,p) la matrice nulle de M(n,p) avec: O(n,p) = On a  A  M(n,p) ; A + O(n,p) = O(n,p) + A = A EL Ghali KHAMLICH

Soit la matrice A de type (3,4) donnée par : Exemple: Soit la matrice A de type (3,4) donnée par : et la matrice nulle de type (3,4) donnée par A + O = O + A = A P3- L’opposée de la matrice A = (aij)  M(n,p) est la matrice (-A) M(n,p) telle que : (-A) = -(aij) = (-aij) avec i = 1,2,.......,n et j = 1,2,.........,p. Exemple: L’opposée de la matrice est la matrice - A = P4- La transposée d’une somme de deux matrices A et B est égale à la somme des transposées tA et tB , autrement dit : t(A+B) = tA + tB EL Ghali KHAMLICH

 A A = 3.3-Produit d’une matrice par un scalaire: Soit A  M(n,p) ;   IR  A A = = Exemple: 2* EL Ghali KHAMLICH

3.4-Produit de deux matrices: Propriétés:  A, B  M(n,p) et ,   IR P1-  (A + B) =  A +  B P2- ( + ) A =  A +  A P3-  ( A) = ( ) A P4- 1.A = A P5- t( A) =  tA 3.4-Produit de deux matrices: Soient deux matrices A et B de types respectifs (2,3) et (3,2) tel que: A = et B = La matrice C qui est le produit de la matrice A par la matrice B est donnée de la façon suivante: C = A.B = = (2,3) (3,2) (2,2) Remarque: Le produit de deux matrices n’est possible que si le nombre de colonnes de la 1ère matrice A est égal au nombre de lignes de la 2ème matrice B. EL Ghali KHAMLICH

C = A.B ; avec 1  i  n et 1  i  q et Cas général: Soit A = (aij) une matrice de type (n,p) et B = (bij) une matrice de type (p,q), on appelle produit de la matrice A par la matrice B: la matrice C = (cij) de type (n,q) défini par : C = A.B ; avec 1  i  n et 1  i  q et cij = ou encore ; A(n,p) . B(p,q) = C(n,q) EL Ghali KHAMLICH

La matrice produit C = A.B = Applications: 1- Soit A = et B = La matrice produit C = A.B = Propriétés: P1- Soit A  M(n,p) et B  M(p,q). (A.B) existe, mais en général si q  n, (B.A) n’existe pas. a- Si n = q, on a A(n,p). B(p,n) = C(n,n) matrice carrée ; et B(p,n). A(n,p) = D(p,p) matrice carrée b- Supposons maintenant qu’on a p = q = n , on a pas forcément C = D (A.B = B.A) EL Ghali KHAMLICH

Soient les deux matrices A et B suivantes: Exemple: Soient les deux matrices A et B suivantes: A = et B = Calculer les produits: A.B et B.A et conclure. A.B = Et B.A = P2- Le Produit A.B = O n’implique pas que A = O ou B = O, en effet: A.B = = O3 ; alors que A  O3 et A  O3 EL Ghali KHAMLICH

P3- [(A(n,p)). (B(p,n))]. (C(q,r)) = (A(n,p)). [(B(p,n)) .(C(q,r))] On dit que le produit matriciel est associatif. P4- [(A(n,p)) + (B(n,p))]. (C(p,q)) = (A(n,p)).(C(p,q)) + (B(n,p)]. (C(p,q)) On dit alors que la multiplication est distributive par rapport à l’addition. P5- t(A.B) = tB. tA 3.5-Matrices particulières: 3.5.1-Matrice carrée: On appelle matrice carrée d’ordre n, toute matrice A ayant n lignes et n colonnes. a11, a22, a33, ......., aii, ........., ann sont les termes de la diagonale principales de la matrice A. EL Ghali KHAMLICH

3.5.3-Matrice triangulaires: 3.5.2-Matrice diagonale: On appelle matrice diagonale d’ordre n, toute matrice dont les éléments en dehors de sa diagonale principale sont nuls : c’est à dire , aij = 0 si i  j. 3.5.3-Matrice triangulaires: a- On appelle matrice triangulaire supérieure, toute matrice carrée dans laquelle les éléments situés au dessous de la diagonale principale sont nuls; c’est à dire: EL Ghali KHAMLICH

b- On appelle matrice triangulaire inférieure, toute matrice carrée dans laquelle les éléments situés au dessus de la diagonale principale sont nuls; c’est à dire: Propriété: Si A et B sont deux matrices triangulaires supérieures (respectivement inférieures) d’ordre n alors, (A + B) et (A.B) sont aussi des matrices triangulaires supérieures (respectivement inférieures). EL Ghali KHAMLICH

1) Soient les matrices triangulaires supérieures A et B suivantes: Exemples: 1) Soient les matrices triangulaires supérieures A et B suivantes: A= et B = Calculer : (A + B) et (A.B). A + B = et A.B = Les matrices A + B et A.B sont bien des matrices triangulaires supérieures EL Ghali KHAMLICH

Si A est une matrice carrée d’ordre n : A.In = In.A = A 3.5.4-Matrice unitaire: On appelle matrice unitaire, une matrice diagonale d’ordre n notée In dont les éléments qui forment la diagonale principale sont unitaires : c’est à dire , aii = 1. Si A est une matrice carrée d’ordre n : A.In = In.A = A Exemple: Soit A une matrice carrée d’ordre 4 et I4 la matrice unitaire d’ordre 4 tel que: Calculer A.I et I.A. A.I = I .A = EL Ghali KHAMLICH

Soit A une matrice tel que: 3.5.5-Matrice symétrique: On dit que la matrice carrée a d’ordre n est symétrique si tA = A, c’est à dire que : aij = aji avec, i = 1,2,3,......,n et j = 1,2,3,......,n Exemple: Soit A une matrice tel que: ; donner la matrice tA, que peut-on déduire? tA = EL Ghali KHAMLICH

Propriétés: P1- Si A et B sont deux matrices symétriques, alors (A+B) est une matrice symétrique. En effet: on sait que tA = A et tB = B et que t(A+B) = tA + tB = A + B. Donc (A + B) est une matrice symétrique. P2- Si A est une matrice symétrique et   IR, alors (A) est une matrice symétrique. En effet: on sait que tA = A et que tA = tA = A. Donc (A) est une matrice symétrique. P3- Si A et B sont deux matrices symétriques, la matrice (A.B) n’est pas nécessairement une matrice symétrique. En effet: t(AB) = tB .tA = B.A, or en général A.B  B.A EL Ghali KHAMLICH

4.5.6-Matrice antisymétrique: On dit que la matrice carrée A est antisymétrique si tA = -A, c’est à dire que: aij = -aji Remarque: Soit A une matrice carrée d’ordre 3 donnée comme suit: A= A est antisymétrique si tA = -A  tA + A = O3. EL Ghali KHAMLICH

En effet: t(A.B) = tB .tA + = (-B) (-A) = (B.A)  -(A.B) généralement P2- Si A et B sont deux matrices antisymétriques, alors la matrice (A.B) n’est pas forcément antisymétrique. En effet: t(A.B) = tB .tA + = (-B) (-A) = (B.A)  -(A.B) généralement II- Déterminants des matrices: A chaque matrice A on fait correspondre un nombre réel, appelé déterminant de la matrice, et noté det A, ou encore A . Ce nombre s’obtient à partir des règles de calculs suivantes: 1- Déterminant d’ordre 2: Soit la matrice A donnée comme suit: Le déterminant de A est donné de la façon suivante: det A = = a11.a22 - a12.a21 EL Ghali KHAMLICH

Exemple: Soit la matrice A= ; calculer son déterminant. Det A = 11 2- Déterminant d’ordre n: Soit A une matrice d’ordre n tel que: EL Ghali KHAMLICH

Soit A la matrice tel que: A = Définitions: D1- On appelle mineur de l’élément aij, le déterminant Mij d’ordre (n-1) obtenu à partir du déterminant de A en supprimant dans ce déterminant la ième ligne et la jème colonne. Exemple: Soit A la matrice tel que: A = Déterminer les mineurs M32, M22, et M33 M32 = = 9 = 2 M22 = = 2 M33 = EL Ghali KHAMLICH

D2- On appelle cofacteur de l’élément aij, le nombre Aij = (-1)i+j Mij Exemple: Pour la même matrice A, déterminer les cofacteurs A32 et A21 A32 = (-1)3+2 M32= -2 A21 = (-1)1+2 M21= 1 EL Ghali KHAMLICH

det A = ai1Ai1 + ai2Ai2 + ai3Ai3 +........... + ainAin = D3- Le déterminant d’une matrice carrée A d’ordre n est égal à la somme des produits de chaque élément d’une ligne (ou d’une colonne) par son cofacteur.  Si on développe le déterminant suivant la ligne n° i, on a : det A = ai1Ai1 + ai2Ai2 + ai3Ai3 +........... + ainAin =  Si on développe le déterminant suivant la colonne n° j, on a : det A = a1jA1j + a2jA2j + a3jA3j +........... + anjAnj = Remarques: R1- Les deux relations précédentes sont identiques. Le déterminant d’ordre n ne change pas de valeur quelle que soit la ligne ou la colonne suivant laquelle le développement est effectué. R2- Dans chaque cas, on est ramené au calcul de n déterminants d’ordre (n-1). On applique la même règle pour calculer chacun d’eux et ainsi de suite, jusqu’à ce qu’on arrive à des déterminants d’ordre 2. R3- Pour le calcul de déterminant d’une matrice, il convient de choisir la ligne ou la colonne qui contient un maximum de termes nuls (des zéros). EL Ghali KHAMLICH

A = =-13 -(-1) EL Ghali KHAMLICH Exemple: Soit la matrice A tel que: calculer la déterminant de A en le développant suivant: 1) la 3ème colonne. 2) la 1ère ligne. Que peut-on conclure? det A = 0 - 1 + 1 =-13 2. det A = 2 -(-1) + 0 = -13 EL Ghali KHAMLICH

Cas particuliers : le déterminant d’une matrice d’ordre n diagonale, diagonale supérieure, diagonale inférieure est égal au produit des termes constituant sa diagonale principale. Det A = a11.a22.a33. ..............ann = Exemple: Soit A une matrice diagonale d’ordre 4 tel que: Calculer le déterminant de . Det A = 21 EL Ghali KHAMLICH

3- Propriétés: P1- Si les éléments d’une colonne dans une matrice sont tous nuls, alors le déterminant de cette matrice est nul. P2- Si dans une matrice une colonne est multipliée par un scalaire , alors son déterminant est multiplié par ce même scalaire. Application: A = et B = Calculer les déterminants des matrices A et B: Det A = -13 et det B = -26

R1- Si A est une matrice d’ordre 3, alors la matrice A = Remarques: R1- Si A est une matrice d’ordre 3, alors la matrice A = a pour déterminant: det (A) =  det A = 3 det A. R2- Généralement, si A est une matrice d’ordre n, alors: det (A) = n det A

Propriété: Un déterminant ne change pas de valeur si aux éléments d’une colonne on ajoute les éléments d’une autre colonne multipliés par le même nombre Exemple: Calculer les déterminants des matrices A et B suivantes: A = et B = Que peut-on déduire? Det A = det B = -4

Chapitre II Systèmes linéaires

x

Chapitre III Diagonalisation

Exercices d’application

Corrigé des exercices