Méthode différentielle Mercredi 8 mars 2006 Principe, historique, recherches actuelles

Principe… 1. Réduction des équations de Maxwell à un système différentiel du premier ordre Résolution analytique des équations de Maxwell Résolution numérique des équations de Maxwell

…principe 2. Intégration du système différentiel à travers la zone modulée 3. Raccordement aux limites 4. Connaissance du champ 1. dans les zones homogènes 2. dans la zone modulée Résolution analytique des équations de Maxwell Résolution numérique des équations de Maxwell Raccordement aux limites

Comment obtenir un système différentiel ordinaire à partir des équations de Maxwell? E / H (x,y,z) : Comment calculer les dérivées partielles suivant x et z? Le champ est invariant suivant z: la dérivée ∂/∂z est nulle Le champ est pseudo-périodique → développement en séries de Fourier → fonction exponentielle suivant x: sa dérivée est très simple

Développement du champ en séries de Fourier Il reste à exprimer D n (y) en fonction de E n (y)

Factorisation de la relation de constitution, ou: « comment calculer les composantes de Fourier d’un produit de fonctions à partir des composantes de Fourier des fonctions? »  Relation de constitution  Dans une base complète, règle de Laurent:  Mais la base est tronquée:  La convergence du calcul dépend de la continuité de E: converge seulement si E est continu (c.à.d en TE) en TE!!!!

Système différentiel 6x(2N+1) équations à 6x(2N+1) inconnues On isole les d/dy, on élimine les composantes [ y,n ] et [ E y,n ] et on obtient:

Méthodes d’intégration Si M dépend de y, l’intégration est numérique (Runge- Kutta, Adams Moulton…) Si M est invariant suivant y, intégration suivant la méthode des valeurs et des vecteurs propres de M:

Raccordement aux limites…

Et c’est fini!! Mais des problèmes numériques surgissent lors de l’intégration … Raccordement aux limites Données initiales inconnues

Algorithme S Si la hauteur d’intégration est grande relativement à la longueur d’onde, l’inversion numérique de la matrice T 22 entraîne des problèmes numériques. Pour palier ce problème, on utilise l’algorithme S introduit en 1994 dans la théorie des réseaux. L’inversion unique de T 22 est remplacée par de multiples inversions au cours de l’intégration

Réseaux de compression du laser Petawatt Réseaux blazés gravés sur un empilement diélectrique:importance du profil sur le seuil d’endommagement laser

Développement à partir du milieu des années 60 En 1973, modélisation des réseaux diélectriques peu profonds en TE et TM Réseaux métalliques : résultats fiables en TE mais faible convergence en TM Réseaux profonds : problèmes dans les 2 polarisations Historique. Années 70 Naissance d’une méthode

Historique. Années 80 Des solutions sont apportées, mais des difficultés persistent Problèmes d’intégrations numériques : Développement ( ) de la méthode RCW pour une intégration à partir des valeurs et des vecteurs propres de la matrice M (uniquement si M ne dépend pas de la variable d’intégration) Extension de la méthode aux autres profils : 1. Staircase approximation: incorrecte!!! 2. Transformation non conforme du profil du réseau en un plan (1982): bien adaptée aux réseaux sinusoïdaux Mais toujours pas de solution pour les réseaux profonds et pour la polarisation TM Le doute s’instaure … en 1987, Depine et Simon mettent en cause la validité de la formulation de la méthode en polarisation TM, à tort…

Historique-Années 90 tout s’accélère … 1994:Introduction de l’algorithme S dans la théorie des réseaux: Permet la modélisation des réseaux profonds, mais persistance des problèmes en TM 1996: Découverte empirique d’une formulation convergente de la méthode RCW en TM. 1996: Règles de factorisation convergentes dans une base de Fourier tronquée

Règles de factorisation Si E(x) est continu: Cas de la polarisation TE : Vecteur colonne contenant les composantes de Fourier de D(x) : Matrice de Toeplitz des composantes de Fourier de (x) Si D(x) est continu: Cas de la polarisation TM dans les réseaux lamellaires Il s’agit de la formulation empirique présentée en 1996 Si les 3 fonctions sont simultanément discontinues: pas de règles de factorisation convergente Et c’est le cas de la polarisation TM dans un profil arbitraire !!!! La méthode différentielle est-elle condamnée à ne jamais converger en TM?

Fast Fourier Factorization Résout les problèmes de convergence en TM pour un profil arbitraire F  (x) est une fonction continue!! Jusqu’en 1996: A partir de 2000: x N(x,y) T 1 (x,y) T2T2 N(x,y) : Formulation d’une méthode différentielle convergente en TM: la FFF (Fast Fourier Factorization)

Pourquoi tant d’années pour énoncer une formulation convergente de la méthode? 2 problèmes indépendants: 1. Erreurs numériques lors de l’intégration, 2. Factorisation non convergente, mais qui se renforçaient mutuellement: Plus on augmentait le nombre de coefficients de Fourier, plus les termes en exp(±i n y) explosaient rapidement.

Derniers travaux de l’équipe 2004: extension de la méthode FFF aux coordonnées cylindriques

Derniers travaux de l’équipe 2004: généralisation des règles de factorisation à d’autres types de bases de fonctions 2005: Formulation d’une méthode différentielle en coordonnées cylindriques. Le champ est développé sur une base Fourier-Bessel

Derniers travaux de l’équipe Exemple de résultats sur un disque cylindrique

2005: Méthode différentielle en coordonnées sphériques Développement du champ sur une base d’harmoniques sphériques Extension aux milieux anisotropes A venir : écriture du code numérique Travaux effectués dans le laboratoire depuis